| 5 |
Risolvi il quesito 10 della scheda 1 utilizzando una opportuna funzione densità e il calcolo integrale.
La media e lo s.q.m. di una distribuzione gaussiana permettono di determinare completamente la distribuzione: sono i due parametri che identificano la particolare densità gaussiana.
Nel caso della distribuzione esponenziale la densità è caratterizzata da un solo parametro: il valore della media, che coincide con quello dello s.q.m..
La legge di distribuzione uniforme in un intervallo I di estremi a e b è, invece, completamente determinata dai valori di a e b (f(x)=1/(b–a)), che, comunque, sono ricavabili conoscendo media e s.q.m. (da m = 
12
Media e s.q.m. danno delle indicazioni sulla forma e sulla posizione del grafico della funzione densità.
Nel caso in cui U possa assumere valori in un intervallo I di numeri reali, la mediana di U è definita come nel caso discreto: è un numero x tale che Pr(U<x)≤1/2 e Pr(U>x)≤1/2. Se in particolare U è continua, tale numero è unico: è il valore x per cui (se a è l'estremo sinistro di I e f è la densità)
a
x f = 1/2.
Se U è continua, viene chiamata moda di U ogni numero x di I per cui f(x) è massimo.
Il confronto tra i diversi indici di posizione, mentre nel caso discreto può dare indicazioni sulla forma dell'istogramma di distribuzione, nel caso continuo può dare indicazioni sulla forma del grafico della funzione di densità. Le considerazioni geometriche svolte nel §7 della scheda 2 si estendono facilmente al caso continuo; sono particolarmente utili poichè in molti casi consentono di determinare indici si posizione ed effettuare valutazioni probabilistiche senza "calcoli".
Nota. Non è detto che esista la media di una variabile aleatoria U (dotata di legge di distribuzione associata a una misura di probabilità Pr) nel caso continuo e nel caso discreto infinito.
Ad esempio la variabile U a valori in (1,
) con densità f(x)=1/x2 (f è una densità in quanto 1
f =1) non ha media: l'integrale tra 1 e di 
x·f(x)
Analogamente se S è Σ 1/i2 (i da 1 a ) e Pr(U=i)=1/(S·i2) (i intero positivo), la variabile aleatoria (a valori interi positi) U non ha media.
Mentre nel caso discreto esiste sempre almeno una moda, nel caso continuo non è detto che esista. Ad esempio se f(x)=1/(2x), f è una funzione di densità tra 0 e 1 (ivi l'integrale è 1) che non ha massimo.
Studiamo la variabile simulata dal programma Fa_Rnd con: U=RND : IF U>0.5 THEN U=0.8.
Effettuiamo lo studio a "scatola nera" (cioè esaminando le uscite del calcolatore supponendo di non conoscere il programma), ipotizzando di sapere solo che la variabile casuale può assumere valori in [0,1).
Studia sperimentalmente questa variabile casuale usando FA_RND (o il file Mista.stf già memorizzato) e STAT. L'istogramma tende ad assumere una forma stabile? Questa è una variabile aleatoria né discreta né continua: è una, cosiddetta, variabile casuale mista. Come calcolare/definire la media teoricamente? Possiamo calcolare la media M1 in [0,0.5] e la media M2 in (0.5,1), ottenendo rispettivamente 1/4 (è la distribuzione uniforme tra 0 e 1/2) e 0.8 (0.8 è l'unico valore assunto da U tra 1/2 e 1); quindi fare la media pesata di M1 e M2: M1·Pr(0≤U≤0.5) + M2·Pr(0.5<U<1) = 1/4·1/2 + 0.8·1/2 = 0.55. [in accordo con quanto trovato sperimentalmente]
Poiché 0.6=1.2/2, Pr(U=0.8)=1/2; Pr(0.5<U and U Inoltre U ha distribuzione uniforme in [0,0.5], cioè Pr(a≤U≤b) = 1/2·(b-a)/0.5 se 0 ≤a≤b≤ 0.5.
|
0.8)=0; Pr(0≤U≤0.5)=1/2.