•  Prova ad eseguire in R il seguente calcolo:
library(MASS); fractions(24/40)
n <- 1:150; fractions((n+1)/n)
–  Perché si è usato "library(MASS)"?
–  Che cosa ti consentono di congetturare le uscite? Perché?
–  Prova a dimostrare la congettura.
–  Come potrebbe dimostarla un ragazzo (sveglio e non succube della scuola - che cosa vuol dire "succube"?) di 12 anni?
–  Quale potrebbe essere la "gestalt" (che cosa significa, qui?) che gli ha permesso di ottenere la dimostrazione?

library(MASS); fractions(24/40)
[1] 3/5
n <- 1:150; fractions((n+1)/n)
  [1]       2     3/2     4/3     5/4     6/5     7/6     8/7     9/8    10/9   11/10   12/11   13/12
 [13]   14/13   15/14   16/15   17/16   18/17   19/18   20/19   21/20   22/21   23/22   24/23   25/24
 [25]   26/25   27/26   28/27   29/28   30/29   31/30   32/31   33/32   34/33   35/34   36/35   37/36
 [37]   38/37   39/38   40/39   41/40   42/41   43/42   44/43   45/44   46/45   47/46   48/47   49/48
 [49]   50/49   51/50   52/51   53/52   54/53   55/54   56/55   57/56   58/57   59/58   60/59   61/60
 [61]   62/61   63/62   64/63   65/64   66/65   67/66   68/67   69/68   70/69   71/70   72/71   73/72
 [73]   74/73   75/74   76/75   77/76   78/77   79/78   80/79   81/80   82/81   83/82   84/83   85/84
 [85]   86/85   87/86   88/87   89/88   90/89   91/90   92/91   93/92   94/93   95/94   96/95   97/96
 [97]   98/97   99/98  100/99 101/100 102/101 103/102 104/103 105/104 106/105 107/106 108/107 109/108
[109] 110/109 111/110 112/111 113/112 114/113 115/114 116/115 117/116 118/117 119/118 120/119 121/120
[121] 122/121 123/122 124/123 125/124 126/125 127/126 128/127 129/128 130/129 131/130 132/131 133/132
[133] 134/133 135/134 136/135 137/136 138/137 139/138 140/139 141/140 142/141 143/142 144/143 145/144
[145] 146/145 147/146 148/147 149/148 150/149 151/150

Su library(MASS) vedi.

La congettura è che due numeri interi positivi tra loro consecutivi siano primi tra loro. Vediamo diversi modi in cui potrei formulare una dimostrazione.

(1) Se N è pari N+1 non può esserlo.
Se N è divisibile per 3 N+1 non può esserlo: 3 e 4, 6 e 7, ... sono il primo divisibile per 3 e il secondo no; perché?
Pensiamo a 6 e a 7:  6=3·2, 7=3·2+1.  Riscritta la situazione così, mi viene l'idea:  se N = 3·D allora la divisione di N+1 per 3 ha come resto 1; infatti se il 3 sta esattamente D volte in N, starà D volte anche in N+1, con l'avanzo di 1.
Ma questo ragionamento fatto per 3 posso ripeterlo allo stesso modo per ogni numero intero maggiore di 3. Ad es. se N è un multiplo di 8, allora N = 8·D, per cui N+1 = 8·D+1 non può essere un multiplo di 8: il multiplo di 8 successivo a N è N+8.

(2) Più formalmente (ma non mettendo in luce il modo in cui sono arrivato all'idea):
1 sta esattamente in ogni numero. Invece ogni altro divisiore di un numero intero maggiore di 1 non può esserlo anche del numero successivo, perché dividendo questo per esso avrei come resto 1.

(3) Più formalmente (ma non mettendo in luce l'idea retrostante):
Sia D un divisore comune a due numeri consecutivi N ed N+1. Sia N/D=Q. Allora (N+1)/D = N/D+1/D = Q+1/D. Quindi (N+1)/D può essere intero solo nel caso in cui 1/D sia intero, ossia quando D sia 1.

La "gestalt" è l'idea illuminante, non pura somma delle esperienze/idee precedenti, quella, per intenderci, che a Gauss ha fatto percepire che 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 poteva vederlo come (1+10)+(2+9)+... .  In questo caso - ipotizzando che il ragazzo abbia proceduto nel modo (1) - l'idea, che scatta dagli esempi fatti, è che se N è un multiplo di D (D intero maggiore di 1), il multiplo immediatamente successivo è ottenuto dal precedente aggiungendo D, ossia è N+D, e, quindi, N+1 non può esserlo.

  [succube]