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Scheda 2 - Misure di probabilità, variabili casuali e leggi di distribuzione

5. Leggi di distribuzione di variabili DISCRETE. La legge UNIFORME. La simulazione mediante RND.

 Voglio simulare il lancio di un dado "equo". Per far ciò devo mettere nel sottoprogramma Prova del programma FA_RND.BAS (programma che genera valori di variabili casuali di tipo numerico e li mette in file analizzabili con STAT) una o più istruzioni che assegnino alla variabile U valori in modo tale che U si comporti come una variabile casuale che si distribuisca uniformemente in {1,2,3,4,5,6}.

 Data una variabile casuale X discreta, cioè a cui sia associato come insieme di possibili uscite un insieme E finito o numerabile di oggetti matematici, si dice che dotiamo X di una legge di distribuzione ogni volta che, in qualche modo, descriviamo come calcolare i valori di una misura di probabilità Pr su tutti gli eventi del tipo X=k con kE.

Per le proprietà delle misure di probabilità deve essere:   Σ  Pr(X=k) = 1.
kE

 Questa legge è chiamata legge di distribuzione uniforme se E è finito e, comunque prenda h e k in E, Pr(X=h)=Pr(X=k). Se E ha cardinalità n e h è un suo elemento, si ha ovviamente (per la additività di Pr):

Pr(X=h) = 1/n

[Se E è infinito non può aversi sia: ΣPr(X=k) = 1, sia: Pr(X=h)=Pr(X=k) per ogni h e k]
kE

 Per simulare il lancio di un dado equo uso l'assegnazione U=INT(RND*6)+1. Vediamo perché.

 Indico con X una variabile casuale a valori in [0,1), la doto della legge di distribuzione uniforme e indico con Pr la corrispondente misura di probabilità.

 Definisco la variabile casuale U in funzione della variabile casuale X, mediante la relazione U=g(X) con
g:x [x*6]+1.

 La moltiplicazione per 6 trasforma X nella variabile casuale Y=X·6 a valori in [0,6); è immediato verificare che anche Y ha distribuzione uniforme: Pr(c≤Y≤d) = Pr(c/6≤X≤d/6 ) = d/6–c/6 = (d–c)/6) = "ampiezza di [c,d]" / "ampiezza di [0,6)".

 L'applicazione della funzione parte intera dà luogo alla variabile Z=[Y] con distribuzione uniforme in {0,1,2,3,4,5}: Z=i (i intero tra 0 e 5) equivale a i≤Y<i+1 e:

Pr(i≤Y<i+1) =  ampiezza di [i, i+1)  = 1/6 .
———————
ampiezza di [0, 6)

 Infine addizionando 1 ottengo la variabile casuale U=Z+1 con distribuzione uniforme in {1,2,3,4,5,6}.

        *6          FIX                 +1
 [0,1)  ——>  [0,6)  ——>  {0,1,2,3,4,5}  ——>  {1,2,3,4,5,6}

Nota. In QBasic INT rappresenta la funzione "parte intera inferiore", spesso, in analisi, indicata con [.]: [x] è il massimo intero minore o uguale a x; la funzione "parte intera", intesa come "troncamento agli interi", che differisce dalla precedente solo per input negativi, in QBasic è indicata con FIX. Poiché RND*6>0, INT(RND*6) equivale a FIX(RND*6).

    Per una sintesi degli argomenti affrontati nei primi paragrafi della scheda 2 puoi vedere la voce Calcolo delle probabilità de Gli Oggetti Matematici.

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