# Calcoliamo l'area dello spicchio raffigurato sotto a sinistra BF=3; HF=3 PIANO(0,5,0,5) f=function(x) sqrt(25-x^2); g=function(x) 3/4*x graf(f,-5,5,"blue"); graf(g,-5,5,"blue") grafico(f,4,5,"red"); grafico(g,0,4,"red"); segm(0,0, 5,0, "red") # Questa è la figura. È uno spicchio di cerchio. Posso prendere l'area del # cerchio moltiplicata per il rapporto tra l'angolo dello spicchio e 360°: A=c(5,0); B=c(0,0); C=c(4,3); angolo(A,B,C) # 36.8699 pi*5^2*angolo(A,B,C)/360 # 8.043764 Questa è l'area cercata # # In alternativa faccio l'area del triangolo e della parte rimanente in cui # la figura è spezzata dal segmento vericale che scende da (4,3): spezza(c(4,4),c(0,3),"blue") # l'area del triangolo più l'integrale di f tra 4 e 5: 4*3/2 + integrale(f,4,5) # 8.043764 # Calcoliamo l'area della figura sopra al centro: PIANO(0,1, 0,1) f=function(x) x^2; g=function(x) x grafico(f,0,1, "blue"); grafico(g,0,1,"red") # La differenza tra l'area sotto al grafico di g e quella sotto a quello di f: integrale(g,0,1)-integrale(f,0,1) # 0.1666667 # Ovvero: h = function(x) g(x)-h(x); integrale(h,0,1) # 0.1666667 che equivale a: frazio(integrale(h,0,1)) # 1/6 Questa è l'area cercata # # L'area della figura sopra a destra, tra le due curve PIANO(0,4,-2,2) f = function(x) sin(x); g = function(x) (x-2)^2 grafico(f,0,4, "red"); grafico(g,0,4, "blue") soluz2(f,g,1,2) # 1.064761 soluz2(f,g,2,3) # 2.67242 h = function(x) f(x)-g(x) integrale(h, soluz2(f,g,1,2), soluz2(f,g,2,3)) # 1.002636 Questa è l'area cercata # poco più di un "quadretto" # # How to calculate areas enclosed by polar curves. # In the case of a circle of radius R I have that area A is pi*R^2. # Generalizing, if R=R(t): # If the angle t changes from H to K: # RR = function(t) R(t)^2; A = integral(RR, H,K)/2 # First example: cardioid. Numerically we have: R = function(t) 1-sin(t); PLANE(-2,2, -3,1); polar(R, 0,2*pi, "blue") areaPolar(R,0,2*pi,1000) # 4.712327 areaPolar(R,0,2*pi,2000) # 4.712373 areaPolar(R,0,2*pi,4000) # 4.712385 areaPolar(R,0,2*pi,8000) # 4.712388 areaPolar(R,0,2*pi,16000) # 4.712389 # With integration: R=function(t) 1-sin(t); RR=function(t) R(t)^2; A=integral(RR, 0,2*pi)/2; A # 4.712389 A/pi # 1.5 A = 3/2*pi # # Second example: the figure above right. PLANE(-1.25,1.25, -1,1.5) R1 = function(t) sqrt(2)*sin(t); R2 = function(t) sqrt(sin(2*t)) polar(R1,0,2*pi, "seagreen"); polar(R2,0,2*pi, "brown") # I give color to the figure: P=function(x,y) {r=sqrt(x^2+y^2); t=dirArrow1(0,0, x,y)*pi/180; r<=sqrt(sin(t*2)) & r<=sqrt(2)*sin(t)} for(i in 1:8) FIGURE(P,0,1,0,1, "orange") polar(R1,0,2*pi, "seagreen"); polar(R2,0,2*pi, "brown") g = function(x) x; graph1(g, 0,2, "red") polar(R1,0,pi/4, "blue"); polar(R2,pi/4,pi/2, "red") R = function(t) ifelse(t < pi/4,R1(t),R2(t)); RR=function(t) R(t)^2; A=integral(RR,0,pi/2)/2; A # 0.3926991 A/pi # 0.25 pi/8 # 0.3926991