Soffermiamoci sui quesiti proposti 3 lezioni fa. Per mia comodità espositiva, affronteremo le soluzioni con R.
(A) Quale/quali, tra tutti i triangoli di eguale superficie aventi in comune un lato, ha/hanno perimetro minimo?
# (A) Copia via via da un gruppo di righe # con solo # al gruppo successivo # dev.new(width=3.5, height=3.5, xpos=400,ypos=1) par( mai = c(0,0,0,0) ) # Ho posizionato e dimensionato opportunamente la finestra # (comandi non essenziali). Con fg="white" non traccio il # box; con asp=1 faccio sist. monom. plot(c(-1,17),c(-1,17),type="n",fg="white",asp=1) x <- seq(-1,17,1); abline(h=x,v=x,lty=3,col="grey") abline(h=c(0,5,10,15),v=c(0,5,10,15),col="grey70",lty=2) text(8,16.5,"Quando è minimo il perimetro?") H <- 8; lines(c(0,10),c(0,0),col="red") lines(c(-1,-1),c(0,H),col="red"); text(-0.5,3.5,"H") polygon(c(0,10,5),c(0,0,H),lty=3) polygon(c(0,10,8),c(0,0,H),border="blue",lty=3) polygon(c(0,10,11),c(0,0,H),border="green4",lty=3) polygon(c(0,10,14),c(0,0,H),border="red",lty=3) text(4,-0.5,"L"); text(7,3.5,"L1"); text(12.5,3.5,"L2") text(8,15.5,"L'esito non dipende da H") # Dai grafici si deduce subito che l'esito non dipende da H # (scalando verticalmente la situazione non cambia in quanto # le lunghezze di L1 ed L2 variano proporzionlamente). # # # Proviamo a fare qualche congettura (facile, col computer ...): # Diamo via via il vertice e calcoliamo con il teorema di # Pitagora L1+L2 # (fai via via dei clic; quando vuoi finire premi ESC) avvio <- 0; par( mai = c(0,0,0,0) ) while(1==1) {plot(c(-1,17),c(-1,17),type="n",fg="white",asp=1) x <- seq(-1,17,1); abline(h=x,v=x,lty=3,col="grey") abline(h=c(0,5,10,15),v=c(0,5,10,15),col="grey50",lty=2) lines(c(0,10),c(0,0),col="red") text(0,-1/2,"0"); text(10,-1/2,"10") xp <- locator(1)$x; polygon(c(0,10,xp),c(0,0,H),border="blue") xx <- round((10+sqrt(xp^2+H^2)+sqrt((xp-10)^2+H^2))*1e4)/1e4 if (avvio > 0) text(1,15.5,paste("ex:",yp),adj=0) yp <- xx; text(1,13.5,xx,adj=0) avvio <- 1; locator(1) } # differenza vicino all'asse del lato di base e' piccola (impercettibile # senza computer); non e' facile convincersi del tutto ... # # Se abbiamo conoscenze di analisi matematica basta che studiamo # la derivata prima di sqrt(x^2+8^2)+sqrt((x-10)^2+8^2) plot(c(-1,17),c(-1,17),type="n",fg="white",asp=1) x <- seq(-1,17,1); abline(h=x,v=x,lty=3,col="grey") H <- 8; lines(c(0,10),c(0,0),col="red") lines(c(-1,-1),c(0,H)); text(-0.5,4,"8") polygon(c(0,10,14),c(0,0,H),border="red",lty=3) lines(c(0,14),c(9,9)); text(5,-0.5,"10"); text(7,9.5,"x") # E' facile fare il calcolo a mano. Vediamo, per curiosità, come # farlo con R: D(expression(sqrt(x^2+8^2)+sqrt((x-10)^2+8^2)),"x") 0.5*(2*x*(x^2+8^2)^-0.5)+0.5*(2*(x-10)*((x-10)^2+8^2)^-0.5) # # Otteniamo un risultato non semplificato. Lo possiamo semplificare # a mano, oppure lo copiamo e incolliamo in: http://www.wolframalpha.com # (facciamolo) # Potremmo anche derivare il termine con wolframalpha mettendo: # d ( sqrt(x^2+8^2)+sqrt((x-10)^2+8^2)) ) / dx # # Che lo semplichiamo o no troviamo (a mano, con R o usando il sito # di cui sopra) che 5 è il punto in cui la derivata si annulla. # # # Vediamo come si poteva fare più "semplicemenete": # Costruiamo L2' ribaltando L2 rispetto alla retta che dista # H dalla base dev.new(width=3.5, height=3.5, xpos=400,ypos=1) par( mai = c(0,0,0,0) ) plot(c(-1,17),c(-1,17),type="n",fg="white",asp=1) x <- seq(-1,17,1); abline(h=x,v=x,lty=3,col="grey") abline(h=c(0,5,10,15),v=c(0,5,10,15),col="grey70",lty=2) H <- 8; lines(c(0,10),c(0,0),col="red") lines(c(-1,-1),c(0,H),col="red"); text(-0.5,3.5,"H") polygon(c(0,10,5),c(0,0,H),lty=3) polygon(c(0,10,8),c(0,0,H),border="blue",lty=3) polygon(c(0,10,11),c(0,0,H),border="green4",lty=3) polygon(c(0,10,14),c(0,0,H),border="red",lty=3) text(4,-0.5,"L"); text(7,3.5,"L1"); text(12.5,3.5,"L2") polygon(c(0,10,14),c(0,0,H),border="red",lty=3) lines(c(5,10,14),c(8,H*2,H),lty=2); text(12.5,12.5,"L2'") # L1+L2 = L1+L2' è minimo quando L1 e L2' sono allineati # ossia quando il triangolo è isoscele. # Questa è una semplice dimostrazione, facile da capire, # ma non facile da ideare (come gran parte delle dimostrazioni # di geometria "classica") # # Oltre al triangolo così trovato c'è ovviamente quello # ad esso simmetrico rispetto al lato L
(B) Quale/quali, tra tutti i triangoli di eguale perimetro aventi in comune un lato, ha/hanno superficie massima?
# (B) # Era già noto ad Euclide che il raggio di luce che arriva in uno # specchio e quello riflesso formano con lo specchio angoli eguali; # sappiamo anche (per il Principio di Fermat - vedi) che questo è il # percorso più breve. # # Faccio un disegno per capirci (traccio anche # l'ellisse con fuochi in (-2,0) e (2,0) ) par( mai = c(0,0,0,0) ) x1 <- -3.5; y1 <- -3; x2 <- 3.5; y2 <- 4 plot(c(x1,x2),c(y1,y2),type="n",xlab="", ylab="",asp=1) abline(v=seq(-3,3,1),h=seq(y1,y2,1),lty=3) abline(v=0,h=0); abline(h=20/12,col="brown") n <- 80; dx <- (x2-x1)/n; dy <- (y2-y1)/n; I <- 0:n; J <- 0:n for(i in I) for(j in J) {x <- x1+dx*i;y <- y1+dy*j; if (abs(sqrt((x-2)^2+y^2)+sqrt((x+2)^2+y^2)-6)<0.05) points(x,y,pch=".",cex=2,col="red")} polygon(c(-2,0,2),c(0,sqrt(5),0)); polygon(c(-2,2,2),c(0,20/12,0)) text(-2,-1/2,"A"); text(2,-1/2,"B"); text(-0.3,2.7,"H") lines(c(-2,0,2),c(0,20/12,0),lty=3); text(-0.3,1.5,"K") text(2.2,2.1,"Q") # Per il p. di F. la spezzata AKB ha lunghezza minore della spezzata # AQB, mentre i triangoli AKB e AQB hanno la stessa area. # Quindi AHB ha sicuramente area maggiore
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