• Vediamo il problema assegnato la volta scorsa
Per ogni numero intero n maggiore di 2 sia S(n) l'insieme delle somme 0+1+2+...+(n-1), 1+2+3+...+n, 2+3+4+...+(n+1), ... ossia l'insieme di tutte le somme di n numeri naturali consecutivi. Qual è il MCD degli elementi di S(3)? Motiva e/o dimostra la risposta S(3) è l'insieme delle somme 0+1+2, 1+2+3, 2+3+4, 3+4+5,..., ossia l'insieme dei numeri m+(m+1)+(m+2) al variare di m tra i numeri naturali. Queste somme valgono: 3, 6, 9, 12, ... Possiamo intuire che, a partire da 3, si susseguono in ordine tutti gli altri interi divisibili per 3, e che quindi 3 è il loro MCD. La dimostrazione è semplice: m+(m+1)+(m+2) = 3*m+3 = 3*(m+1) al variare di m numero naturale è un numero divisibile per 3; quindi 3 è un divisore di tutti gli elementi di S(3); dobbiamo dimostrare che è il più grande tra tutti i divisori degli elementi di S(3). La cosa è immediata: il primo elemento, 3, di questo insieme è divisibile solo per 1 e 3, quindi 3 è il massimo dei suoi divisori, ed è, quindi, anche il massimo di tutti i divisori degli elementi di S(3).
• Estendiamo il problema:
Per ogni numero intero n maggiore di 0 sia S(n) l'insieme delle somme
0+1+2+...+(n-1), 1+2+3+...+n, 2+3+4+...+(n+1), ...
ossia l'insieme di tutte le somme
di n numeri naturali consecutivi.
[tra i numeri naturali mettiamo lo "zero"; alcuni lo escludono ... vedi]
Qual è il MCD degli elementi di S(n) per n ≥ 1? Motiva e/o dimostra la risposta (affronta
il problema come "problema di ricerca": sperimenta, congettura, dimostra, ... ;
se vuoi usa R o WolframAlpha per fare delle congetture; riporta, in tal caso, gli esiti delle sperimentazioni fatte).
[nella lezione scorsa avete affrontato il problema per n = 3, trovando la risposta 3]
Nota. Per usare R aziona:
source('http://macosa.dima.unige.it/om/prg/r/mcd.txt')
Per usare WolframAlpha introduci cose del tipo:
gcd(0+..+2,1+..+3,2+..+4,3+..+5,4+..+6,5+..+7)
• Attività con R - 2
[righe da eseguire, tra un "#" e l'altro]
# Schiacciando il tasto freccia ^ [v] si rivedono preced. [segu.] comandi.
# Quanto fatto può essere memorizzato usando il comando Save History
# e dandogli un nome (con estensione ".Rhistory"). Il file può essere
# ricaricato con Load History e può essere esaminato o caricato con i
# tasti freccia, come detto sopra.
#
# Per esamiare alcune funzioni incorporate si puo' guardare uno dei vari
# help; ad es. selezionare "R functions (text)" [o "Funzioni di R (testo)],
# mettere "sqrt" come parola da cercare; si apre "MathFun {base}" e da qui
# si seleziona "Math". Si può usare anche "Search Engine & Keywords"
# attivabile da "Html Help" ("Guida Html"), e, soprattutto, sempre da
# "Html Help", aprire "Packages" e, quindi, "Base" e "Graphics".
# Si tratta, comunque, di help non "facili". Battendo il comando
# help(sqrt) si entra direttamente nell'help di sqrt (se non sei in rete
# potrebbe essere azionabile solo "Search Help" - "Cerca nella Guida").
#
# I grafici di tre funzioni a 1 input e 1 output con curve (con cui non è
# necessario - ma è possibile - specificare il dominio) e l'opzione add (ci
# sono anche altri modi per ottenerli) e plot (qui solo) per scegliere la scala:
# la 2ª riga riserva lo spazio per il rettangolo con ascissa da -5 a 5 e
# ordinata da -5 ad 8 e non lo traccia (type="n"), e non mette etichette agli
# assi (xlab="", ylab=""); con fg="white" non traccio il box, con xaxt="n",
# yaxt="n" ascisse/ordinate. I comandi sono copiabili facilmente e modificabili.
f <- function(x) x*2-1; g <- function(x) x^2-1; h <- function(x) x/2-1
plot(c(-5,5),c(-5,8),type="n",xlab="", ylab="")
abline(h=0,v=0,col="brown"); abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="brown",lty=3)
curve(f, add=TRUE,col="red"); curve(g, add=TRUE,col="blue"); curve(h,add=TRUE)
#
plot(c(-5,5),c(-5,8),type="n",xlab="", ylab="",fg="white")
abline(h=0,v=0,col="brown"); abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="brown",lty=3)
#
plot(c(-5,5),c(-5,8),type="n",xlab="", ylab="",fg="white",xaxt="n",yaxt="n")
abline(h=0,v=0,col="brown"); abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="brown",lty=3)
#
# Una definizione per ricorsione:
A <- 90000
F <- function(n) if (n==0) 1 else (Recall(n-1)+A/Recall(n-1))/2
# ovvero: F <- function(n) if (n==1) 1 else (Recall(n-1)+A/Recall(n-1))/2
F(1); F(2); F(10); F(11); F(12)
A <- 1024; F(9); F(10)
# Che cosa calcola F?
# x(0)=1, x(n+1) = ( x(n) + A/x(n) ) / 2 (che converge a ...)
#
# Se un comando e' lungo si puo' scriverlo tutto su una stessa riga fino
# a qualche migliaio di caratteri o si puo' andare a capo: la riga seguente
# è interpretata come continuazione (sullo schermo è aggiunto automaticamente
# un "+" all'inizio della nuova riga). Un esempio:
dati <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,
21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40)
mean(dati)
#
# generazione di alcune sequenze di numeri interi:
s <- 5:11; s; 5:11-1; 5:(11-1); 11:5; s/2
# più in generale:
seq(6); seq(3,9); seq(3,10,0.8); seq(3,10,len=4); seq(3,by=0.8,len=6)
# modi per ripetere più volte dei dati:
x <- c(3.1, 6.4, 21.7); c(7,rep(x, 4)); c(7,rep(x, each=4))
#
# analisi dei dati relativi ad un gruppo di alunne quindicenni (altezze in cm)
alu <- c(156,168,162,150,167,157,170,157,159,164,157,165,163,165,166,160,163,162,155)
length(alu); sort(alu); mean(alu); median(alu)
# Stem-and-leaf plot (o, in breve, stem plot). La cifra indicata nella
# prima colonna è il "gambo" (stem) del singolo dato, la cifra rimanente
# è la "foglia" (leaf); per ogni gambo ci possono essere più foglie
# (dati classificati nella stessa classe).
stem(alu)
# un modo per contare le lunghezze delle colonne, anche parziali
stem(alu, width = 0); stem(alu, width = 2)
# come scegliere intervalli diversi (lo standard equivale a scale=1)
stem(alu,scale=0.5); stem(alu,scale=3)
#
# [continua]
• Si può dimostrare che la successione A(0)=1, A(n+1) = (A(n) + k/A(n)) / 2, con k > 0, convege a √k. Questo è un efficientissimo algoritmo per calcolare la radice quadrata di un numero che risale agli antichi babilonesi. Ha come idea originale la seguente osservazione: se A è una approssimazione per eccesso [difetto] di √k allora k/A ne è una approssimazione per difetto [eccesso] (da A > √k segue che k/A < √k), e quindi come migliore approssimazione si può prendere la media artitmetica, (A+k/A)/2, di tali approssimazioni.
• Chiudiamo questa rapida introduzione ad R cliccando qui, in cui sono ripresi (come vedi facendo scorrere in su il documento) anche i due precedenti "pezzi".
• Soluzione all'esercizio sul MCD assegnato sopra:
qual è il MCD degli elementi dell'insieme S(n) (n intero positivo) di tutte le somme di n
numeri naturali consecutivi:
S(n) = {0+1+2+...+(n-1), 1+2+3+...+n, 2+3+4+...+(n+1), ...}
Cose (oggi) facili da congetturare non è detto che siano facili da dimostrare (questo è un esempio relativamente facile, per noi ma non per gli alunni; si possono fare esempi di congetture "facili" di cui tutt'ora non esistono dimostrazioni; diamo un'occhiata qui).