9. Suggerimenti e risposte ai quesiti
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Con una CT o STAT ottengo la media 7.2000
, lo s.q.m. 0.151186, la stima non distorta (SQM statistico) 0.1633 e la stima non distorta
dello s.q.m. della media (SQM stat. della media) 0.061721, che moltiplicata per 3 mi dà 0.185 (è il
3σ*). L'intervallo di confidenza cercato è dunque 7.200±0.185. Questo procedimento va bene anche per errori distribuiti secondo un'altra legge simmetrica (per la gaussiana si potrebbe usare anche un altro procedimento, basato sull'impiego di una particolare distribuzione detta di Student o
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La discussione è svolta nel testo stesso, sotto ai due istogrammi.
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Il grafico riprodotto si riferisce alla poissoniana con parametro 6.119, cioè la media sperimentale, ottenuto con:
p(x)=#a^x/!(x)exp(-#a) #a=6.119 plot x:0..15 n=15 y:p.
Con la media teorica (6) si ottiene la poligonale di distribuzione, quasi uguale, riprodotta a destra (quella più alta
tra le due).
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a=100/1000·2=0.2; 1Pr(N=0)=1ea=0.18 = 18%.
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y=axn+bxn1+
per x → ∞ tende a comportarsi come y=axn,
che è trasformata in
Volendo potevo trovare il grafico-pendenza di questo nuovo grafico facendo una ulteriore trasformazione: con [Plot] avendo messo "=DERIV" nel box "y" ottengo il grafico della pendenza di B. Ecco, in C, che cosa si sarebbe ottenuto. Si vede che la pendenza tende a 3.
Il coefficiente direttivo a può essere ricavato determinando l'intersezione con l'asse y della retta lungo cui tende a disporsi il grafico trasformato in scala bilogaritmica (è Log(a)). A destra si è tracciata una retta con pendenza 3 lungo cui sembra disporsi il grafico; ha equazione Y=3X+0.3, da cui ricavo che a è circa 100.3, cioè circa 1.995 . Posso ritenere che a = 2.0. |
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y = aebx → Y = Log(y) = Log(a)+ xbLog(e). È già tracciata una retta approssimante: Y = 3.5/80·x1. Deduco che: a ≈ 10-1=0.1, b ≈ 3.5/80·ln10 ≈ 0.1007 ≈ 0.1.
A lato sono riprodotte le rappresentazioni (su 4 finestre)
del file originale e quelli ottenuti con successivi passaggi alla pendenza.
Con 2 passaggi alla pendenza si è arrivati a un andamento lineare; quindi la funzione tabulata era
un polinomio di grado 3. Dal fatto che l'ultimo grafico è la retta di ordinata 12 (le oscillazioni
iniziali sono dovute a problemi di approssimazione: differenze tra numeri vicini), deduco che il coefficiente
direttivo del polinomio è 12/3/2 = 2. Con cambi di scala posso osservare che il penultimo
grafico è approssimato da y=6+12x e dedurne che il coefficiente di grado 2 è 6/2=3. |
Se si fossero rappresentate le successive pendenze di un file di dati ad andamento esponenziale si sarebbero sempre ottenuti grafici crescenti.
Nel caso di dati con andamento del tipo x xn x si sarebbe passati dalla pendenza di ordine n crescente a quella di ordine n+1 decrescente.
Sopra, a destra, si può osservare la rappresentazione del file originale trasformato con x'=x, y'=y^(1/3), o y'=R3(y).
In pratica, è una rappresentazione in scala cubica. Il grafico di una funzione polinomiale di grado 3 viene trasformato in un grafico che tende a disporsi lungo una retta avente come pendenza la radice cubica del coefficiente direttivo. Dal grafico o, meglio, facendo il grafico della pendenza di questo nuovo grafico, si ottiene che la radice cubica del coefficiente direttivo è 1.26, da cui si ha che il coefficiente direttivo è 2.00.
La tecnica delle pendenze successive per individuare andamenti
polinomiali non richiede tecniche di calcolo differenziale:
data la funzione polinomiale di grado n f: x axn+bxn1+
,
la funzione rapporto incrementale x (f(x+h)f(x))/h =
è una funzione polinomiale di grado n1.
Basta apportare le modifiche a lato; si ottiene 0.04 come output. Ovviamente, in questo caso era facile anche il calcolo a mano: (499500)2/500+(501-500)2/500 = 2/500 = 4/1000 |
nc=2 : n=1000 DIM FrOss(nc), pr(nc) DATA 499,501 FOR i = 1 TO nc: READ FrOss(i): NEXT FOR i = 1 TO nc : pr(i)=1/2 : NEXT |
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Usando TABCHI2 (che trova sperimentalmente proprio il χ2 della distribuzione uniforme) o la tabulazione ho che 0.004 corrisponde circa al percentile di ordine 5. Si tratta quindi di un valore piuttosto anormale. È sensato ritenere che l'amico ci abbia raccontato una frottola.
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Calcolo a mano o con STAT (vedi sotto, a sinistra, per l'introduzione dei dati) media e varianza.
20,21 30,72 400 dati in 8 intervalli min,max: 20,100 40,66 media: 60.25 mediana: 60.58823529 50,38 sqm: 21.188145 varianza: 448.9375 60,51 70,56 massima densita' di freq.: 1.8% in [30,40) 80,64 moda: [30,40) freq.rel.massima: 18% 90,32 100,end |
La distribuzione uniforme in [a,b) deve avere
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nc=8 : n=400 DIM FrOss(nc), pr(nc) DATA 21,72,66,38,51,56,64,32 a=2355e-2 : b=9695e-2 : L=b-a Pr(1)=(30-a)/L : Pr(8)=(b-90)/L FOR i=2 TO 7 : Pr(i)=10/L : NEXT |
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