>>>>>

Scheda 5 - I teoremi limite

3. Simulazione delle leggi GAUSSIANA e ESPONENZIALE.

    Siamo, finalmente, in grado di capire come la TELSTAT ha effettuato il suo studio ( scheda 1,§4). Vedremo, infatti, in questo paragrafo come, conoscendone le leggi di distribuzione, siano simulabili le durate delle telefonate e i tempi di arrivo.

    Evidentemente il teorema limite centrale può essere usato per simulare le distribuzioni gaussiane.

    Per avere X che abbia approssimativamente distribuzione gaussiana di media m e s.q.m. σ basta considerare:
U = Σ_i RND (i = 1,…,n),  che ha media 1/2·n e varianza 1/12·n,  e poi prendere:
X = m + (U – M(U)) · σ / σ(U) = m + (U – n/2) · σ / (n/12).

    Per una buona approssimazione può bastare prendere n=20, come si concludere sulla base di quanto osservato graficamente nel quesito 1 (vedremo nella scheda 6 come giustificare teoricamente questa scelta):  la variabile casuale considerata nel quesito 1 ha, con buona approssimazione, distribuzione gaussiana di media 10 e s.q.m. (5/3).

5

 Realizza un programma che, ad ogni pressione del tasto "a capo", simuli l'arrivo di un cliente nato nel 1970 del mobilificio considerato nella scheda 2 e ne visualizzi l'altezza.

  Come simulare una distribuzione esponenziale?

  Nel caso di una variabile casuale U di cui sono in grado di esplicitare la funzione di ripartizione F posso procedere nel modo seguente: considerare RND, che ha distribuzione uniforme in [0,1), e approssimare U con F–1(RND). Infatti (si confrontino anche, nel §5 della scheda 4, le spiegazioni su come sono calcolati i percentili e i ragionamenti impiegati per studiare i comportamenti di RND*RND, RND^2, RND+RND):

    Nel nostro caso (distribuzione esponenziale di media m), F(x) = 1–e^–x/m   e   F^-1(x) = – log(1–x)·m.

6

 Realizza un programma che, ad ogni pressione del tasto "a capo", simuli l'arrivo di una telefonata alla ditta ventel nell'"orario di punta" (sapendo che il tempo tra un arrivo e l'altro ha distribuzione esponenziale con media di 8.97 sec: scheda 1, quesito 12) e ne visualizzi l'istante in cui arriva.   [esprimi il tempo in secondi e prendi 0 come istante iniziale]

7

 Come simuleresti la distribuzione di Cauchy ( scheda 4, quesito 7)?

    La TELSTAT sa (e, comunque, verifica mediante i rilevamenti) che durate e tempi tra gli arrivi delle telefonate hanno distribuzioni gaussiana ed esponenziale. Dai rilevamenti ricava i loro parametri (media e s.q.m. delle durate, media dei tempi tra gli arrivi) e li usa per realizzare due sottoprogrammi che simulano durate e tempi di arrivo delle telefonate; con questi realizza il programma Vendite ( scheda 1, §4), che simula l'intero fenomeno.

In questo modo può, ad es., capire con una sperimentazione virtuale che cosa accade se si utilizzano 11 linee telefoniche, senza avventurarsi in uno studio teorico troppo complicato.    Ecco che cosa si può ottenere analizzando le telefonate perse in 100 giorni:     Si può concludere che con 11 linee si perde mediamente un cliente e mezzo al giorno.