Esercizi - 1   Possibili soluzioni e commenti

[1]

• 61.1 = 60 + 1 + 1/10 = 60 + 1 + 6/60 = (01)(01).(06); o, più intuitivamente: 61 min e 1/10 di min = 1h 1min e (60 sec /10) = 1h 1min 6sec = …; o, più meccanicamente, esprimendo la parte frazionaria in sessantesimi mediante: 0.1·60 = 6. • 120.3 = 120 + 1/3 = 60*2 + 0 + 20/60 = (02)(00).(20) [120 min e 1/3 di min sono 2 h 0 min 20 sec]

[2] L'area è pari alla differenza delle aree dei due cerchi, di cui indichiamo i raggi con A (il maggiore) e B (il minore): πA2 - πB2 = π(A2 - B2). In base alla figura possiamo dire che B è circa 100 cm, ma non che questo è il suo valore esatto; potremmo valutare in 1 cm la precisione del valore di B (100-1 cm ≤ B ≤ 100+1 cm). Analogamente possiamo valutare in 170±1 cm il valore di A.

Dunque il valore minimo dell'area in cm2 sarebbe π(1692 - 1012), quello massimo π(1712 - 992). Con una CT otteniamo per questi due valori 57679.64... e 61072.56. Possiamo dunque dire che l'area in m2 è tra 5.7 e 6.1, ossia 5.9±0.2. Oppure potevamo ritenere che A e B (in cm) fossero 170±0.5 e 100±0.5 e trovare analogamente 58527.87.. e 60224.33.. e valutare l'area in m2 compresa tra 5.8 e 6.0, cioè 5.9±0.1.     In modo più spiccio avremmo potuto calcolare π(1702 - 1002) = 59376.10... e valutare in 59000 cm2, ossia 5.9 m2, il valore a cui ha senso arrotondare il risultato (una indeterminazione relativa pari a circa 1 su 60, dello stesso ordine di grandezza di quella con cui può essere valutato, in base alla figura, lo spessore dell'anello).

[3] Il bidone grosso ha stessa forma e dimensioni (sia diametro che altezza) circa triple di quello piccolo. Quindi il volume risulta essere moltiplicato circa per 3³, ossia 27. Questo è il fattore moltiplicativo di cui è crescuta la produzione di rifiuti.

[4] 1.327 km = 1327 m. Il tovagliolo contiene 49 quadratini; in un quadratino vi sono 1327/49 m; nel tovagliolino, che contiene 16 quadrettini uguali a quelli del tovagliolo, vi sono 1327/49·16 = 433.30… = 433 [arrotondando] metri di filo.
È errato il ragionamento: B ha lato pari a 4/7 di quello di A, quindi la risposta è 1327·4/7 = 758 m. Sarebbe eventualmente stato corretto considerare che se 4/7 è il fattore di scala tra le distanze allora (4/7)² è quello tra le aree (la quantità di filo è proporzionale alla superficie), e prendere 1327·(4/7)² = 1327·16/49 = 433 m.

[6] 1.99·10³⁰/(7.35·10²²) calcolando in modo approssimato è circa 20/7·10²⁹/10²², cioè circa 3·10^29-22 = 3·10⁷; con la CT si ottiene 2.7074829·10⁷, arrotondabile a 2.71·10⁷.

[7] 1 l = 1000 cm³ = 1000·1000 mm³ = 10⁶ mm³; quindi 1 cl = 10⁶/100 mm³ = 10⁴ mm³; quindi la risposta è 7·10⁴·70·5·10⁶ = 49·5·10¹¹ = 245·10¹¹ = 2.45·10¹³ = 2·10¹³ [abbiamo arrotondato a 1 cifra poichè erano così arrotondati i fattori moltiplicativi]

[8] "micro" (μ) è un prefisso che indica "·10^-6"; il micron (= μm, in genere indicato solo con μ) è quindi 1 milionesimo di metro, cioè un millesimo di millimetro; in 1 cm vi stanno 10 mila μ; di globuli rossi spessi 2 μ ce ne stanno la metà: 5 mila.  facendo brutalmente i calcoli avremmo ottenuto (poiché 1 cm = 10^-2 m): 10^-2/(2·10^-6) = (1/2)·10^-2/10^-6 = 0.5·10^-2-(-4) = 0.5·10² = 5·10³.  Con la CT si poteva calcolare direttamente 1·10^-2/(2·10^-6)

[9] Faccio riferimento a una edizione tascabile di 90 pagine. Ogni pagina ha 4 colonne di testo. In ogni colonna ci sono circa 40 righe e in ogni riga circa 40 caratteri (compresi gli spazi bianchi). Quindi circa 90·4·40·40 = 9·64·1000 = (circa) 10·60·1000 = 600000 , ovvero circa 600 mila caratteri (cioè 6·10⁵).

[10] Il modo in cui si può effettuare la stima dipende dalle conoscenze che, al momento, si rammentano. Ad esempio se uno, visualizzando mentalmente un globo terrestre, stima che la distanza da Parigi sia maggiore di quella da Roma ma non di molto (sia tra 1 volta e mezza e 2 volte essa), se sa che da Genova a Roma ci sono poco più di 500 km di autostrada complessivamente abbastanza rettilinea, cioè circa 400 km in linea d'aria, può stimare in circa 700 km (100 km più, 100 km meno) la distanza in linea d'aria Genova-Parigi.

[11] In base 5 (5 cifre: 0, 1, 2, 3, 4) a 123, avanzando di 3, si succedono 124, 130, 131: 5 è la base cercata.

[12] 1-4 (associare la riga 1 della prima colonna alla riga 2 della seconda e terza), 2-5, 3-9, 4-6, 5-7, 6-10, 7-1, 8-2, 9-3, 10-8

[13] La popolazione è stata moltiplicata per 1.072 (1 e 7.2 centesimi); la popolazione iniziale (in migliaia di abitanti) la si ottiene dividendo per 1.072:  324/1.072 = 302.23... = 302

[14] 2·3 = 6

[15] La moltiplicazione per 120% (=1.2) ripetuta equivale alla moltiplicazione per 1.2·1.2 = 1.44 = 144%. Quindi è come se si fosse scelto direttamente il fattore di ingrandimento 144%: le dimensioni del disegno originale sono state ingrandite complessivamente del 40%.

[16] Per il primo diagramma dobbiamo trovare tutte le frazioni del tipo M/100 (M intero compreso tra 1 e 100) trasformabili nella forma 1/N; dobbiamo cioè trovare gli M che sono divisori di 100: sono 100 (100/100=1: l'intero cerchio), 50 (50/100=1/2: mezzo cerchio), 25 (1/4), 20 (1/5), 10 (1/10), 5 (1/20), 4 (1/25), 2 (1/50), 1 (1/100). Poiché M*N=100 (25/100 = 1/4, 25*4=100), l'insieme dei numeri M coincide con l'insieme dei numeri N, cioè le frazioni 1/N cercate sono tutte quelle con N divisore di 100.
Questi M (ovvero questi N) non sono altro che i numeri che si possono ottenere combinando mediante moltiplicazioni i numeri che si ottengono scomponendo 100 in fattori primi (100=2·2·5·5).
Analogamente, poiché 60=2·2·3·5, le frazioni unitarie rappresentabili "esattamente" sul secondo diagramma sono 1/60 = 1/(2·2·3·5), 1/30 = 1/(2·3·5), 1/20 = 1/(2·2·5), 1/15 = 1/(3·5), 1/12 = 1/(2·2·3)), 1/10 = 1/(2·5)), 1/6 = 1/(2·3), 1/5, 1/4 = 1/(2·2), 1/3, 1/2, 1.

[17]   La sequenza indicata corrisponde al calcolo dei termini seguenti:
  A / ((A+B+C) /360), B / ((A+B+C) /360), C / ((A+B+C) /360). Ho scritto A, B, C invece di 123, 576, 85.
    È una riscrittura (operata al fine di risparmiare la battitura di qualche tasto) del termine seguente, che esprime il rapporto tra A e il totale A+B+C in 360-esimi:  A / (A+B+C) * 360
Quindi la risposta corretta è G.
    Un altro modo sarebbe stato quello di memorizzare il rapporto tra 360 e totale (vedi Ripartizione in parti proporzionali nell'indice deGli Oggetti Matematici), cioè usare la seguente sequenza:
  [MC] 123 [+] 576 [+] 85 [=] [M+] 360 [÷] [MR] [=] [M+]
  o:  [MC] 123 [+] 576 [+] 85 [=] [÷] 360 [=] [1/x] [M+]   e poi:
  123 [x] [MR] [=] 576 [x] [MR] [=] 85 [x] [MR] [=]
che corrisponde a termini del tipo:  A * (360/(A+B+C))

[18] Abbiamo (in grammi):   PesoNetto = PesoConfezioni – PesoContenitori;  437 ≤ PesoConfezioni ≤ 438;
PesoContenitori = PesoContenitore·10;   11 ≤ PesoContenitore ≤ 12;   11·10 ≤ PesoContenitori ≤ 12·10;
317 = 437–120 ≤ PesoNetto ≤ 438–110 = 328.
In questo intervallo [317, 328] di valori possibili cadono 320 e 326.

[19] La tabella originale (prima della cancellazione di alcune celle) era: 

facoltà	matricole 98/99	matricole 97/98	variazione assoluta	variazione percentuale
lett. filosofia	41687	42603	-916	-2.2%
ling. lett. stran.	9487	9342	145	1.6%
psicologia	4920	5729	-809	-14.1%
sc. politiche	15752	18841	-3089	-16.4%
sc. formazione	21107	19395	1712	8.8%

Noi non potremo ritrovare con esattezza questi valori in quanto le rappresentazioni percentuali di cui disponiamo sono arrotondate a 2 o 3 cifre soltanto. Vediamo quello che possiamo ottenere.

riga 1:
        matricole 98/99 = (matricole 97/98) + variazione [= 41687]

                                   variazione
        variazione percentuale = ——————————————— ·100 [= - 2.15008… = -2.2]
                                 matricole 97/98


riga 2:                         variazione
        matricole 97/98 = —————————————————————— ·100 [= 9062.5 = 9100 circa]
                          variazione percentuale


[con più precisione avremmo potuto dire che è compresa tra

145/1.65·100 = 8787.8…  e  145/1.55·100 = 9354.8…;

quindi 9100 è un risultato con un margine di errore di qualche centinaia;

e, in effetti, il valore esatto delle matricole sarebbe 9342] 


    matricole 98/99 = (matricole 97/98) + variazione [= 9207.5 = 9200 circa]


riga 3:              variazione percentuale
        variazione = —————————————————————— ·(matricole 97/98) [= -807.789
                              100
                                                               = -810 circa]

        matricole 98/99 = (matricole 97/98) + variazione [= 4920 circa]


riga 4:                       (matricole 98/99)·100
        matricole 97/98 = —————————————————————————————— [=18800 circa]
                          100 + (variazione percentuale)

[infatti:
          rapporto%/100·(matricole 97/98) = matricole 98/99

          matricole 97/98 = (matricole 98/99)·100/rapporto% = …]


        variazione = (matricole 98/99) - (matricole 97/98)

[20]  59 mm + 1250 mm + 2300000 mm + 3500000 mm = 5801309 mm (o: 3.5 km + 2.3 km + 0.00123 km + 0.00059 km = 5.801309 km, o …)
– L'esercizio è diseducativo: non ha senso sommare lunghezze espresse in unità di misure così diverse senza tener conto delle precisioni delle misure.
–  Si dovrebbe rispondere 5.8 km tenendo conto che 125 cm e 59 mm sono trascurabili in quanto le altre misure sono approssimate alle centinaia di metri (il valore esatto può differire dal valore indicato di qualche decina di metri, valore che "assorbe" l'aggiunta di valori dell'ordine del metro).

[21] 9%. Infatti: 109%·109% = 118.81% = [arrotondando] 119%. Ovvero radice quadrata di 119% = 1.0908… = [arrotondando] 109%.

[22] Sono cubi di cui uno ha lato circa 3 volte il lato dell'altro, e quindi ha volume circa 27 volte il volume dell'altro. 2800/27 è circa 100.