Didattica della Matematica - I - Foglio di esercizi n. 3 - Commenti/soluzioni

  [1] La figura C è stata ottenuta con una traslazione di passi Dx=2, Dy=3. La figura D è stata ottenuta con una trasformazione di scala monometrica con fattore di scala 1/4: i suoi punti sono ottenibili dai punti di A dividendone ascisse e ordinate per 4.
    È facile capire (osservando la posizione dei lati riferita alla griglia) che B è stata ottenuta con una rotazione di 90°. Non è facile individuare il centro della rotazione. Con un po' di intuizione, tentativi e verifiche si puo' comunque concludere che è il punto (1,0). Una argomentazione per arrivare direttamente alla conclusione può essere la seguente:
durante la rotazione i punti descrivono degli archi di cerchio concentrici; per trovare il centro basta considerare le corde di due di questi archi (corde che possiamo tracciare anche senza conoscere la forma degli archi), tracciarne gli assi (cioè le rette che passano perpendicolrmente per il punto medio di esse) e farne le intersezioni; infatti l'asse di una corda passa per il centro del cerchio.
 
[2] Ecco i trasformati rispetto a: 
a) la rotazione attorno a (-4,4) di 90°; 
b) la trasformazione di scala con fattori moltiplicativi 3/2 per le x e 0.5 per le y; 
c) la traslazione di vettore (4,-5); 
d) la trasformazione x' = y, y' =   
e) la simmetria (ribaltamento) rispetto alla retta y =    x + 2
 
 
  [3] Un punto P dista (secondo la distanza urbabinistica) 2 dalla retta considerata se 2 è la minima tra le distanze urbanistiche che intercorrono tra P e i vari punti della retta.
In altre parole, ciò accade se, muovendosi solo orizzontalmente o verticalmente, il modo più breve per raggiungere la retta a partire da P è costituito da una traiettoria lunga 2.
L'insieme dei punti con distanza urbanistica 2 dalla retta considerata è costituito dalle due rette ad essa parallele rappresentate a lato, aventi distanza euclidea 2 da essa. Sulla figura sono disegnati anche alcuni punti e alcune delle traiettorie orizzontali-verticali con cui da esse si arriva alla retta data.

[4] 50/60 giri/sec = 50·360/60 gradi/sec = 300 gradi/sec.  B ruota nello stesso verso di A e il suo bordo avanza con la stessa velocità del bordo di A, con cui è a contatto. C ruota in verso opposto, orario, e il suo bordo avanza con la stessa velocità di quello di B e, quindi, di A. Poiché C ha lo stesso diametro di A ruota anch'essa a 50 giri/min (B, che ha diametro doppio, ruota invece a 25 giri/min).
[5] Vi sono varie strategie. Quella raffigurata sotto in A consiste nell'approssimare il contorno con una figura poligonale e nel valutare l'entità dell'errore considerando quanto le parti indebitamente incluse compensano quelle escluse: l'area del poligono è 35 quadretti; l'errore si può stimare in al più un quadretto; quindi l'area sarebbe 35±1 quadretti; poichè un quadretto ha area 1/4, l'area è 8.75±0.25 (o, per una stima più approssimativa ma più sicura, 9±0.5). Il metodo illustrato in B è più semplice: l'area è compresa tra 20 e 45 quadretti, cioè tra 5 e 11.25 (non contrasta con la precedente valutazione: questo intervallo di misure include il precedente). Il metodo in C cerca di precisare le valutazioni per difetto ed eccesso fatte in B considerando e mettendo insieme anche frazioni di quadretto (la parte interna verrebbe 26 quadretti, cioè 6.5; anlogamente si può valutare l'area del poligono contenitore).
[6] Il piano su cui si appoggia il dispositivo è orizzontale se le bolle stanno entrambe nella parte centrale del rispettivo cilindretto (questo dispositivo si chiama livella a bolla). Infatti la bolla sta nella parte centrale di un cilindretto se questo è disposto lungo una retta orizzontale; ciò si verifica per entrambe le bolle se entrambi i cilindretti stanno su linee orizzontali; un piano contiene due rette orizzontali non parallele solo se è orizzontale.

[7]   A lato è illustrato come, tracciando una retta che passa per il centro del cerchio e per il punto posto a 14 divisioni sopra l'asse orizzontale (essendo il raggio lungo 10 divisioni) si può leggere approssimativamente sul goniometro l'inclinazione corrispondente alla pendenza del 140% e come, tracciando una retta passande per il centro e inclinata di -30° si trova che con tale inclinazione a un avanzamento orizzontale di 10 divisioni corrisponde un abbassamento di circa 6 divisioni, cioè si ha una pendenza circa di -6/10 = -60%.

    [8] 

[9]  Dal punto di vista della generazione dell'ombra, se la sorgente luminosa è in alto, l'ombrello si comporta come un cerchio di diametro 120 cm. Sotto, in A1, è schematizzata la proiezione dell'ombra nel caso della lampada: ogni diametro genera un'ombra delle stesse dimensioni; quindi l'ombra ha forma circolare. Ciò accade perché cerchio e piano di proiezione (il suolo) sono paralleli (in A2 si vede che la stessa cosa accadrebbe anche se la lampada non fosse sopra al centro del cerchio). 
In A3 si vede che l'ombra è ingrandita dello stesso fattore moltiplicativo che trasforma 140 in 350, cioè 350/140 = 35/14 = 5/2 = 2.5. L'ombra è un cerchio di diametro 2 volte e mezza quello dell'ombrello (120·2.5=300 cm). 
  In B si vede che nel caso dei raggi del sole, che sono praticamente paralleli, ogni diametro genera un'ombra di lunghezza uguale a quella del diametro stesso; quindi l'ombra ha forma circolare e stesse dimensioni del cerchio-ombrello. 
 

[10] I raggi del sole che passano per le estremità dei due pali devono arrivare alle estremità delle rispettive ombre. Il sole deve quindi stare nell'intersezione delle rette che passano per le estremità dei pali e delle rispettive ombre.

[11] Nel caso in cui i raggi del sole formino angoli di 45° con la verticale l'ombra ha stessa forma e stesse dimensioni del reticolato (ombra disegnata sotto a sinistra). Se vengono formati angoli di 30° l'ombra (ombra disegnata sotto al centro) è allungata rispetto al reticolato di un fattore pari a tan 60° = 3; anche senza usare funzioni trigonometriche si poteva arrivare a questa conclusione applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo con angoli di 60 e 30 gradi e osservando che (essendo questo metà di un triangolo equilatero) il suo cateto minore è metà dell'ipotenusa): se a è lungo 1, l'ipotenusa è lunga 2 e, quindi, b è lungo (22-12) = 3.

 
 

[12] L'ombra (ombra disegnata sopra a destra) ha stessa forma del reticolato e dimensioni pari a 1 volta e mezza quelle di esso: infatti ogni coppia di raggi di luce che passa per il reticolato forma con il piano del reticolato e con il piano dell'ombra due triangoli dalla stessa forma ma con "altezze" (rispetto ai segmenti che stanno su questi due piani) lunghe rispettivamente 30 cm e 45 cm; dello stesso fattore di ingrandimento (45/30 = 1.5 = 150%) viene ingrandito il segmento di "base". Non è necessario che la lampadina sia sopra al centro della struttura.
 
[13] Nel caso del cono le curve di livello sono cerchi equidistanziati, in quello della semisfera si tratta di cerchi le cui distanze da uno a quello più interno sono man mano maggiori (vedi figura sottostante)
 
[14]  Dalle figure (sapendo che le porzioni di assi sono lunghe 2) si riesce a capire che, approssimativamente: la casa ha base quadrata, con lati di base lunghi 2 e paralleli agli assi; i muri sono alti circa 1; il tetto arriva a un'altezza di circa 1.5. Quindi il volume è circa quello di un parallelepipedo di dimensioni 2,2,1, e quindi di volume 4 , e di un prisma a sezione triangolare e con "altezza" 2 rispetto a una "base" triangolare con un lato lungo 2 e relativa altezza 0.5 (e quindi con area 2·0.5/2 = 0.5); il prisma ha quindi volume uguale circa a 2·0.5 = 1, e l'intera casa ha volume uguale circa a 4+1 = 5.
[è una casetta "matematica", in uno spazio astratto senza unità di misura]
  
Sotto sono raffigurati la casetta, le diverse posizioni dell'occhio (cioè dell'obiettivo della macchina), i raggi visivi che congiungono occhio e punto mirato, le proiezioni sul piano xy dei punti (5,5,5) e (5,3,4).
La visione C corrisponde all'occhio collocato sull'asse z (si guarda dall'alto mirando al centro della casa): da questo punto di vista gli assi x e y si vedono perpendicolari, la base della casa appare quadrata, ... . Quindi l'occhio è (0,0,5). 
La visione B è frontale e al livello del suolo: il lato di base anteriore copre quello posteriore, la porta appare al centro, si vede l'asse z che taglia a metà la facciata, ... . Quindi l'occhio è (5,0,0). 
Le visioni A e D sono dall'alto, da punti collocati sopra al quadrante delle x e y positive; dobbiamo scegliere tra (5,5,5) e (5,3,4); per ragioni di simmetria si può concludere che la visione D corrisponde a (5,5,5) (punto che cade esattamente a metà strada tra asse x e asse y, sulla bisettrice dell'angolo "asse x, asse y"): un vertice della casetta (quello avente coordinate x=1, y=1, z=1) è attraversato dal raggio visivo, per cui appare sovrapposto alla origine degli assi; l'asse z appare sovrapposto a una diagonale del quadrato di base, ...