Introduzione al concetto di TENSORE
Consideriamo le forze che agiscono all'interno di un corpo continuo.
Prendiamo in esame una porzione interna di tale corpo. Sia R la regione (parte di spazio) che occupa e sia S la superficie che ne è il contorno (ossia che lo separa dal resto del corpo).
Supponiamo che R sia di forma opportuna in modo che, preso comunque un P di S, si possano considerare il versore normale n a S in P diretto esternamente a R e porzioni S' di S contenenti P di area ΔS via via più piccola, tendente a 0.

Il materiale del corpo esterno a R esercita sulla parte interna, attraverso S', una forza F di trazione che dipende, per intensità e direzione, sia dall'area ΔS che dall'orientamento di S', ovvero da n.
Una forza simile, di uguale intensità ma direzione opposta, è esercitata attraverso S' dalla parte interna sulla parte esterna.
Indichiamo con t(n) il "fattore" che rappresenta nel modo seguente la relazione tra F e ΔS:
F =  t(n) ΔS,  ovvero:   t(n) = F / ΔS.
In pratica t(n) indica la direzione in cui agisce F (che non ha in generale direzione normale a S', ma dipende, ad es., da come le masse si distribuiscono dentro ad S e al suo esterno) rapportata all'estensione di S'.
In opportune condizioni (del materiale del corpo) possiamo supporre che esista il limite per ΔS → 0 di t(n).
Indichiamo con lo stesso simbolo, t(n), il limite, e lo chiamiamo vettore di trazione superficiale o vettore di sforzo (o vettore stress) nel punto P sulla superficie di normale n.
Come caratterizzare la trazione in P indipendentemente dalla normale n scelta?
Non potremo usare un vettore, ma un oggetto matematico costituito da una quantità maggiore di componenti.
L'idea è questa: considerare i vettori sforzo t1, t2 e t3 associati ai versori degli assi coordinati (la figura sotto a sinistra illustra il significato di t1) e descrivere lo sforzo complessivamente esercitato sul punto P mediante la terna di questi vettori.
 
Se indichiamo con σi, j le componenti del vettore ti (che possiamo immaginare come nella figura sopra a destra, ossia come le componenti delle forze che agiscono sulle facce di un cubo di lato unitario), lo sforzo complessivo può essere dunque indicato con il seguente oggetto, chiamato tensore degli sforzi (o stress):

/ t1 \   / σ1,1e1 + σ1,2e2 + σ1,3e3 \
| t2 | = | σ2,1e1 + σ2,2e2 + σ2,3e3 |
\ t3 /   \ σ3,1e1 + σ3,2e2 + σ3,3e3 /
[σi, j è la componente di ti nella direzione di ej; ad es. σ3,2 in un punto è positivo se il materiale da una parte di un elemento di superficie (centrata nel punto) normale all'asse x3 esercita sul materiale dal lato opposto una trazione che ha una componente positiva nella direzione dell'asse x2 (la stessa trazione è esercitata dal secondo materiale sul primo); se σ3,3 è positivo si ha una trazione rispetto a un elemento di superficie normale all'asse x3 con componente positiva nella direzione dello stesso asse x3: in questo caso il materiale, nel punto considerato, è "in trazione" nella direzione dell'asse x3; se invece σ3,3 fosse stata negativa il materiale sarebbe stato "in compressione" nella direzione dell'asse x3]
È un oggetto fisico di tipo nuovo, che ha 9 componenti. Le grandezze scalari hanno 1 componente, quelle vettoriali ne hanno 3, gli oggetti fisici descritti da una terna di vettori, ossia da 9 componenti, sono chiamati tensori [vedremo che questi, più precisamente, sono chiamati tensori del secondo ordine, essendo chiamato tensore di ordine N un oggetto che nello spazio fisico ha 3N componenti].