PNSD - Polo Formativo delle provincie di Savona ed Imperia - 2016

Il problem solving in classe: da Polya ai giorni nostri
Carlo Dapueto - Dipartimento di Matematica - Università di Genova

La risoluzione dei problemi è uno degli aspetti centrali dell'insegnamento/apprendimento della matematica.
Come intrecciare una attività di questo tipo alla costruzione di una conoscenza organica del sapere matematico, che dia strumenti tecnici e culturali per affrontare i singoli problemi?
Come il modo di presentare, affrontare e risolvere i problemi è cambiato e cambia al variare delle conoscenze e delle tecnologie a disposizione?

Vedi anche  Didattica e pensiero computazionale: le innovazioni nel campo della didattica dell'informatica

Il problem solving in classe: da Polya ai giorni nostri - 1

Per semplicità chiudiamo sempre le nuove finestre che via via si aprono (in genere mettiamo un [X] per ricordarlo). Link ad alcuni materiali sono presenti in fondo ("alcuni riferimenti"), e sono richiamati via via tra parentesi quadre.

Gli obiettivi del PNSD e il taglio conseguente che diamo a queste lezioni. ([X] ← dopo chiudi la nuova finestra)

La risoluzione dei problemi è uno degli aspetti che caratterizzano la natura della matematica e che dovrebbero caratterizzarne l'insegnamento.  In questi incontri cercheremo di mettere a fuoco questi aspetti, discutendoli criticamente, tenendo conto della realtà della scuola italiana (ma non solo).

Indubbiamente mettere a fuoco e risolvere problemi è uno dei primi aspetti che ha contraddistinto le attività "matematiche" dell'uomo, dopo le attività iniziali che erano rivolte alla costruzione di quelli che ora chiamiamo modelli matematici (vedi qui, ed anche qui [X]).

Il termine tecnico "problem solving" indica qualcosa di più specifico. È stato impiegato prima in ambito psicologico, intorno al 1935, da un esponente della Gestalt ("psicologia della forma"), Duncker, per studiare situazioni di vario genere, che poi, ad opera soprattutto di Wertheimer, hanno coinvolto anche problemi di tipo matematico; vedi nei riferimenti [KD] e [MR].  Il termine è stato poi usato in aree diverse, in matematica soprattutto, ma anche in altre aree, tecnologiche e non, con significati un po' diversi; vedi [Gen].

In matematica il "problem solving" è stato prima esplorato (da giovane, nel 1925, in Problems and theorems in analysis, scritto col grande matematico ungherese Szegö) e poi nel famoso How to Solve It, del 1945, da George Polya. Vedi [GP1].  Per ora diamo solo una occhiata alle prime righe di [GP2]:
"How to Solve It"  suggerisce i seguenti passi quando si risolve un problema matematico:
 1.  Per prima cosa occorre capire il problema.
 2.  Dopo la comprensione, occorre fare un piano.
 3.  Poi attuare il piano.
 4.  Occorre poi ripensare a quanto fatto. Si poteva fare di più?
Se questa tecnica non riesce, Polya consiglia:  "Se non è possibile risolvere un problema, allora c'è un problema più facile che puoi risolvere: trovalo"  Oppure:  "Se non riesci a risolvere il problema proposto, cercare di risolvere prima qualche problema collegato. Riesci a immaginare un problema correlato più accessibile?"

Questa è, in breve, l'idea del "problem solving". Ora faremo un po' di esempi per mettere a fuoco le differenze tra i problemi e gli esercizi e i vari tipi di "problemi" che si possono incontrare.  Il confine tra esercizi e problemi non è netto, e le tipologie di problemi sono molto varie.  Anche questo è da mettere in luce: anche dei problemi si ha spesso una visione stereotipata.

Vediamo una rassegna di esempi. Per ciascuno di essi, dopo averlo esaminato chiudiamo la pagina apertasi ([X]).

01 (scuola di base; algoritmo che traduce pb in pb meno complesso; ovviamente va inserito in un percorso didattico)
02 (il linguaggio dell'insegnante e quello dell'alunno; le "intenzioni" dell'insegnante e quelle dell'alunno; non è facile "porre" un problema).

03 (le tecnologie cambiano il modo di affrontare i problemi; cambia in particolare la possibilità di fare congetture, specie in ambito geometrico)
04 (un altro problema classico, che la scuola diseduca ad affrontare; il ruolo del computer per ragionare muovendo la figura, contare, ... e per far scattare l'idea)
05 (modi, con la tecnologia, di affrontare un "problema" non classico)

06  07 (problemi "semplici" - se si pensa ai contesti - che la scuola non mette in grado di affrontare)
08 (un metodo classico, usato da millenni, per fare sorteggi; ma l'intuizione "scolastica" inganna)

09 (misconcezioni di fisica non intaccate dall'insegnamento scolastico; perché a scuola, nei problemi scolastici, non emergono?
10 (a scuola spesso i problemi sono mal formulati: gli alunni sono abituati a capire da come sono stesi i testi che cosa viene richiesto senza porsi di che cosa significa il problema; esempio di soluzioni diverse a seconda del significato attribuito alla domanda)

11 (occorre modellizzare pensando alla situazione, non solo al problema matematico; a questo gli alunni non vengono abituati)
12 (affrontare anche problemi in cui la matematica si intreccia con altri saperi, e per i quali non c'è una risposta unica e completa)
13 (anche i problemi di proporzionalità la scuola ha cercato di ridurli ad addestramento meccanico, che diventa un ostacolo ad matematizzare i problemi che si possono incontrare)
Problemi su cui rifletteremo:  • attraverso quali situazioni problematiche sono introdotti/introducibili "i" concetti di integrazione? • come introdurre il concetto di probabilità? • Qual è il ruolo della gaussiana presentato a scuola?

14 (la parola "problemi" è usata anche per presentare situazioni che non sono "problematiche" e che si affrontano in maniera standard; occorre rendersi cono che questi non sono "problemi")

Altri tipi di problemi.
15 (per introdurre trattazioni)
16 (congetture ancora aperte: clicca >>> sul quesito 6.8)
17 ("problemi" teorici, che bisogna porre, che non sono il classico "problem solving")
18 (situazioni problematiche - non "problemi" - introdotte per motivare, mettere a fuoco nuovi concetti e, dopo, affrontate)

Mettiamo, infine, qualche altro esempio di quesiti (alcuni quesiti pongono dei "problemi", alcuni propongono altri tipi di attività e riflessioni) riferiti ad altre discipline, anche tenendo conto che tra gli "animatori digitali" sono presenti docenti di formazione non scientifica e tenendo conto dell'opportunità di fare attività didattiche (e prove di verifica) che coinvolgano, assieme, più aree disciplinari.  Altri esempi e riflessioni (legate all'impiego delle nuove tecnologie in ambito non scientifico) le trovate nell'incontro "Didattica e pensiero computazionale: le innovazioni nel campo della didattica dell'informatica", qui.
19 (esempi di attività di vario tipo, anche legate ad uscite, letture, fotografie, ...)
20 (attività legate a tematiche economiche, storiche, ...)
21 (attività più strettamente legate a questioni tecnologiche)
22   23 (attività di lingua inglese e di ...)
24 (altri esempi, per la scuola di base)

Per chiudere questo primo incontro, cerchiamo di mettere a fuoco il ruolo che il "problem solving" dovrebbe avere nell'insegnamento della matematica traendo spunto dalla prima voce di commenti didattici presente nel "dizionario" gli Oggetti Matematici, dedicato al concetto di modello, in [MaCoSa].  Leggiamone il contenuto, senza soffermarci sui riferimenti alla Schede di lavoro.

Ci diamo anche un compito:  ciascuno metta in rete un esempio di "problema", di vario genere, provando a inquadrarlo. Discuteremo i problemi proposti la prossima volta.  Altri due compiti. Primo: pensare al ruolo che devono avere nell'insegnamento problemi ed esercizi, e come/perché la loro configurazione deve cambiare al cambiare dei tempi. Secondo: leggere [GP2], [VV1], [VV2].

Alcuni riferimenti [X]

[AHS]  Sul Problem Solving in matematica, Schoenfeld, Learning to Think Mathematically: problem solving, metacognition, and sense-making in Mathematics, in "Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning", 1992 (qui per ottenere una stampa più compatta)

[CD]  La natura della Matematica e i suoi rapporti con la Realtà: inquadramento teorico e problemi didattici, in "macosa.dima.unige.it"

[CDLP]  Sui "contesti", Contributions and Obstacles of Contexts, Educational Studies in Mathematics, 1999

[CDPB]  Sul P.S. in Italia, Problem Solving in Mathematics Education in Italy, The International Journal on Mathematics Education, 2007

[Gen]  Sul P.S. in generale, en.wikipedia.org/wiki/Problem_solving, WikiPedia (Inglese!!!)

[GP1]  Su Polya, en.wikipedia.org/wiki/George_Polya, WikiPedia

[GP2]  Su How to Solve It di Polya, en.wikipedia.org/wiki/How_to_Solve_It, WikiPedia

[KD]  Su Duncker, en.wikipedia.org/wiki/Karl_Duncker, WikiPedia

[MaCoSa]  Il concetto di modello - considerazioni didattiche, in "macosa.dima.unige.it"

[MR]  Su Wertheimer, Max Wertheimer, in "MaCoSa"

[VV1]  I problemi nel contesto delle varie attività matematiche, da Villani, Cominciamo da Zero, Pitagora, 2003

[VV2]  I problemi e la pratica didattica, da Colloquio con Vinicio Villani, 2004

Il problem solving in classe: da Polya ai giorni nostri - 2

Per semplicità chiudiamo sempre le nuove finestre che via via si aprono (in genere mettiamo un [X] per ricordarlo).

Qualcuno ha chiesto una versione in italiano del brano su Polya che avevo lasciato da leggere, assieme alle citazioni di Villani.  Eccola.  Lascio ai superinteressati la lettura del lungo (e bello) articolo di Schoenfeld. [X]

Nel corso del primo incontro abbiamo impiegato per alcune attività Cinderella (software di geometria dinamica) e R (software di uso generale). Rinviamo al materiale su Didattica e pensiero computazionale, qui (dall'inizio alla fine), per spiegazioni su come installare tali software (ed altri) sul computer, per esempi e per l'uso di guide. [X]

Dopo i quesiti 11-13 la volta scorsa ci siamo posti il problema di riflettere su:
• attraverso quali situazioni problematiche sono introdotti/introducibili "i" concetti di integrazione?
• come introdurre il concetto di probabilità?
• Qual è il ruolo della gaussiana presentato a scuola?

Il 1° e il 3° problema erano rivolti soprattutto ai docenti di formazione scientifica delle superiori.  Visto che questi erano pochi, mi limito a mettere due link a delle schede di lavoro che danno un'idea (agli interessati) delle questioni sollevate e suggeriscono delle "risposte",  qui e qui. [X]

Mi soffermo sul 2° problema, rispetto al quale da alcuni di voi sono state messe varie considerazioni in rete, quello dell'introduzione del concetto di probabilità.  Come vedremo, il calcolo delle probabilità è l'area della matematica che più delle altre si intreccia alla problematica del "risolvere problemi".  Ecco. [X]

Affrontiamo ora, in modo un po' sparso, le questioni poste come compito la volta scorsa, alla fine dell'incontro. [X]

• Cose che il computer consente di affrontare "facilmente", dal punto di vista tecnico.  Quali conoscenze/abilità servono per affrontare questi esercizi:  esercizi con R  (ma potrebbero essere realizzati con altri programmi). [X]

• Quelli ora visti erano "esercizi", non "problemi" secondo l'accezione di Polya, ma non erano neanche gli "esercizi stereotipati" presenti nei libri di testo più diffusi, scritti con linguaggio che evoca una procedura per risolverli e collocati in un contesto (una banca di esercizi di un certo tipo) che aiuta ad evocarla.

• Altri esercizi, non stereotipati (è una batteria di esercizi messa su per questo incontro, ma che, visto che mi sembra una bella cosa, in futuro estenderò).
Che cosa consente di fare, all'insegnante, il computer?
Metti in R
    source("http://macosa.dima.unige.it/es.R")
poi batti  esercizi   e scegli gli esercizi su  "perim.triang",  "graf.fun",  "istog.",  "areog./%",  "dir./pend.",  "f.lineari"
  Vedi. [X]

• Alcuni di voi hanno proposto "problemi" affrontabili in altre discipline. Vanno bene.  Vediamo qualche altra attività.  Sono esercizi, problemi o …?  Non addentriamoci in una discussione terminologica. Sono esempi di attività "non standard" che dovrebbero essere affrontate.
scienze, es. 1.1, 1.14
economia, es. 1.8 (e uso di quella cosa disastrosa che sono i fogli di calcolo)
altro, es. 1.3, 1.4
fisica, es. 0.1, 0.2, 0.3 (le leve/le proporzioni o ...)
fisica, es. 2a.2, 2a.6, 2a.19 [X]

• Discutiamo brevemente alcuni degli esercizi/problemi che avete proposto in rete, qui. [X]  Su di essi, e su quelli che metterete in rete dopo questo incontro, inserirò qualche commento nella sintesi finale.

Discutiamo liberamente dell'ultimo punto: come/perché la configurazione degli esercizi e dei problemi dovrebbe cambiare al cambiare dei tempi.  Discussione ... (mi annoto le cose e le metteremo nella sintesi finale).  In rete continuate la discussione. I partecipanti nell'incontro che si è tenuto ad Albenga sono invitati anche a proseguire il dibattito avviatosi sui "problemi" di come coinvolgere le "famiglie" (o "pseudo-famiglie") nel processo educativo, come far a loro percepire il taglio del proprio lavoro, come renderli consapevoli (e collaborativi) dell'opportunità (a fini educativi) di far interagire l'apprendimento scolastico con l'uso delle conoscenze extrasclastiche, l'uso (scolastico ed extrascolastico) delle nuove tecnologie, ... (vedi qui, in fondo). [X]