7. Suggerimenti e risposte ai quesiti
| 1 |
Basta mettere nel sottoprogramma Prova: U = 0: FOR j=1 TO 20: U = U + RND: NEXT.
| 3 |
La dimostrazione si ottiene applicando V(U)=M((U–M(U))2) e di M(kU)=kM(U). Il procedimento indicato tra parentesi quadre (che, se giusto, varrebbe solo per k intero) è scorretto in quanto U non è indipendente da U, per cui non posso fare V(U+…+U)=V(U)+…+V(U).
|
A lato è riprodotto un possibile esito (facendo 5000 prove); l'istogramma è stato esportato in formato GFU e poi rappresentato in POLIGON, assieme alla densità normale avente per media e s.q.m. quelli ottenuti sperimentalmente, e calcolati da STAT. |  |
m = 1751E-1 : s = 7043E-3 RANDOMIZE TIMER 10 INPUT "", x$ U=0 : FOR i=1 TO 20 : U=U+RND : NEXT H=m+(U-10)*s/SQR(20/12) : PRINT H; GOTO 10 |
A lato è riprodotto un possibile programma. Per arrestare l'esecuzione usa Ctrl+C. |
|
A lato è riprodotto un possibile programma. |
m = 897E-2 : T=0 RANDOMIZE TIMER 10 INPUT "", x$ DT=-LOG(1-RND)*m : T=T+DT : PRINT T; GOTO 10 |
pigreca=ATN(1)*4 RANDOMIZE TIMER 10 INPUT "", X$ U=TAN(pigreca*(RND-1/2)) : PRINT U; GOTO 10 |
A lato è riprodotto un possibile programma. |
| 8 |
La probabilità che ciascun elemento vada fuori uso è 0.2. Quindi dobbiamo considerare la legge binomiale B10,0.2 e valutare:
Pr(B10,0.2=4) + Pr(B10,0.2=5) +…+ Pr(B10,0.2=10). Ma conviene calcolare:
1 – Pr("apparecchio non va fuori uso") = 1 – (Pr(B10,0.2=0) +…+ Pr(B10,0.2=3)).
| 9 |
Viene determinata sperimentalmente la probabilità che, presi un uomo e una donna "del tutto" a caso (ad es. con un'estrazione uniforme dei loro posti nell'elenco alfabetico dei maschi adulti e in quello delle femmine adulte), la donna sia più alta dell'uomo. Si ottiene che in più di 1 caso su 4 (26.6%±0.6% è maggiore di 25%) la donna è più alta dell'uomo. Ciò, tuttavia, non accade nei matrimoni: l'amore non è "cieco"!
| 10 |
Sia E l'esito dell'esperimento. Devo valutare Pr(E=C3T OR E=C4T OR E=C5T OR …) = 1/24 + 1/25 + … = 1/23·(1/2 + 1/22 + …) = 1/23·1 = 0.125. Ovvero: 1–Pr(E=T OR E=CT OR E=C2T) = 1 – (1/2 + 1/4 + 1/8) = 1–7/8 = 1/8 = 0.125.
Ecco 2 possibili versioni del sottoprogramma prova per lo studio sperimentale: TreCroci.bas.
[vedi l'help del Qbasic per il significato di while-wend]
| 11 |
In entrambi i casi il calcolo teorico non è complicato (ma neanche banale).
Full.
(1) Probabilità che venga un tris e poi una coppia = 3/31 [3 possibilità su 31 che la 2ª carta
sia dello stesso valore delle 1ª] ·2/30· 28/29 [28 possibilità su 29 che la 4ª carta sia
di valore diverso: c'è ancora una carta dello stesso valore] · 3/28.
(2) Ma il tris (TTT) e la coppia (CC) possono "arrivare" in ordine diverso rispetto a "TTTCC":
le carte C che formano la coppia possono venire anche non come le ultime due: i 2 posti, tra i 5, in cui possono cadere
sono
(2') [ragionamento alternativo]
I modi in cui si possono disporre in 5 posti 3 oggetti (il tris TTT) sono
(2") [ragionamento alternativo]
I modi in cui si possono disporre 5 oggetti di cui 2 uguali (CC) sono 5!/2! (divido per i modi in cui possono essere ordinati i 2).
I modi in cui si possono disporre 5 oggetti di cui 2 uguali (CC) e altri 3 uguali (TTT) sono 5!/(2!·3!) (divido anche per i modi in cui possono essere ordinati i 3).
Le carte del full posso quindi essere disposte in 5!/(2!·3!) = 5·4/2 = 10 modi.
(3) In definitiva la probabilità di ottenere un full è:
3/31·2/30· 28/29·3/28·10 = 6/31/29 = 0.667%.
Doppia coppia.
(1) Probabilità che venga una coppia, poi un'altra coppia, poi la carta "singola" = 3/31·28/30·3/29·24/28.
(2) Ma le coppie (AA e BB) e la carta singola (S) possono arrivare in ordine diverso rispetto ad AABBS:
la carta singola può essere collocata in 5 posti e le due coppie (non importa in che ordine tra di loro) possono essere collocate in 3 modi diversi negli altri 4 posti
(AABB, ABAB, ABBA): 15 disposizioni possibili;
(2') [ragionamento alternativo]
I modi in cui si possono disporre 5 oggetti di cui 2 uguali (AA) e altri 2 uguali (BB) sono 5!/(2!·2!) = 30
(ho diviso gli ordinamenti possibili per i modi in cui possono essere ordinati gli elementi di una coppia e quelli dell'altra).
Ma in questo modo conteggio separatemente le due disposizioni che si ottengono scambiando A con B, mentre a me
interessa che si formino una coppia e poi un'altra, non in che ordine tra loro due; devo quindi considerare 30/2 = 15.
(3) La probabilità cercata è quindi:
3/31·28/30·3/29·24/28·15 = 12·9/31/29 = 12.0%.
Per la simulazione: full: full.bas; doppia coppia: coppie2.bas.
Per chi ha un po' di dimestichezza con la programmazione, questi sottoprogrammi sono
abbastanza facili da mettere a punto e possono essere assai utili per controllare il (altrimenti non facilmente controllabile)
ragionamento teorico.
Per il caso del full, che è un evento abbastanza raro, la "convergenza" del programma è lenta:
n Fr(E) +/- 3 sigma/sqr(n) 50000 .638 % .106821 % 100000 .646 % .0760029 % 150000 .66 % 6.272052E-02 % 200000 .665 % 5.452155E-02 % 250000 .6772 % 4.920783E-02 % 300000 .672 % 4.474877E-02 %
Doppia coppia:
n Fr(E) +/- 3 sigma/sqr(n) 50000 12.042 % .4366397 % 100000 11.913 % .3073178 % 150000 11.94733 % .2512363 % 200000 11.968 % .2177396 % 250000 11.94 % .1945552 %
| 12 |
Il calcolo teorico è piuttosto complicato in questo caso.
Con la simulazione al calcolatore, con un sottoprogramma simile ai precedenti (tris.bas),
si trova (mediante 400 mila prove) che, con probabilità del 99.7%, la probabilità cercata cade nell'intervallo 38.34%±0.23% (mediante 3 milioni di prove si arriva a 38.5%±0.1%)
| <<< Paragrafo precedente | INDICE | Scheda successiva >>> |