In questa pagina è riportata la voce Istogramma tratta dal Vocabolario della lingua italiana, vol. II, Istituto della Enciclopedia Italiana "G Treccani".

Istogramma s.m. (comp. dal gr.  istos "trama" e di -gramma) (pl. -i).Tipo di diagramma cartesiano, usato soprattutto in statistica, al quale si ricorre quando la funzione è rappresentata da un certo numero di valori globali relativi a successivi intervalli della variabile: per ogni intervallo tale valore globale può essere, per es., l'integrale di una funzione definito su quell'intervallo, o, nel caso di una variabile aleatoria, la frequenza con cui la variabile cade in quell'intervallo; l'istogramma è costituito da più rettangoli adiacenti, ognuno dei quali ha per base un certo intervallo della variabile e un'altezza tale che la sua area rappresenti, nella scala prefissata il relativo valore globale della funzione. Con sign. più generico ogni diagramma (areogramma) in cui valori di una o più grandezze sono espressi da figure geometriche le cui aree sono proporzionali a quei valori.

ISTOGRAMMA - I. relativi a una funzione di distribuzione esponenziale (rappresentata dalla curva in nero opportunamente normalizzata) che esprime la probabilità di decadimento di un elemento radioattivo di vita media t in funzione del tempo r. A sinistra, i. delle frequenze teoriche dei decadimenti per intervalli di tempo pari a l/4 di vita media: l'ordinata f relativa a ciascun intervallo è uguale all'integrale definito della funzione di distribuzione calcolato sull'intervallo stesso. A destra, i. della distribuzione temporale dei decadimenti di un campione di 1000 esemplari dell'elemento in questione: l'ordinata N relativa a ciascun intervallo di tempo è pari al numero di conteggi che cadono in quell'intervallo.

A. Completa la seguente tabella inserendo la parte di testo relativa ai termini indicati: 

C. Quali di questi elementi sono presenti nella definizione.

esempi
espressioni idiomatiche
descrizioni
definizione in linguaggio comune
definizione tecnica

D. Esplicita l’area o le aree disciplinari di riferimento dei termini di seguito elencati.

F.    Elenca e definisci i diversi tipi di variabile che conosci. [seguono 5 righe per la risposta]

M.   La distribuzione normale è una distribuzione continua teorica (o come dicono alcuni "ideale") di probabilità la cui rappresentazione grafica è una curva a campana. Descrivi le caratteristiche di questa distribuzione e spiega che cosa s'intende con il termine distribuzione continua teorica. [seguono 8 righe per la risposta]

N.   Facendo riferimento al fenomeno riportato nel testo inglese, elenca e spiega le operazioni da compiere per stimare il numero di bambini con un peso compreso tra 108 e 130 lb. [seguono 8 righe per la risposta]

O.   Nella voce istogramma riportata all’inizio è inserito un grafico con due esempi di istogramma: illustrane il significato [seguono 5 righe per la risposta]

P.   Spiega in che cosa e perché le tre distribuzioni riportate nel seguente grafico si differenziano (Figura 4). [seguono 4 righe per la risposta]

Figura 4

DISCUSSIONE

TIPOLOGIA

    Risulta difficile collocare esattamente la prova in una delle tipologie previste. Puo' rientrare nella forma B, "quesiti a risposta singola": per rispettare i limiti previsti per i primi 2 anni (8 quesiti) occorre tagliare alcune domande o accorparle in una sola con sottoquesiti; puo' anche rientrare nella prova "con testo di riferimento" prevista per questo primo anno di esame.

OSSERVAZIONI GENERALI

1.   Abbiamo avuto difficoltà a rispondere a numerose domande, non riuscendo a comprenderne la richiesta (ad esempio "elenca e definisci i vari tipi di variabile che conosci", "elenca e definisci i vari tipi di funzione che conosci"). La filosofia che traspare ogni tanto è quella di uno studente che abbia chiaro che cosa l'insegnante si aspetta che risponda: se così fosse sarebbe una richiesta che offre poche possibilità di analisi e che, di conseguenza, verifica una conoscenza piuttosto ripetitiva.
2.   Gli obiettivi dichiarati per l'area disciplinare ITALIANO non hanno molto a che fare con i programmi del triennio. L'Italiano è presente in qualunque prova come strumento di comunicazione; ma se si vuole che sia una delle 4 discipline previste allora gli alunni dovrebbero poter essere valutati anche sulla letteratura, contenuto dell'ultimo anno di corso.
3.   E ancora: ha significato verificare la competenza linguistica posseduta dallo studente (obiettivo trasversale, non si tratta solo di "italiano"), ma è un obiettivo importante conoscere nozionisticamente la struttura del dizionario, le abbreviazioni? Occorre allora verificare qualche cosa di più significativo: ad esempio, la capacità di usare diverse forme di documentazione verbale (sapersi organizzare, capire da dove partire nella ricerca, consultare manuali/enciclopedie/..). Si potrebbe richiedere allo studente di ricavare il significato di un concetto a lui sconosciuto da un piccolo glossario, per cui sia necessario procedere a ritroso da un concetto ad un altro.
4.   Vengono esaminati aspetti teorici e applicativi importanti relativi alle aree disciplinari MATEMATICA E STATISTICA (non ben riportati ed evidenziati nella tabella che introduce la prova): il problema è però costituito dall'ambiguità e/o dalla non correttezza contenutistica di numerose domande.
5.   La tabella che introduce la prova non illustra esaurientemente gli obiettivi per l'area disciplinare INGLESE: non viene indicata l'esposizione personale in lingua inglese (domanda L3, in parte presente anche in L1 e L2, anche se qui si tratta soprattutto di identificare, all'interno del testo, frasi di risposta).
6.   I testi (sia quello itialiano che quello inglese) sembrano ben dimensionati e le domande formulate in modo da evitare i rischi che abbiamo segnalato nel punto HG della griglia. C'è anche un soddisfacente equilibrio tra richieste teoriche e richieste operative, anche se queste potrebbero essere accentuate (prevedendo, ad esempio, per la domanda L2, la elaborazione di una piccola quantità di dati e, poi - o insieme - la descrizione/motivazione del procedimento seguito, oppure domande, in aggiunta o in alternativa alla P, in cui si chiede di tracciare il grafico di una funzione densità che abbia mediana sia maggiore della media o che ...), in modo da tener meglio conto dei problemi che abbiamo discusso nel punto C della griglia.
7.   Una prova di questo tipo non può essere improvvisata. Non basta un testo tirato giù alla buona, ma occorre averci lavorato già abbastanza (questo vale sia per i membri interni che gli esterni). Sembra necessario che tutti, membri interni ed esterni (che dovrebbero conoscere il lavoro delle classi attraverso i documenti dei relativi consigli), arrivino con idee, materiali, ecc. abbastanza strutturati. Sembra inoltre opportuno far riferimento ed avere a disposizione manuali seri su cui controllare le cose (le contestazioni possono avvenire non solo per eventuali valutazioni negative ma anche per la qualità culturale delle prove proposte o per l'assenza di adeguate opportunità per la valorizzazione e la differenziazione delle prestazioni). Qui si apre un discorso più ampio sugli esami conclusivi, sulle banche di materiali didattici, sui libri di testo, ... .
8.   Vari commenti generali sono inseriti nei successivi commenti alle varie domande.

    Passiamo ora all'analisi dettagliata della prova: per ciascuna "critica" presentiamo una "Proposta Alternativa", che indicheremo con PA.

PRESENTAZIONE

    Il testo, se ben trascritto, presenta vari errori; ad es.:
- etimologia: c'è un piccolo errore: occorre mettere "del" al posto di "dal" o "da" al posto di "di" (è discutibile il riferimento al significato di "trama" invece che a quello di "telaio", ma non è certo un aspetto significativo);
- si trovano espressioni come "valori globali" (che cosa sono?), "... la variabile cade in quell'intervallo" (invece di "... assume valori in ..."), "integrale di una funzione definito su ..." (invece di "integrale definito della funzione su ..."), "intervallo della variabile" (invece di "intervallo di numeri");
- si possono chiamare istogrammi solo i diagrammi a forma di "telaio", quindi cosituiti da colonne (rettangoli) o, eventualmente, segmenti, non da figure geometriche qualunque (il valore è rappresentato dalle altezze nel caso in cui si considerino segmenti o rettangoli di uguale base, dalle aree nei casi in cui non si cosiderino segmenti);
- la funzione rappresentata a sinistra nella figura non è una funzione di distribuzione, ma una funzione di densità, almeno se t è tale che l'integrale della funzione tra 0 e INF valga 1, cioè se t è circa 1/0.25 (la funzione di distribuzione è una funzione integrale della funzione densità); e per essa non ha senso parlare di normalizzazione; la funzione rappresentata a destra è il prodotto di una funzione densità per 1000;
- la funzione di densità non esprime la probabilità in funzione del tempo: la probailità che in un istante t avvenga il decadimento radioattivo di un atomo è 0.
    L'uso di una terminologia sbagliata mette in difficoltà gli studenti (a meno che le imprecisioni siano in sintonia con quelle presenti in alcuni libri di testo).

PA: presentazione di un altro testo (corretto, eventualmente inventato) o dello stesso rimaneggiato; a meno che non si vogliano far seguire domande sugli errori o di confronto con altri testi.

DOMANDE a-c
Sono banali e/o ambigue:
- è estremamente facile identificare le parti di testo relative a lemma, qualifique grammaticali, etimolgia (domanda A), sciogliere le abbreviazioni (B) o capire che sono presenti esempi, descrizioni e definizioni in linguaggio comune (C);
- la parte di testo relativa alla definizione (domanda A) è tutta la voce, compresi gli esempi, come sembrerebbe dal testo della domanda C, o no?
- definizione tecnica (in C) vuol dire definizione di un termine tecnico o espressa in un linguaggio formale o settoriale?
- non è netto il confine tra cio' che è e cio' che non è espressione idiomatica (domanda C): se con espressione idiomatica si intende una espressione composta il cui significato non è ricavabile da quello delle sottoespressioni, variabile aleatoria ad es. potrebbe essere considerata tale.

PA (dando alla domanda valenza multidisciplinare): costruzione della voce "istogramma" di un ipotetico dizionario di italiano che contenga rinvii ad altre voci assegnate, ad esempio "diagramma", "statistica", "variabile casuale", "distribuzione di frequenza", "modalità" e "intervallo".
Ci sembra infatti importante valutare la capacità di produrre testi funzionali in linguaggio non formalizzato (a partire da conoscenze disciplinari limitate) e di avere idea del ruolo e della struttura di un dizionario.

DOMANDA d
È banale e/o ambigua. Che cosa si intende con aree disciplinari? i capitoli di un (brutto) libro di testo (piano cartesiano, insiemi, ...) o i settori della ricerca matematica (ma, in questo caso solo integrale e variabile aleatoria potrebbero essere assegnati a qualche area specifica)?

PA: eliminare

DOMANDA e
L'unica risposta sensata è "tutti", ma è quella che si attendono gli estensori? che voto dare a un candidato che risponda così? di fronte a domande banali/ambigue o con risposte generali/generiche l'alunno riflessivo non sa che rispondere.
E gli esaminatori hanno difficoltà a differenziare le prestazioni.

PA: illustrare, mediante esempi, il concetto di variabile come grandezza e/o come simbolo (in storia per indicare fattori o condizioni, in lingua come componente per descrivere oggetti linguistici o regole di riscrittura, in fisica come grandezza, ...).

DOMANDA f
- Che vuol dire "tipi"? diverse specie di oggetti matematici (variabili deterministiche e variabili casuali, che nell'impostazione insiemistica non sono "variabili" ma funzioni deterministiche) o diversi attributi assegnabili, a seconda del contesto, a una variabile (dipendente, indipendente, parametro, ...) o diversi impieghi (variabili per rappresentare numeri, funzioni, punti, insiemi, ...)?
- Che cosa vuol dire "definisci"?

PA: esemplificare CONTESTI in cui usare parametro, variabile deterministica e non, dipendente e non, ...

DOMANDA g
- Valgono considerazioni analoghe a quelle per la domanda f
- Sembra richiedere risposte nozionistiche adatte solo per chi ha subito un insegnamento nozionistico con classificazioni per "ricetta".

PA: distinguere (tra alcuni proposti) o esemplificare fenomeni modellizzabili con successioni, con funzioni definite su intervalli di numeri reali continue e non, ...

DOMANDA h
Non ci sembra tanto utile descrivere una esperienza, quanto illustrare il ruolo che tali concetti (meglio specificati) possono avere in qualche contesto particolare da loro affrontato in qualche altra disciplina. Ma è difficile, a meno che non sia presentato il fenomeno nel testo.

PA: "Ho queste grandezze .... Pensarle una in funzione dell'altra e rappresentarle graficamente che cosa mi fa capire del fenomeno? ..."
(l'obiettivo è riconoscere in contesti vari i 2 concetti e il loro uso)

DOMANDA i
Dal punto di vista della comunicazione, nel dare una "definizione" non devi esprimerti "con parole tue" ma devi adattare il linguaggio a un certo contesto e a una certa utenza.

PA:
- vedi la PA per le domande a)-c)
- presentare una analoga definizione/descrizione scritta in altri tempi o formulata per un livello scolastico o culturale più basso e chiederne la ristesura usando termini matematici attuali o indirizzandola a un livello più alto.

DOMANDA l
Si concorda con l'idea e si valuta buona la comprensibilità linguistica del testo. Anche la dimensione del testo ci sembra ottimale. Ma:
- la tabella e i grafici non sono corrispondenti: nella tabella sono considerati gli intervalli [82.5, 87.5), ..., [142.5, 145), nei grafici invece gli intervalli [80,85), ..., [140,145).
- i dati sono clamorosamente inventati: i pesi non hanno andamento gaussiano, mentre questi lo hanno (e così perfettamente che, anche se i pesi avessero andamento gaussiano, sarebbe poco probabile una tale corrispondenza dei valori sperimenatli alla distribuzione teorica): vedi figure sottostanti (in cui gli istogrammi sperimentali sono confrontati con le densità gaussiane aventi media e sc. quad. medio pari a quelli sperimentali).
- non è indicato se si tratta di maschi o di femmine o di entrambi: in quest'ultimo caso l'andamento sarebbe ulteriormente diverso.

DOMANDA L1
Sembra di capire che la risposta attesa sia "gaussiano" (lo fa supporre la domanda m). Ma:
- i pesi non hanno andamento gaussiano
- non ho informazioni per rispondere in base alla tabella
- è una distribuzione sperimentale (e posso solo valutare probabilisticamente l'accordo con una legge teorica).
È una domanda che porta a misconcezioni e, quindi, pericolosa.
Oppure la risposta attesa è "unimodal and roughly symmetrical"? ma non è un tipo, è un attributo. In questo caso occorre allora indicare esplicitamente che la risposta è estraibile dal testo, senza rielaborazioni disciplinari.

DOMANDA L2
Gli studenti devono dire (copiando dal testo) che cosa vuol dire tabulare? se è così occorre allora indicare esplicitamente che la risposta è estraibile dal testo.

DOMANDA L3
Dal punto di vista matematico la domanda non ha senso: di una variabile aleatoria mi pongo il problema di valutare il suo adattamento a una certa legge, non la sua casualità. Se l'adattamento è troppo perfetto posso al più mettere in dubbio la casualità dei dati (sono frutto di esperimento o sono inventati ad hoc?).

PA (per mantenere una domanda a cui debbano rispondere producendo qualcosa di originale, non estratto dal testo):   Without using formulas, explain how to calculate the percent frequency of the weights in the intervals considered in the table.

DOMANDA m
L'espressione "distribuzione continua teorica" è sbagliata; la rappresentazione grafica a campana è della densità e non della distribuzione.

PA:
- eliminare o chiedere solo di caratterizzare (con consegne piu' precise) la legge di distribuzione normale (precisando che non ha nulla a che fare con la distribuzione dei pesi).
- si potrebbe eventualmente chiedere quando una variabile casuale è continua (ma è una domanda un po' nozionistica e non facile: una variabile casuale a dominio in un intervallo reale è continua quando ammette una funzione densità)

DOMANDA n
Se non capisci l'inglese non sai rispondere: in questa domanda si sovrappongono e si confondono gli oggetti della valutazione. Inoltre non è facile per lo studente spiegare a parole il procedimento per mancanza del lessico adeguato.

PA: stima il numero di ragazzi con peso compreso tra 108 e 130 lb, giustificando (verbalmente o graficamente) il procedimento seguito.

DOMANDA o
È necessario tradurre la domanda: l'esempio dovrebbe confrontare distribuzione attesa e distribuzione sperimentale; a sinistra c'è una funzione densità, a destra no (vedi commento a Presentazione).

PA: riformulare il quesito a risposta chiusa, per togliere ambiguità e difficoltà di espressione: mettere nell'istogramma a destra le frequenze percentuali, in modo da semplificare e focalizzare il confronto.

DOMANDA p
Si tratta di funzioni di densità, ma non è detto che siano gaussiane: si puo' rispondere che sono tutte e tre simmetriche, con un unico massimo che (con buona approssimazione) è media, moda e mediana, e che hanno diverse dispersioni. Non capiamo che senso abbia la richiesta del "perché".
Si tratta di tre funzioni diverse; non capiamo che significhi l'indicazione f(x) sull'asse delle ordinate.

PA: dire che sono rappresentate tre funzioni densità gaussiane (o chiedere di scegliere tra "gaussiane", "esponenziali", "poissoniane", ... quale può essere l'attributo giusto) e chiedere quali sono i confronti tra i loro parametri che si possono dedurre dai grafici.