---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- ---------- Calcoliamo l'integrale definito tra 0 ed 1, rispetto a t, di log(1+t)/(1+t^2). Poi cerchiamo l'integrale definito tra -1 e 0. Vediamo se riusciamo a calcolare anche quello tra -1 e ∞. Tracciamo il grafico della funzione integrale da 0 ad x per x da -1 a ∞ (che avremmo potuto tracciare prima, per orientarci nei calcoli precedenti) g <- function(t) log(1+t)/(1+t^2) integrale(g, 0,1) # [1] 0.2721983 # Provo a vedere con WoframAlpha se è un'approssimazione di un termine più semplice: # introduco 0.2721983 e ottengo log(2)·π/8. Controllo: log(2)*pi/8 # [1] 0.2721983 OK integrale(g, -1,0) # [1] -0.6437673 # Per calcolare l'integrale tra -1 e ∞ mi conviene usare l'espressione dell'integarle # tra successive potenze di 10: h = function(n) integrale(g,10^n,10^(n+1)) integrale(g, -1,1) # [1] -0.3715691 integrale(g, -1,1)+h(0) # [1] 0.4823926 # integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1) # [1] 0.7604949 integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5) # [1] 0.81658 integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6) # [1] 0.8165931 integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6)+h(7) # [1] 0.8165946 integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6)+h(7)+h(8) [1] 0.8165948 # Con WolframAlpha vedo che equivale a log(2)·π·3/8 # Grafico di 0∫xg BF=4; HF=2.5 Piano(-1,20, 0,1.5) gintegral(g, 0,-1, "blue") gintegral(g, 0,20, "brown") (in alcuni manuali italiani di analisi questo integrale è studiato in maniera errata - viene determianta, come espressione di 0∫xg, log(1+x^2)·atn(x)/2 che coincide solo per x=1 con l'espressione esatta - a testimonianza di quanto sia utile affrontare calcoli di questo genere anche con l'ausilio del computer!)