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I numeri complessi
Scheda 31. Riepilogo
Abbiamo visto che moltiplicare un numero complesso z1 per un numero complesso z2 vuol dire moltiplicarne il modulo per quello di z2 e addizionare al suo argomento quello di z2:
Questo ci consente di esprimere le rotazioni attorno a (0,0) come prodotti per numeri complessi di modulo 1 e argomento pari all'ampiezza della rotazione: ruotando (x,y) di ampiezza a attorno a (0,0) si ottiene come (x',y') ( scheda 2 - [9]):
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x'+iy' = (x+iy)·(cos(a)+isin(a)) |
= ... = x·cos(a)-y·sin(a)
+ i(y·cos(a)+x·sin(a))
x' y' |
È il modo in cui esprimere le rotazioni attorno a (0,0) nella
forma "x' = ... , y' = ..." preannunciato nella scheda 1
Abbiamo visto che ricorrendo al prodotto tra numeri complessi possiamo ricavare facilmente le formule per calcolare cos(a+b) e sin(a+b):
cos(a+b)+isin(a+b) è pari a: (cos(a)+isin(a))·(cos(b)+isin(b)),
cioè, sviluppando il prodotto, a:
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cos(a)·cos(b)-sin(a)·sin(b) | + | i(cos(a)·sin(b)+cos(b)·sin(a)) |
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[1] Verifica le formule sin(a+b) = ... e cos(a+b) = ... (dette formule di addizione) nel caso in cui a e b siano entrambi di 90° e nel caso in cui uno sia di 180° e l'altro di 90°.
[2] Esprimete cos(-b) e sin(-b) in funzione di cos(b) e sin(b).
Quindi, tenendo conto di queste espressioni e usando le formule per cos(a+b) e sin(a+b), ricavate delle formule per cos(a-b) e sin(a-b).
2. Trasformazioni conformi
Una trasformazione del tipo z  z·z0+z1 rappresenta una similitudine (rotazione pari all'argomento di z0, trasfromazione di scala monometrica di fattore pari al modulo di z0, traslazione del vettore rappresentato da z1).
Combinando più operazioni (addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divisioni) si possono ottenere trasfromazioni geometriche più complesse. In figura 1 è rappresentato un reticolato a lati orizzontali e verticali e alcuni suoi trasfromati mediante funzioni di questo genere. Ad esempio il trasformato in alto è frutto della applicazione di z (z/2)2+1.5, quello in basso della applicazione di z 2/(z-1), quello a sinstra della applicazione di una funzione più complicata.
[3] Queste trasformazioni non conservano le forme, non conservano il parallelismo (tratti paralleli nella figura iniziale non sono più tali nel trasformato). Conservano, tuttavia, qualche caratteristica. Quale, secondo voi?
Le funzioni da  in di questo genere rappresentano trasformazioni geometriche che conservano gli angoli di incidenza, cioè gli angoli che formano due linee che si intersecano. In altre parole, riferendosi alla figura 2, se R' è la regione di piano in cui viene trasformata la regione R, le due curve A e B di R vengono trasformate in A' e B' che si intersecano formando un angolo uguale a quello formato da A e B.
Le trasformazioni geometriche che conservano gli angoli di incidenza vengono chiamate conformi. Queste funzioni, e altre funzioni da in che eventualmente studierari nella prosecuzione degli studi, sono dunque trasformazioni conformi.
Questo è uno dei motivi principali per cui vengono utilizzati i numeri complessi. Infatti le trasformazioni conformi trovano applicazioni in molti campi. Ad esempio se pensi al reticolato iniziale di figura 1 come a un "canale" di cui le linee orizzontali rappresentano le linee di corrente e quelle verticali le linee di avanzamento del liquido, i suoi trasformati possono essere considerate rappresentazioni di come il flusso del liquido cambia al cambiare della forma del canale (nell'ipotesi che non vi siano vortici, ostacoli, ...).
In figura 3 è illustrata la applicazione ad alcuni cerchi di una funzione del tipo z z + a2/z2; la figura fa intuire che con opportune trasformazioni è possibile semplificare lo studio di come variano i flussi d'aria su un'ala d'aereo al variare del suo profilo; dalla figura si vede anche che possono esistere dei punti particolari in cui le curve si intersecano senza che sia conservato l'angolo di incidenza, come (a,0) che viene trasfromato in (2a,0).
Le trasformazioni conformi sono usate anche nello studio dei campi elettrici e di altri campi di forze (campi descrivili con linee che indicano la direzione in cui agiscono le forze, simili alle linee di corrente dell'acqua).
3. Soluzioni complesse di equazioni polinomiali
Per trovare il punto di partenza da cui è stato ottenuto un certo punto mediante una trasformazione rappresentata come funzione da in , ci si può trovare di fronte alla esigenza di determinare le soluzioni complesse di una equazione (cioè i numeri complessi che la risolvono). In figura 4 si vede come due particolari reticolati vengono trasformati dalla funzione z z2-2z+3.
La parte a destra di x=1 del reticolato superiore viene trasformata in una figura che sta sopra all'asse x; la parte a destra di x=1 del reticolato inferiore viene trasformata in una figura che sta sotto all'asse x.
Nella figura trasformata i punti vicini all'asse x provengono sia dal reticolato superiore che da quello inferiore: in questi punti i due trasformati si intersecano.
Il punto (1.4, 1.8), evidenziato a sinistra con un triangolino, viene trasformato in (-1.08, 1.44), evidenziato analogamente a destra, come può essere verificato con COMPL, calcolando (z-2)·z+3 (che equivale a z2-2z+3) per z=1.4+1.8i:
1.4 + 1.8 i R= 2.280351 DIR= 52.12502
- -
2 R= 2 DIR= 0
-.6 + 1.8 i R= 1.897367 DIR= 108.435
* *
1.4 + 1.8 i R= 2.280351 DIR= 52.12502
-4.08 + 1.44 i R= 4.326662 DIR= 160.56
+ +
3 R= 3 DIR= 0
-1.08 + 1.44 i R= 1.8 DIR= 126.8699
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Possiamo anche dire che -1.4+1.8i è una soluzione di z2-2z+3=-1.08+1.44i
[4] Osservando figura 4, individuate una soluzione di z2-2z+3=-2+2i e una di z2-2z+3=0 e controllatele con COMPL.
Con Derive si possono risolvere in alcune semplici equazioni. In particolare si possono risolvere tutte le equazioni polinomiali di grado 2. Ecco le soluzioni delle due equazioni precedenti:
#1 z^2-2*z+3=2+2*#i
#2 [z=2+#i,z=-#i] Risoluzione(#1,z)
#3 z^2-2*z+3=0
#4 [z=1+SQRT(2)*#i,z=1-SQRT(2)*#i] Risoluzione(#3,z)
Queste due equazioni polinomiali di 2° grado hanno entrambe 2 soluzioni. Si può dimostrare che tutte le equazioni polinomiali hanno almeno una soluzione in e ne hanno al più tante quanto è il grado del polinomio.
[5] Ciò vale anche in  ?
Noi dimostreremo quanto affermato sopra solo in alcuni casi.
Iniziamo dal caso delle equazioni del tipo zn=k, con z incognita e k numero complesso fissato.
zn sta per z·z·...·z, moltiplicazione di n termini uguali a z.
Se la forma polare di z è (r,q), questo prodotto ha come modulo rn e come argomento nq.
Quindi, se indichiamo con rk e qk modulo e argomento di k, per le soluzioni di zn=k avremo r = rk1/n.
Ma non possiamo concludere che necessariamente q = qk/n. Infatti affinché nq sia uguale (come direzione) a qk ciò non è necessario. Ad esempio 180°·2, cioè 2p, è, come direzione, uguale a 0, ma p non è la metà di 0.
[6] (a) Quali sono le soluzioni di z2 = 1? Qual è la loro espressione in forma polare?
(b) Come sopra per z2 = i.
[7] (a) Esaminate e commentate assieme all'insegnante figura 5.
(b) Quali sono le altre 2 soluzioni?
figura 5
u, v, w e q sono 4 delle 6 soluzioni
di z6 = 2.985984 = 1.26.
ru=rv=rw=rq= 1.2
qu= 60°, qv= -60°, qw= 180°, qq= 120° |
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Se k<>0, le soluzioni di zn=k sono dunque esattamente n. Nel caso particolare in cui rk = 1 (ad es. se k è 1 o i o -1 o -i), esse si dispongono lungo i vertici di un n-agono regolare.
Nel caso delle equazioni di grado 2, cioè nel caso della risoluzione rispetto a z delle equazioni del tipo:
az2 + bz + c = 0 con a, b e c numeri complessi,
possiamo procedere come nel caso "reale", mediante "completamento del quadrato", cioè cercando di trasformare l'equazione nella forma: (z + ...)2 = ...
 a·z2 + b·z + c = 0
z2 + b/a·z + c/a = 0
Penso b/a·z come doppio prodotto di: (z + ...)2:
z2 + 2·b/(2a)·z + (b/(2a))2 - (b/(2a))2 + c/a = 0
(z + b/(2a))2 = (b/(2a))2 - c/a
Se u1 e u2 sono le soluzioni rispetto a t di
t2 = (b/(2a))2 - c/a, avremo:
z = -b/(2a) + u1 OR z = -b/(2a) + u2
Se (b/(2a))2 = c/a, t2=... ha solo la soluzione 0, per cui avremo solamente:
z = -b/(2a)
[8] Risolvete procedendo in modo simile le equazioni di [4] (dopo aver scritto anche la prima nella forma ... = 0)
4. "Errori" di Derive
In figura 6 è riprodotto il grafico di una particolare funzione F (per input che varia in un intervallo che si estende a sinistra e a destra di 0) realizzato mediante l'applicazione Derive (la evidenziazione mediante tratteggio della parte del grafico a sinistra dell'asse y è nostra) . |
 | figura 6
Grafico realizzato con Derive di:
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[9] Il grafico di F è corretto? [argomentate la risposta]
Se a Derive si chiede di risolvere l'equazione F(x) = 0 dove F è la funzione considerata in figura 6, si ottiene come soluzione -1, mentre sappiamo che -1 non è una soluzione in quanto non appartiene neanche al dominio della equazione: per x = -1 la radice quadrata di x non è definita.
Questi fenomeni (tracciamento del grafico di F anche per x < 0 e fornitura di x = -1 come soluzione di F(x) = 0), e fenomeni analoghi, si verificano perché Derive considera definita la radice quadrata di x anche per x negativo e ne assume come valore una delle due soluzioni complesse della equazione z2 = x. [10] Inventa funzioni / equazioni di cui Derive faccia il grafico / dia soluzioni non corrette.
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