'frequenze attese' dell'esito del lancio di due dadi
2,1 3,2 4,3 5,4 6,5 7,6 8,5 9,4 10,3 11,2 12,1
6. Il lancio di due DADI equi.
Abbiamo visto una situazione in cui, data una variabile casuale dotata di una legge di distribuzione, è possibile determinare la legge di distribuzione di un'altra variabile casuale espressa in funzione di essa. Vediamo un esempio più complesso.
Nelle righe di commento in FA_RND.BAS sono indicati due modi di completare prova per generare la variabile casuale "numero che esce lanciando due dadi". Quella a lato è una valida alternativa? |
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Discussione e verifica con STAT. Qual è la legge di distribuzione di questa variabile casuale?
La forma dell'istogramma ottenuto è quasi "triangolare". Per passare da questo studio "sperimentale" a uno studio "teorico" della distribuzione osservo che U1 e U2 hanno distribuzione uniforme in {1,2, …,6} e che, quindi, le possibili uscite della coppia (U1,U2) sono equiprobabili, cioè che la variabile casuale V=(U1,U2) ha distribuzione uniforme in {1,2, …,6}2.
Elenchiamo tutte le possibili uscite della coppia (U1,U2).
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FOR u=2 TO 12
PRINT u TAB(7);
FOR i=1 TO 6 : FOR j=1 TO 6
IF i+j=u THEN PRINT i;j;" ";
NEXT : NEXT
PRINT
NEXT
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Lo possiamo fare "a mano", in una tabella come quella sopra a sinistra, o con un programma come quello sopra a destra [il ";" alla fine di un'istruzione PRINT fa sì che che il calcolatore non vada a capo; TAB funziona da tabulatore: TAB(n) posiziona il calcolatore sul posto n-esimo della riga], di cui a lato è riprodotto l'esito. |
2 1 1 3 1 2 2 1 4 1 3 2 2 3 1 5 1 4 2 3 3 2 4 1 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 7 1 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 1 8 2 6 3 5 4 4 5 3 6 2 9 3 6 4 5 5 4 6 3 10 4 6 5 5 6 4 11 5 6 6 5 12 6 6 |
Si può dedurre facilmente che l'istogramma che rappresenta la legge di distribuzione di U (cioè, in pratica, l'istogramma di distribuzione in cui, invece delle frequenze, si considerano le probabilità) ha effettivamente la forma di due scalinate che si dispongono a mo' di triangolo isoscele.
Anche con il solo ragionamento si può arrivare a questa conclusione:
– chiamiamo A e B i due dadi; per ottenere 2, l'unica possibilità è che A "faccia" 1; B dovrà fare 2–1=1;
– per ottenere 3, A può fare 1 o 2 (B dovrà fare 2 o 1), cioè abbiamo una possibilità in più di prima;
– per ottenere 4, A può fare 1 o 2 o 3, cioè abbiamo una possibilità in più di prima;
– man mano, fino a che arriviamo ai modi per ottenere 7, abbiamo sempre una possibilità in più;
– per ottenere 8, A deve valere almeno 2; rispetto a prima abbiamo una possibilità in meno;
– man mano, fino a che arriviamo ai modi per ottenere 12, abbiamo sempre una possibilità in meno.
Per ottenere l'istogramma della legge di distribuzione di U posso
costruire un file analizzabile con STAT in cui siano introdotte le uscite 2, 3, 4, …, 12 con
le corrispondenti frequenze 1, 2, 3, …, 1, in modo che le frequenze relative (1/36, 2/36, 3/36, …) siano pari alle probabilità teoriche.
Posso farlo direttamente all'interno del programma STAT stesso,
inserendo i dati nella finestra-dati. STAT ha comunque incorporati già questo file:
Scrivi daditeo nel box in basso e clicca [Imp].
Otterrai automaticamente il file. Ecco la sua analisi con Stat:
'frequenze attese' dell'esito del lancio di due dadi | |
2,1 3,2 4,3 5,4 6,5 7,6 8,5 9,4 10,3 11,2 12,1 | |
Se scrivi dadi nel box in basso e clicchi [Imp], ottieni invece, automaticamente, senza l'uso di Fa_Rnd, una simulazione del lancio di due dadi come quella ottenuta nel quesito 9.
| Fatto l'istogramma teorico e poi quello sperimentale, se fai un doppio clic su [P]
ottieni la sovrapposizione dei due istrogrammi, che ne facilita il confronto. Per una rappresentazione animata dello studio del lancio di due dadi equi e di due non equi, inserita neGli Oggetti Matematici clicca QUI. |
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