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Calcoliamo l'integrale definito  tra 0 ed 1, rispetto a t, di log(1+t)/(1+t^2).
Poi cerchiamo l'integrale definito tra -1 e 0.
Vediamo se riusciamo a calcolare anche quello tra -1 e ∞.
Tracciamo il grafico della funzione integrale da 0 ad x per x da -1 a ∞ (che avremmo
potuto tracciare prima, per orientarci nei calcoli precedenti)

g <- function(t) log(1+t)/(1+t^2)
integrale(g, 0,1)
# [1] 0.2721983
# Provo a vedere con WoframAlpha se è un'approssimazione di un termine più semplice:
# introduco  0.2721983  e ottengo  log(2)·π/8.  Controllo:
log(2)*pi/8
# [1] 0.2721983 OK

integrale(g, -1,0)
# [1] -0.6437673

# Per calcolare l'integrale tra -1 e ∞ mi conviene usare l'espressione dell'integarle
# tra successive potenze di 10:
h = function(n) integrale(g,10^n,10^(n+1))
integrale(g, -1,1)
# [1] -0.3715691
integrale(g, -1,1)+h(0)
# [1] 0.4823926
#  integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)
# [1] 0.7604949
integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)
# [1] 0.81658
integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6)
# [1] 0.8165931
integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6)+h(7)
# [1] 0.8165946
integrale(g, -1,1)+h(0)+h(1)+h(2)+h(3)+h(4)+h(5)+h(6)+h(7)+h(8)
[1] 0.8165948
# Con WolframAlpha vedo che equivale a log(2)·π·3/8

# Grafico di 0xg
BF=4; HF=2.5
Piano(-1,20, 0,1.5)
gintegral(g, 0,-1, "blue")
gintegral(g, 0,20, "brown")
                           

(in alcuni manuali italiani di analisi questo integrale è studiato in maniera errata
- viene determianta, come espressione di 0xg, log(1+x^2)·atn(x)/2 che coincide solo
per x=1 con l'espressione esatta - a testimonianza di quanto sia utile affrontare
calcoli di questo genere anche con l'ausilio del computer!)