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Scheda 4 - Funzioni di densità e di ripartizione

1. La funzione di densita` GAUSSIANA per approssimare la legge di distribuzione binomiale.

    Nel §4 della scheda 3 [ istogrammi] si è visto che al crescere di nm il contorno superiore dell'istogramma di distribuzione teorica della variabile casuale N che rappresenta il numero di teste uscite lanciando nm volte una moneta equa sembra disporsi lungo il grafico di una funzione continua.
    Per rappresentare le distribuzioni al posto degli usuali istogrammi si usano anche le poligonali di distribuzione e gli istogrammi a barre: ecco le rappresentazioni di Moneteo.stf:

In Poligon si possono ottenere le poligonali di distribuzione mettendo "/" nel box a sinistra di [S] prima di cliccare [Plot]. A destra, sovrapposta all'usuale istogramma, la rappresentazione poligonale di Monete50.stf, che mette bene in luce l'approssimabilità dell'andamento mediante il grafico di una funzione continua.
    A conferma di queste osservazioni sull'andamento della distribuzione della variabile casuale N, posso, da STAT, esportare gli istogrammi come file ".gfu", in formato "Poligon" [ scheda 1], poi, in Poligon, rappresentarli e cercare di tracciare sovrapposto ad essi il grafico di opportune funzioni continue.
    In alternativa posso rappresentare la distribuzione direttamente in Poligon usando le funzione definite per svolgere il calcolo di Pr(N>5) ( scheda 3, §4): 		 

p(x)=!(#N)/(!(#N-x)*!(x))
#N=10
f(x)=P(ROUND(x))

plot x:0..10 N=10   y:p
plot x:-0.5..10.5 N=500   y:f
plot x:-0.5..10.5 N=500 P   y:f

Il grafico A è stato ottenuto come grafico della funzione p tra 0 e 10 aggiungendo l'opzione N=10 (nel box "x") in modo che [0,10] sia suddiviso in 10 parti, ossia siano considerate le ascisse 0, 1, …, 10.
    Per realizzare un istogramma con rettangoli centrati in 0, 1, , …, 10 non si può fare il grafico di y=p(x) ma occorre prima arrotondare x agli interi: si definisce f nel modo sopra indicato e se ne traccia il grafico tra -0.5 e 10.5, ottenendo il grafico B. Si è aggiunta l'opzione n=500 per aumentare i punti della tabulazione.
    Il grafico C è stato ottenuto aggiungendo l'ulteriore opzione P in modo che il tracciamento sia a punti, senza congiungimento, e la funzione f sia rappresentata senza tracciare segmenti verticali in corrispondenza dei punti di discontinuità.

    Sotto è rappresentata con Poligon, sia nel caso delle 10 monete che in quello delle 50, la legge di distribuzione di N, assieme al grafico di una funzione che la approssima. Si tratta della funzione G definita da:
G(x) = 1/(SQR(2*PI)*#s) * EXP(-(x-#m)^2 / (2*#s^2));
equazione ottenuta battendo G(x)=gauss. Come valori di #m e di #s si sono messi, rispettivamente, la media e lo scarto quadratico medio di N: scheda 3, §4,  scheda 3, §4).


#n=10   #m=5   #s=1.5811388         #n=50   #m=25   #s=3.5355337

    Indicata con φ la funzione definita a lato, la nostra funzione G è x φ(x–m) se con m indichiamo la media teorica della variabile casuale N. La funzione x φ(x–m) viene chiamata funzione di densità gaussiana (o di densità normale) di media m e scarto quadratico medio σ.

  

    Il grafico della nostra G (la curva approssimante la rappresentazione della distribuzione di N) è l'effetto della traslazione Δx = m (m = M(N)) del grafico di φ.  Poiché φ(x) è esprimibile in funzione di x2, φ ha grafico simmetrico rispetto alla retta x=0. E G è simmetrica rispetto alla retta x=m.

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  Costruisci l'istogramma di MONETEO.stf in Stat e esportalo in Poligon. Poi da Poligon traccia questo istogramma e realizza la "sovrapposizione" con la relativa gaussiana.

    Rappresenta la distribuzione di Monet50 direttamente in Poligon e sovrapponi il grafico della corrispondente gaussiana.   
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