INDICE

Su alcuni concetti / temi matematici da affrontare nella scuola secondaria di 1° grado
("intrecciati" all'interno di unità didattiche)

[scuola  primaria - A   primaria - B   sec. 1° grado   sec. 2° grado - A   sec. 2° grado - B]

Il concetto di modello
Il concetto di numero
Le potenze
Le operazioni aritmetiche
I concetti di rapporto e proporzionalità
I diagrammi
Le approssimazioni
Calcolatrici. Calcolatore. Logica
La statistica descrittiva
Formule, termini, grafi
I concetti di funzione e di risoluzione di un'equazione
Lo spazio
Inversa proporzionalità
Calcolo delle probabilità
Rapporti con le altre aree disciplinari

Sono ripresi, con un taglio diverso, più o meno gli stessi contenuti presenti nel documento relativo al livello scolastico precedente e in quello relativo al livello successivo.
Le indicazioni sono riferite a quanto mediamente si dovrebbe affrontare nella scuola secondaria di 1° grado.
Esse sono presentate articolate per aree tematiche ma, come via via chiarito, nei percorsi didattici i diversi concetti matematici devono intrecciarsi tra di loro e con le altre discipline.

Il concetto di modello

    La matematica può essere definita la scienza dei modelli. Il concetto di modello deve dunque avere un ruolo centrale nel suo insegnamento sin dai primi livelli.

    Il tema della modellizzazione accomuna tutte le forme di sapere; ciò offre numerose e feconde occasioni di interazioni tra l'insegnamento della matematica e quello delle altre discipline.

    La figura seguente illustra il rapporto tra "modello" e "realtà".  Data una situazione reale un modello ne è una rappresentazione semplificata che ne illustra alcuni aspetti, per certe finalità.  A seconda delle finalità vi possono essere modelli differenti della stessa situazione (un modello di un aeroplano può avere la stessa forma e colore di un aereo vero ma non volare, o può non assomigliare ad un aereo vero ma volare).  La "bontà" di un modello dipende dalla sua adeguatezza agli obiettivi per cui è stato costruito (per evidenziare meglio alcuni aspetti, per generalizzare alcune proprietà, per facilitare il confronto con altre situazioni modellizzate in modo analogo, …).  La fase preliminare della modellizzazione circoscrive gli aspetti della realtà coinvolti nel problema che si vuole studiare.  Nello schema seguente l'ambiente è la parte di realtà che viene isolata, non dettagliatamente, in questo modo, e la situazione è il complesso degli aspetti del fenomeno da modellizzare (incluse le assunzioni, le intuizioni, le percezioni, le intenzioni, … di chi costruisce il modello) di cui si vorrà tener conto nella rappresentazione:

 
modello
e realtà

    Lo stesso modello può essere impiegato per rappresentare situazioni diverse. Un esempio molto semplice è il concetto di media aritmetica, che può essere usato per indicare, in un dato paese, il consumo pro-capite di carne, il reddito medio per famiglia, l'altezza media dei ventenni, …  Un altro esempio comune è la diretta proporzionalità, che può essere impiegata per rappresentare la relazione che intercorre tra il peso di un prodotto alimentare e il suo costo, tra l'allungamento di una molla e il peso dell'oggetto ad esso appeso, tra le distanze tra le parti di un'automobile e quelle tra le parti corrispondenti in un suo modellino, …

    E una stessa situazione, a seconda delle esigenze, può essere rappresentata con modelli diversi.  La figura sottostante a destra riproduce parte dell'indice grafico stampato nella prima pagine di un orario ferroviario:  è una cartina in cui sono riprodotte le linee ferroviarie e sono indicati i relativi quadri dell'orario; essa è un modello diverso da una usuale cartina geografica in quanto non rappresenta correttamente le distanze e le direzioni.

 
 
 
   

    Vediamo un altro esempio, semplice, in cui affrontiamo un problema con due modellizzazioni matematiche differenti.

   

    Ho un dado costruito con del cartoncino. Lo lancio ripetutamente, finché ottengo una uscita pari (2, 4 o 6). Voglio valutare la probabilità di riuscirci nei primi due lanci.

    Posso studiare il problema in modo empirico:  fare 100 prove, ottenere un istogramma come quello a fianco e concludere che la probabilità cercata è circa di 48+23 su 100, ossia circa del 71%.

    Oppure posso affrontare il problema in modo concettualeipotizzare che il dado sia perfettamente equilibrato e ritenere quindi che le tre uscite "pari" e le tre uscite "dispari" abbiano la stessa probabilità di uscita, ossia del 50%. Ottengo, quindi, una uscita pari al primo lancio nel 50% dei casi; ottengo una uscita pari al secondo lancio nella metà del rimanente 50% dei casi, ossia nel 25% dei casi. In conclusione la probabilità di ottenere una uscita pari nei primi due lanci è del 75%.

   

    Il modello "concettuale" mi consente di trovare velocemente una risposta, però si basa sull'ipotesi che il dado sia perfettamente equilibrato (come non lo sono i dadi costruiti col cartoncino e neanche gli usuali dadi da gioco, in cui, per esempio, la faccia con "6" pesa meno della faccia con "1").  Il modello "empirico", basato su una sperimentazione col "mio" dado, mi consentirebbe, se avessi molto tempo a disposizione, di trovare una risposta più corretta; ma mi servirebbero gli strumenti probabilistici per valutarne la precisione.  Poi c'è un rapporto tra i due modelli: uso il modello empirico per valutare la adeguatezza del modello concettuale.  Insomma, l'uso della matematica non consiste nell'applicare brutalmente delle formule, ma comporta degli atteggiamenti culturali non "meccanici", e, al di là di questo esempio, è anche a ciò che deve educare la scuola.

    In molti casi, come in quelli ora esemplificati, occorre reinterpretare il modello verificandone l'adeguatezza a rappresentare il fenomeno studiato ed eventualmente precisare meglio la situazione da modellizzare. Nello schema abbiamo messo una doppia freccia modello ↔ situazione per evidenziare questo riadattamento.

    Nella figura sono presi in esame non solo i rapporti modelli-realtà ma anche gli "strumenti" impiegati per costruire i modelli e come la loro messa a punto interagisca col processo educativo, ossia con gli alunni, i docenti e il complesso delle conoscenze (le discipline, le tecniche, …).

    I modelli sono rappresentazioni astratte di oggetti o fenomeni "reali" (di tipo materiale: una rappresentazione topografica è il modello di un territorio; di tipo sociale: i concetti di "verbo", "sostantivo", ... sono dei modelli per rappresentare certi elementi della comunicazione verbale; … o di tipo astratto: la "proprietà commutativa" è un modello per descrivere un aspetto di alcune operazioni matematiche).

    I modelli sono costruiti utilizzando artefatti cognitivi, ossia "oggetti materiali"  (carta, segni, suoni, colori, …)  o "costruzioni artificiali" ad hoc  (il linguaggio, i concetti, …)  che l'uomo usa come protesi della sua mente.  Il termine "cognitive artifact" fu introdotto da Donald Norman nel 1993 (Norman D.A., Things that Make us Smart, Wesley Publishing Company, Addison, 1993), mentre quello di "prosthesis tools" fu proposto da Jerome Bruner nel 1986 (Bruner J.S., Actual Minds, Possible Worlds, Cambridge, Mass., Harvard University Press, 1986).

    La messa a punto degli artefatti cognitivi per modellizzare le situazioni non avviene episodicamente, ma in un contesto sociale di crescita culturale che viene via via ad organizzarsi in forme strutturate di conoscenza, che vengono trasmesse da una generazione all'altra attraverso processi educativi, in cui gli alunni e i docenti interagiscono tra loro e col sapere, quello in costruzione e quello consolidato.  Queste reciproche interazioni sono descritte dal triangolo didattico raffigurato in basso a destra nella figura iniziale (una rielaborazione di un analogo "triangolo" messo a punto da Aristotele per illustrare la "retorica", poi ripreso da Cicerone, Quintiliano e molti altri, in contesti simili a quello dell'insegnamento).

    Quanto osservato sin qui vale per tutte le discipline e le forme organizzate di sapere. Ma la matematica ha la specificità di non essere caratterizzata da una particolare area di problemi o di fenomeni che cerca di modellizzare (come la fisica, la storia, la linguistica, …), bensì dalla tipologia degli artefatti che impiega per la costruzione dei modelli, e che vengono utilizzati in tutte le altre discipline.  Quindi lo schema grafico visto sopra (che di per sé è una semplificazione) al fine di rappresentare la situazione dell'insegnamento della matematica deve essere almeno arricchito col tratteggio verticale raffigurato a lato:  gli artefatti, per la matematica, presto, da strumenti conoscitivi diventano degli oggetti di conoscenza, da modelli che "astraggono" a partire da situazioni diventano man mano degli strumenti "concreti" per mettere a punto nuove astrazioni, in una spirale senza fine.  Il sapere matematico, che nasce dai contesti modellizzati, si organizza internamente non sulla base di questi, ma dei rapporti e delle analogie strutturali tra i suoi artefatti.

    La situazione, poi, si fa più complessa in quanto sia il "triangolo", sia la tipologia degli "artefatti", con l'avvento dell'informatica, sono divenute più articolate: il software è diventato un interlocutore "animato" che interagisce tra i diversi soggetti, in modi molto diversi a seconda dell'uso che ne viene fatto e della consapevolezza con cui viene impiegato. Senza complicare ulteriormente la schematizzazione precedente, occorre tener presente che il software ha ora, e avrà sempre più, una incidenza decisiva nel modo in cui i diversi aspetti interagiscono tra di loro.

    Riassumendo, possiamo comunque dire che lo studio della matematica si articola nel rapporto (non lineare) tra  porsi problemimodellizzare  le situazioni per affrontare la soluzione dei problemi,  costruire e ricorrere a  teorie  che organizzano internamente i rapporti tra gli artefatti impiegati per la costruzione dei modelli e mettono a punto nuovi eventuali artefatti.

    Tutto ciò rende cruciale, nell'educazione matematica, il ruolo dell'insegnante. Egli deve:
  progettare e curare percorsi didattici che diano concretezza ad artefatti man mano più lontani da forme elementari di percezione,
  far emergere i conflitti realtà-concetti astratti  (da quelli tra specchi "fisici" e "matematici" a quelli tra linguaggio "comune" e linguaggio "matematico", ad esempio quando si parla di angoli e lati o di rettangoli, rombi, …, e ai molti altri presenti sin dalle prime esperienze di insegnamento)  che, se non esplicitati, rischiano di essere fonti di misconcezioni, mentre, se affrontati, sono un'occasione per trasformare una "opposizione distruttiva" in una "dialettica produttiva", che contribuisca a costruire un'immagine adeguata della matematica come disciplina,
  educare alla scelta dei modelli (non esiste "il" modello migliore) a seconda delle esigenze e delle "risorse" (artefatti fisici e concettuali) disponibili,
  organizzare l'insegnamento in modo che i riferimenti ad oggetti o situazioni reali  non siano solo dei pretesti  ma instaurino dei rapporti virtuosi con le conoscenze (e le motivazioni) extra-scolastiche degli alunni,  decentrando,  cercando di aver come riferimento non solo le proprie conoscenze e le proprie motivazioni ma, in un rapporto dialettico, anche quelle degli alunni,
  e dare organicità alle conoscenze da loro man mano acquisite in campo matematico (anche affiancando allo studio di situazioni problematiche la messa a punto - a partire da esse - di nuovi concetti e il consolidamento di alcune abilità operative attraverso opportuni esercizi, che dipendono dal livello delle conoscenze e delle tecnologie storicamente disponibili) in modo che diventino un solido terreno di partenza per nuove astrazioni,
  tenendo conto che, specie nei primi livelli di istruzione, la costruzione di rapporti virtuosi con l'extra-scuola dipende anche dal coinvolgimento delle "famiglie": occorre farle partecipare "culturalmente" al progetto educativo che si sta portando avanti (partecipare "culturalmente" non vuol dire "fare i ripetitori", ma collaborare con i docenti nella costruzione di rapporti tra le attività scolastiche e la vita extrascolastica); questo è uno dei compiti più difficili; anche questo aspetto andrebbe opportunamente inserito nel "triangolo didattico" considerato sopra …

    È solo dopo l'avvio della costruzione del significato della matematica come scienza dei modelli che l'insegnante può gradualmente costruire il significato delle definzioni e delle dimostrazioni in ambito matematico,  mettendo a fuoco le differenze dagli altri significati che nel linguaggio comune hanno sia le definizioni  (in un dizionario esse si basano su una banca di parole - the defining vocabulary - di cui non viene spiegato il significato)  che le dimostrazioni  (la dimostrazione della colpevolezza di un imputato è al di là di ogni "ragionevole" dubbio, non è "certa").   Ritorneremo in molti altri punti sia sulle definizioni:  QUIQUIQUIQUIQUIQUI,  che sulle dimostrazioni:  QUIQUIQUIQUIQUI.

    QUI trovi qualche esempio che illustra i "i limiti dei modelli" , tra cui il fatto che l'individuazione di una relazione matematica (statistica, funzionale, …) tra due grandezze reali non indichi sempre la presenza di una relazione di causa-effetto tra di esse. A questi aspetti, accennati in precedenza (quando abbiamo osservato che una stessa situazione può essere rappresentata con modelli diversi) e ripresi anche in punti successivi, è assai importante dare rilievo nell'insegnamento.
 

Il concetto di numero

    Le immagini seguenti illustrano alcuni aspetti (concettuali e pratici) della padronanza numerica che dovrebbero essere stati avviati nella scuola primaria:  l'uso dei numeri per  contare,  rappresentare e operare con valori monetari,  leggere e rappresentare grandezze utilizzando strumenti di misura di uso quotidiano, leggere e rappresentare eventi sulla linea del tempo (dapprima fino all'epoca dei bisnonni, poi spostandosi indietro negli anni).

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    Attraverso il riferimento agli usi quotidiani del numero, nella scuola primaria si dovrebbero essere sviluppate alcune abilità di scrittura ed elaborazione numerica,  si dovrebbe essere consolidata l'abitudine a fare (implicitamente) dei transfert da un contesto all'altro per interpretare alcune semplici operazioni (problemi quantitativi tradotti in problemi sulla linea dei numeri o viceversa)  e, a seconda dei casi, ad operare ad esempio su divisioni ragionando per contenenza (200/50 fa 4 in quanto 50·4 = 200) o per partizione (200/4 fa 50 in quanto dividendo 200 in 2 parti ottengo 100 e dividendolo ulteriormente in 2 parti ottengo 50) anche se i problemi concreti affrontati con esse erano, rispettivamente, di partizione o di contenenza.
    È essenziale, all'inizio della scuola secondaria, impostare delle attività didattiche che consentano di  • verificare operativamente questa padronanza ed eventualmente avviare delle attività che consentano di svilupparla e consolidarla e, contemporaneamente,  • introdurre nuovi metodi, argomenti e riflessioni che permettono di coinvolgere e motivare anche alunni che quelle abilità già padroneggiano (senza isolare, quindi, il "recupero" dai nuovi apprendimenti).
    Nel corso della scuola secondaria di 1° grado l'interpretazione dei numeri "astratti" come posizioni sulla retta graduata deve diventare naturale e immediata da parte degli alunni: è uno tra i pochi automatismi (di elaborazione, associazione, passaggio da una rappresentazione a un'altra, ...) che tutti devono saper esercitare senza sforzi mnemonici o riflessivi (per liberare risorse mentali da dedicare ad aspetti più concettuali);  sono abilità/atteggiamenti che è opportuno consolidare/mantenere allenati continuamente.

    È opportuno anche far riflettere gli alunni sulle ambiguità con cui, nel linguaggio verbale, vengono espressi i numeri con "punto", ossia i numeri con "virgola", oltre a far notare (ad es. osservando il menu-opzioni di un computer o di un cellulare) le diverse convenzioni ("," e ".") che, in ambito commerciale e nella vita quotidiana, si usano da una parte in Italia, dall'altra nei Paesi Anglosassoni e nel mondo scientifico, per separare la parte intera da quella frazionaria.

Il punto (o la virgola) decimale nel linguaggio orale viene letto spesso "e"; ad esempio "1.23" viene letto "uno punto ventitre" o "uno e ventitre", oltre che "uno e ventitre centesimi"; di fronte a "5.03", se non si aggiunge "centesimi", occorre dire "cinque e zero tre", per evitare di confonderlo con "5.3".  Nei dialoghi quotidiani spesso si usano convenzioni diverse a seconda del contesto in cui ci si trova. Ad esempio parlando di automobili, con "cilindrata mille e tre" non intendiamo 1003, ma 1300, ossia "mille e trecento"; in altre parole si sottintende il "cento". Parlando di soldi, con "un euro e tre" in genere si intende 1.03 €, ossia "un euro e tre centesimi", non 1.3 € (ossia "un euro e trenta centesimi").

    Intrecciate alla revisione e al consolidamento del concetto di "numero" sono le riflessioni sulle potenze, sul calcolo mentale approssimato, sulla linea dei numeri (e sui numeri negativi), …: vedi i successivi commenti fino alla "statistica descrittiva" esclusa.

    La padronanza dei numeri decimali limitati, la capacità di utilizzare strumenti di misura graduati, … sono fondamentali, in particolare, per avviare, informalmente, al concetto di numero illimitato (quello che poi nelle superiori verrà chiamato numero reale).  Non è certamente un concetto difficile:  già i babilonesi (circa 2 millenni a.C.) padroneggiavano un sistema di scrittura posizionale, anche se con base sessanta  (vedi QUI):  ad es. 1 24 51 10 (scritto usando simboli diversi per le cifre) rappresentava il numero 1+24/60+51/60²+10/60³;  sapevano calcolare la radice quadrata di un numero con qualunque precisione  (avevano l'idea che si poteva andare avanti e che fermandosi ad un certo punto si otteneva una approssimazione, di cui sapevano valutare l'errore);  … I libri di testo della scuola italiana (quelli più diffusi) sono tornati indietro di vari millenni, e con grossolani errori (vedi più avanti).

    Senza una prima messa a punto del concetto di numero illimitato non avrebbe alcun senso l'uso delle radici quadrate  (non esisterebbe alcun un numero che al quadrato faccia 2)  né, ad esempio, l'uso di π.  Né avrebbero alcun senso gli esercizi di geometria "astratti", in cui i lati o gli angoli abbiano delle misure "esatte",  o la costruzione di un grafico a tratto continuo!  Occorre poi, in modo semplice, senza formalismi, mettere a fuoco che si fanno degli esercizi con delle misure esatte per semplificarsi la vita senza tener conto delle approssimazioni, ma che in realtà non esistono oggetti di cui si possa misurare la lunghezza con esattezza:

    E occorre "dare l'idea" di come si possano fare somme e prodotti di numeri decimali illimitati, dato che gli alunni hanno appreso solo come operare con numeri decimali limitati.  La cosa è molto semplice, se viene avviata con delle attività pratiche di somma o differenza di lunghezze o di pesi.  Se x ha lunghezza tra 1.3 e 1.4 centimetri ed y la ha tra 1.1 e 1.2 centimetri, x+y la avrà tra 2.4 e 2.6 centimetri:

    In modo del tutto analogo, senza algoritmi strani, si possano calcolare, ad esempio, le radici quadrate.

    L'introduzione dei numeri deve poi intrecciarsi ad argomenti di statistica, a riflessioni sull'uso dei mezzi di calcolo, …

    Nei libri di testo più diffusi si trovano gravi errori didattici e concettuali. Basti pensare all'introduzione dei cosiddetti "numeri assoluti" (accoppiata a radicali assoluti e altre amenità), all'introduzione di "+" davanti ai numeri positivi (tra cui non vengono fatti rientrare i numeri naturali diversi da 0), …, che sono solo frutto di una grossolana incomprensione della natura della matematica e dell'orecchiamento, frainteso, di questioni relative ai fondamenti della matematica (se vuoi, vedi il seguente esercizio).  O si pensi alla buffa (e fonte di profonde misconcezioni) introduzione del concetto di numero razionale, che non potrebbe essere fatta senza un'adeguata comprensione del concetto di numero irrazionale (come lo sono π, √2, 1.21121112… e la stragrande maggioranza dei numeri), e che può essere affrontata in modo culturalmente significativo solo nei livelli scolastici successivi (vedi QUI).

    Non ha alcun senso (né "didattico", né "culturale") affrontare in generale il calcolo in basi di numerazioni generiche.  Le proposte che circolano sono per altro piene di errori "tecnici" di cui gli autori, probabilmente, non si sono neanche resi conto.  Uno studio di quest'area della matematica potrà essere affrontato nelle scuole superiori, e non al primo anno, per interpretare le uscite "strane" dei programmi che operano in basi diverse da quella decimale.
    Altra cosa è riprendere e consolidare (dalla scuola primaria) l'uso delle notazioni numeriche impiegate nella misura dei tempi (basi 12, 24, 60), sulle quali gli alunni hanno già competenze operative acquisite gradualmente nel corso della loro vita (vedi la figura all'inizio di questa voce), e da cui occorre partire facendo riferimento, operativamente, ai concetti di "rapporto" e di "cambio" di unità di misura.
 

Le potenze

    Nella scuola primaria l'uso delle potenze viene avviato in relazione alle misure di aree e volumi:  si apprende, operativamente, che in 1 decimetro ci stanno esattamente 10 centimetri e che in 1 decimetro cubo ci stanno esattamente 1000 centimetri cubi, e che non a caso 1 centimetro cubo è 1 millilitro, essendo 1 litro pari a 1 decimetro cubo.  Nella scuola media si consolida la scrittura delle potenze (al posto di 1000 si impara a scrivere anche 10³) e ci si estende a considerazioni sulle potenze con altre basi, riferendosi inizialmente ad aree e volumi ma estendendosi rapidamente all'uso della notazione esponenziale, fondamentale per padroneggiare l'uso dei mezzi di calcolo.  Sono concetti e abilità importantissime anche per le altre materie scientifiche.

   

    Per altro le attività con le potenze (se non vengono subito ridotte alla applicazione meccanica di regolette) possono aiutare a consolidare il significato dei numeri negativi e delle addizioni con essi. Ad es. questo è possibile se nella spiegazione o nella correzione di errori in calcoli come quello di 10–3·109 si ricorre anche a rappresentazioni grafiche come quella sotto a destra:

    La padronanza dell'elevamento a potenza è fondamentale nei più svariati campi della matematica. Deve essere consolidata operativamente non attraverso attività avulse da contesti, ma in relazione a situazioni d'uso in cui le potenze intervengano in modo significativo e che possano costituire dei solidi punti di riferimento per la concettualizzazione e la memorizzazione.
    Ricordiamo che in molti libri è diffusa la seguente definizione  «an è il risultato di n moltiplicazioni di a per sé stesso», che è ovviamente sbagliata (se si parte da a invece che da 1 le moltiplicazioni per a sono n–1, non n). È un tipico esempio di definizioni "bla-bla" che gli alunni studiano e ripetono senza capire (il concetto viene capito operativamente, per altri canali).

    Come già osservato, è importante introdurre subito l'uso della notazione esponenziale e metterne a fuoco l'utilità, contestualmente al consolidamento dell'uso di unità di misura diverse e della scrittura posizionale e all'educazione all'uso delle calcolatrici tascabili e ad un avvio allo svolgimento mentale dei calcoli approssimati.
    Oltre alla comodità della notazione esponenziale per descrivere numeri grandi e piccoli, è bene far emergere il fatto che essa facilita il controllo sintattico e semantico su ciò che si scrive, che usarla per introdurre su una calcolatrice numeri con ordini di grandezza grandi o piccoli rende più difficile commettere errori di battitura (ad es. dimenticare qualche zero), che consente una descrizione non ambigua delle approssimazioni. Quest'ultima osservazione potrà essere sviluppata esplicitamente quando, nei livelli scolastici successivi, si affronterà uno studio più sistematico dei "numeri".  
    Le tematiche "statistiche" offrono molte occasioni per inserire in modo naturale le prime attività e riflessioni sull'uso della notazione esponenziale e delle potenze.

 

Le operazioni aritmetiche

    Ovviamente nelle attività a cui si è accennato nei punti precedenti occorre riprendere e consolidare il significato delle 4 operazioni (relazioni tra loro, situazioni di cui sono modello, interpretazione geometrica, …).  È utile, in particolare, discutere con gli alunni le loro strategie di calcolo mentale, mettendole in discussione se errate, proponendo alternative, … ma senza porsi l'obiettivo di imporre loro procedimenti diversi da quelli che impiegano, se corretti:  persone diverse possono, per i motivi più vari, preferire seguire ragionamenti di tipo differente.

    Se è il caso è bene riprendere gli elementi di base delle tecniche delle 4 operazioni, recuperando abilità di calcolo, mentali e non, spesso oscurate da "tecniche veloci" (e "volatili") su cui gli alunni sono stati fatti esercitare nei livelli scolastici precedenti  (vedi QUI per avere un'idea di come "dovrebbero" essere state introdotte le tecniche di calcolo nella scuola primaria ed eventualmente riprese all'inizio della scuola secondaria).

    Occorre poi tener presente l'eventuale presenza di alunni con disturbi di tipo discalculico.  La discalculia è presente in circa il 2% della popolazione, quindi in una classe di 25 alunni della scuola di base si ha circa il 50% di probabilità di avere un alunno con alunno con tali problemi; la probabilità di averne due è molto più bassa, circa il 25%; di averne tre è circa del 10%. Un insegnante di scuola elementare nel corso della sua carriera dovrebbe incontrare circa 5 alunni con disturbi discalculici (spesso, per incompetenza di chi fa queste diagnosi, vengono segnalati come casi discalculici situazioni che non rientrano in questo ambito).  Un insegnante di scuola media inferiore ne potrebbe incontrare una decina.  Che fare in queste situazioni?  Innanzi tutto occorre segnalare che la discalculia si manifesta in alunni con intelligenza normale e senza disturbi di tipo neurologico. Occorre quindi, a partire dalla scuola di base, come con gli altri alunni, far riferimento a tutte le situazioni della vita reale in cui si usano i numeri, far riferimento ad algoritmi in cui sia trasparente il significato del procedimento e, in particolare con loro, appoggiarsi subito a sussidi di tipo tecnologico per lo svolgimento delle attività di calcolo, limitandone inizialmente l'uso da parte degli altri alunni.  Si possono impiegare le usuali calcolatrici o calcolatrici presenti nel software, come quelle a cui si può accedere da QUI; si può ricorrere al "traduttore" di Google (vedi QUI) in cui si possono scrivere numeri e operazioni (come:  7.5   1500   12%   5000000   3/4) e ascoltare la loro lettura; si può anche (come suggerito dal sito internazionale che si occupa della discalculia) usare WolframAlpha (vedi QUI, clicca poi su Elementary Mathematics, Arithmetic).  Le difficoltà di tipo discalculico sono in buona parte legate a problemi di memorizzazione (analoghi per alcuni aspetti a difficoltà simili che possono subentrare in alcune persone in seguito a incidenti o a piccoli ictus) che non compromettono la comprensione delle attività matematiche se ci si appoggia - come si può fare ormai da vari decenni - all'uso del computer.  È, ovviamente, opportuno che gli insegnanti stimolino questi alunni, sin dai primi anni di scuola, ad usare opportunamente i mezzi di calcolo.
    Un disturbo per molti versi simile (e leggermente più frequente, circa due volte la discalculia) è la dislessia, ossia la difficoltà nel leggere e a volte scrivere le parole che si manifesta in genere con la trasposizione e l'inversione di gruppi di lettere. L'uso del computer è, evidentemente, di grande aiuto anche per far fronte ai problemi che essa genera. Si può ricorrere, in modo simile a quanto detto per la discalculia, a Google, ai programmi di scrittura gratuiti (come OpenOffice, LibreOffice, …) e ai loro controllori ortografici (che propongono alternative a quanto digitato). La stessa battitura dei testi sul computer, e l'osservazione di quanto si sta scrivendo, e la possibilità di correggere quanto scritto, è di per sé di aiuto per chi ha problemi di questo genere.

    Le attività sulla linea dei numeri, in particolare quelle che coinvolgono i numeri negativi, sono assai utili per consolidare (anche attraverso la riproposizione di esercizi simili) l'abitudine ad appoggiarsi alla (immagine mentale della) linea dei numeri. È importante introdurre correttamente i numeri negativi, non far usare regolette (foriere di misconcezioni) come "−" per "−" fa "+", non far mettere il segno "+" davanti ai numeri positivi, ….  Errori frequenti frutto di queste misconcezioni sono, ad es., quello di trasformare A(−B)(−C) in A+BC ("−" · "−" = "+") e, come si scopre a volte solo nella scuola superiore, di considerare –x negativo in quanto preceduto dal segno meno:  solo se x è positivo –x è negativo.  Poi, nella scuola superiore, quando si parlerà di "segno di un numero" non ci si riferirà al simbolo "–" ma alla "funzione segno", che ad un numero associa 1 (o l'espressione "segno positivo") se x > 0, –1 (o "segno negativo") se x < 0.
    In molti libri di testo, in Italia ma anche all'estero, si trovano errori gravi ed assurdi, come quello di considerare √4 uguale a  ± 2.

    È utile interpretare gli errori o le difficoltà di calcolo numerico, scritto o mentale, degli alunni, farne esplicitare le origini, far fare verifiche delle proprietà usate erroneamente (o di quelle non usate) su semplici casi, ricorrere a modelli interpretativi di tipo geometrico per generalizzare esempi numerici, come i seguenti (il primo illustra una proprietà utilizzabile, il secondo un errore):

       Le operazioni con numeri negativi sono facilmente interpretabili, se introdotte interpretando la "negazione" come un'inversione della direzione.
    Ad esempio, nel caso della formula  TF = 32 + 100/180·TC  che associa alle temperature in °C (gradi Celsius) quelle in °F (gradi Fahrenheit),  il fatto che a −30°C corrisponda −22°F dipende dal fatto che la variazione  100/180·(−30)  da 32  è pari alla variazione  100/180·30  cambiata di segno.  Quindi da 32 passo a  32 − 100/180·30.  Non c'è alcuna regola "magica".
  

    Le operazioni aritmetiche sono le prime funzioni numeriche con cui si ha a che fare nella vita scolastica. Su questo torneremo più avanti.

    Ancora alcune riflessioni, introdotte dal seguente esempio:

    3                5     3    7    1
  ( — + 7.5 + 0.25 - — )·( — + —— - — + 4.3 )
    4                2     2   10   2

3                                   1   3   1
— = 0.75 e 0.75+0.25 = 1  o  0.25 = — e — + — = 1
4                                   4   4   4

5
— = 2.5 e 7.5-2.5 = 5
2

Quindi la prima parentesi equivale a  1+5 = 6

3   1   2           7 
— - — = — = 1      —— = 0.7  e  0.7+4.3 = 5
2   2   2          10

Quindi la seconda parentesi equivale a  1+5 = 6

         Il termine vale 6·6 = 36

    Questo è il modo in cui, una persona normale, affronterebbe tale calcolo, e il modo a cui la scuola dovrebbe educare.  Purtroppo, spesso, nei libri di testo sono presenti svolgimenti assurdi in cui o si procede trasformando tutti i termini in frazioni (3/4 + 15/2 + 1/4 …), e poi usando regolette per il calcolo frazionario, o trasformandoli tutti in forma decimale (0.75 + 7.5 + 0.25 …) e operando con l'algoritmo additivo standard, allontanando in entrambi i casi la matematica "scolastica" dalla matematica che si usa, nella vita e nella attività scientifica.
 

I concetti di rapporto e proporzionalità

    I concetti di rapporto e di proporzionalità vengono costruiti progressivamente nell'ambito di ogni attività di matematizzazione;  lo abbiamo già visto nelle voci considerate nei punti precedenti: quando si fa uso di unità di misura differenti, quando ci riferisce all'impiego dell'orologio, quando si usano le scale, quando si fa un grafico che lega due fenomeni che ha andamento rettilineo, quando si fanno calcoli in cui compaiono numeri sia in forma decimale che in forma frazionaria, …;  e poi lo rivedremo considerando la statistica e la probabilità.  I concetti vengono costruiti in contesti in cui si intrecciano l'uno con l'altro;  poi, gradualmente, la scuola dovrebbe metterne in luce le differenze e le relazioni di analogia.

    Verso la fine della scuola secondaria di 1° grado la padronanza di questi concetti (assieme a quello di proporzionalità inversa - vedi più avanti  inversa proporzionalità) dovrebbe essere diventato un solido punto di riferimento anche per l'acquisizione dell'uso e del significato delle funzioni e delle equazioni nella rappresentazione di relazioni tra grandezze, per l'impiego e la costruzione di algoritmi, …, in vista degli sviluppi da affrontare nella scuola secondaria di 2° grado.



    Sottolineiamo l'importanza che gli alunni acquisiscano gradualmente la capacità di passare "in modo spontaneo" da una forma di rappresentazione all'altra dei rapporti d'uso più comune (0.75, 3/4, 75%;  0.125, 1/8, 12.5%;  15/60, 1/4, 25%;  2/3, 40/60, 0.666…, 67%; …), anche attraverso esercizi ripetitivi che ne consolidino le varie rappresentazioni grafiche (diagrammi a striscia, a colonne e a settori circolari, variamente graduati, rettangoli di ugual forma, rette passanti per l'origine), che padroneggino l'equivalenza tra divisione per contenenza e per partizione (vedi sopra) per rendersi conto immediatamente, ad es., che 1/0.1 è 10 in quanto 0.1 sta 10 volte in 1, e per sviluppare/consolidare meglio l'idea che il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso e quella che "moltiplicare per 1/k" equivale a "dividere per k", che sono entrambi modi per esprimere la funzione inversa di "moltiplicare per k".  È, invece, del tutto controproducente investire sullo sviluppo del calcolo meccanico della somma di frazioni (vedi qui).

    È fondamentale che gli alunni consolidino l'idea che "%" sta per "/100",  che imparino ad esprimere le variazioni percentuali come moltiplicazioni (aumento del 10% come moltiplicazione per 1+10/100 = 1.1, diminuzione del 20% come moltiplicazione per 0.8) e ad impostare in questo modo i calcoli con le calcolatrici:  la cosa è importante per la messa a fuoco che variazioni percentuali successive non si compongono facendone la somma.

  aumento del 10%               aumento del 20%
x ———————————————> x·(1+10/100) ———————————————> x·(1+10/100)·(1+20/100) = x·1.1·1.2 = x·1.32

    È anche un contesto molto naturale per il consolidamento delle prime attività di manipolazioni di formule. Sottolineiamo l'inopportunità di ricorrere a tecniche risolutive specifiche per le proporzioni (invece che considerarle "equazioni" come le altre) per affrontare problemi di proporzionalità.  Ad esempio per esprimere in forma percentuale il rapporto tra 264 e 763 (dati riferiti a qualche contesto) possiamo ricorrere a rappresentazioni grafiche prima su carta millimetrata poi, eventualmente, utilizzando anche del software (vedi la figura sotto a sinistra), e poi al calcolo della divisione (e alla sua approssimazioni a due o tre cifre).  In particolare occorre far osservare che il simbolo ":" (che compare sulla carte geografiche ed in varie altre situazioni di proporzionalità) è semplicemente il simbolo di divisione, e che questo può essere espresso anche con "/", e che, ad esempio, per trovare l'angolo con cui esprimere 264 se 763 viene rappresentato con l'intero cerchio, dopo aver imparato a farlo calcolando la corrispondente percentuale e poi, come visto nelle figure precedenti, usando un cerchio diviso in 100 parti, si può ricorrere alla manipolazione riprodotta sotto a destra  (senza ricorrere a strane regole, come "prodotto dei medi = prodotto degli estremi"), che sfrutta solo la relazione che intercorre tra divisione e moltiplicazione.

    angolo   264               264
    —————— = ———  —>  angolo = ————·360
     360     763               763

    Il concetto di frazione è bene che sia presentato come un caso particolare di rapporto: questo consente di intrecciare bene i diversi aspetti con cui le frazioni si presentano nelle applicazioni.  È necessario mettere a fuoco, gradualmente, come confrontare rapporti, come determinare il reciproco di un rapporto e, poi, l'uso della proprietà distributiva (vedi formule, termini, grafi).

    I contesti in cui si impiega il concetto di rapporto sono innumerevoli.  Le figure seguenti ne richiamano altri oltre a quelli considerati in precedenza (le misure di capacità, i rapporti di trasmissione di una bicicletta, la piantina in scala di un appartamento) da cui si può partire per introdurre o consolidare diversi aspetti.

    I "cerchi" entrano in gioco non solo per mettere a fuoco o consolidare il concetto di rapporto "parte su totale", ma per introdurre anche il concetto di pendenza, che poi nelle superiori verrà affrontato anche utilizzando la funzione "tangente di un angolo".  Le figure seguenti illustrano varie delle attività che si possono svolgere:  interpretare il significato di un cartello stradale, mettere a fuoco che pendenza del 100% non significa verticalità (ma situazione in cui avanzamento orizzontale e verticale si equivalgono), leggere una cartina con l'indicazione delle curve di livello e delle pendenze delle salite, come misurare con un goniometro verticale la altezza di una torre o di una montagna, e i collegamenti con l'uso della bussola (queste ultime sono attività che si intrecciano efficacemente anche con le esperienze di scoutismo).

pendenza = 5/10 = 50%   



  

? = 1350·0.365 ≈ 490
 

    Il contesto delle rappresentazioni proporzionali offre anche semplici e significative occasioni per educare all'uso di strumenti informatici per l'automazione di alcuni procedimenti di calcolo.
    Come dovrebbe accadere per l'introduzione di tutti i modelli matematici, è bene che anche nel caso dei concetti discussi qui si evidenzino non solo i vantaggi del loro impiego, ma anche i limiti; ad esempio si dovrebbero mettere in luce le informazioni che si perdono confrontando percentuali invece che dati assoluti:  se 100 anni fa la percentuale di spesa delle famiglie in alimenti era molto maggiore di oggi ciò non significa che allora si spendesse in cibo più che ai nostri giorni.
 

I diagrammi

    L'uso delle varie rappresentazioni grafiche (linea dei numeri, grafici, grafi ad albero, istogrammi, schemi, ...) facilita notevolmente i ragionamenti, l'inquadramento dei problemi, la ricerca e congettura di strategie risolutive, l'esplorazione di nessi, relazioni o regolarità, la visualizzazione di grandi quantità di informazioni, la messa a punto di modelli che consentano facilità di passaggio tra contesto e concetti con cui esso è matematizzato, …
    È anche il modo attraverso cui le elaborazioni matematiche (relative a indagini sociologiche, situazioni economiche, fenomeni tecnico-scientifici, …) ci vengono in genere comunicate dai mass media.
    Le rappresentazioni grafiche sono sempre più presenti nei vari settori della matematica. E molti dei concetti più astratti nascono come generalizzazioni di concetti spaziali, di cui portano traccia, metaforicamente, nel loro nome (spazi di dimensioni infinite, misure di insiemi astratti, ... e punti, coordinate, diametri, proiezioni, ortogonalità, ... riferite a oggetti che non possiamo rappresentare fisicamente).

    È quindi fondamentale che l'insegnamento educhi all'uso delle rappresentazioni grafiche (sia per modellizzare situazioni che per svolgere considerazioni teoriche), al transfert tra esse ed altre forme di rappresentazione, all'intreccio tra metodi grafici e metodi simbolici e numerici, ...

    È opportuno che, gradualmente, intrecciandosi a considerazioni di statistica, geometria e ad analisi di vari fenomeni, si introducano le principali forme di rappresentazione grafica (evidenziandone potenzialità, limiti e problemi interpretativi - vedi, a destra, diverse rappresentazioni delle migliaia di disoccupati al passare degli anni).  Approfondimenti specifici sul piano cartesiano e sulle curve potranno essere avviati alla fine della scuola secondaria di 1° grado, nella prospettiva di riprenderli in modo più sistematico in quella di 2° grado.

   

    Il computer è uno straordinario strumento che facilita la costruzione (e la lettura) di molti tipi di rappresentazioni grafiche. Esiste molto software d'uso gratuito che può essere d'aiuto in questo senso.  È tuttavia importante che gli alunni imparino innanzi tutto a tracciare a mano grafici, a partire sia da dati che da rappresentazioni algebriche, che acquisiscano la capacità di immaginarsi grafici, di descriverli a parole, ..., oltre di schematizzare graficamente semplici problemi, rappresentare con grafi termini in cui intervengono 2 o 3 operazioni, associare grafici a fenomeni, ...
 

Le approssimazioni

    L'argomento "approssimazioni" deve essere introdotto gradualmente all'interno di tutte le attività didattiche che si presentano, senza una trattazione a sé stante, in quanto a seconda dei contesti sono vari i modi in cui si presenta:  leggere e interpretare dati approssimati che si trovano su articoli, alla televisione, …;  saper leggere misure con i vari strumenti;  comprendere la differenza tra arrotondamenti e approssimazioni per troncamento e i modi diversi con cui operare con esse;  approssimare i risultati di operazioni e procedimenti vari ottenuti con un mezzo di calcolo (su questo aspetto vedi anche calcolatrici, calcolatore, logica), …

    Il tema dovrà poi essere ripreso nella scuola secondaria di 2° grado, collegato a tematiche matematiche più generali (le approssimazioni di curve, le approssimazioni di calcoli probabilistici effettuati mediante simulazioni statistiche, …), nonché a tematiche fisiche (per avere un'idea dei collegamenti con la fisica che potranno essere sviluppati vedi QUI).

    Richiamiamo i significati correnti di troncamento, arrotondamento e cifre significative:

troncamenti e arrotondamenti di alcuni numeri
 
alle decine 
ai decimi
 
Troncamento a 3 cifre significative di 1396.1 e di 13.961:  1390  e  13.9
Arrotondamento a 3 cifre significative di 1396.1 e di 13.961:  1400  e  14.0

    Il concetti di arrotondamento e di cifre significative vengono usati anche in un'accezione più estesa;  bisogna educare gli alunni a prestare attenzione al contesto.  Ad esempio può capitare di leggere che un certo valore è circa 1850 per intendere che è arrotondato alla cinquantina (il valore originale era 1867).  Questo è l'uso che viene fatto spesso nei giornali o alla televisione, per facilitare la comunicazione.

    È importante sottolineare agli alunni la convenienza di effettuare solo alla fine gli arrotondamenti.  Si tratta, comunque, di un'abitudine da consolidare attraverso la pratica (e l'uso, ragionato, dei mezzi di calcolo, sin dalla scuola primaria).  Un tempo (fino al 1970 circa) quando si procedeva con il calcolo manuale, era più comodo operare su arrotondamenti dei risultati intermedi, anche se si peggiorava la precisione del risultato.  Cose del genere, tuttavia, mezzo secolo dopo, si trovano ancora in molti manuali sia di fisica che di matematica.

    Come già ricordato in voci precedenti, le approssimazioni sono utili anche per fare rapidamente (senza calcolatrice, a mano o a mente) calcoli di cui non ci interessi il risultato esatto, ma solo una sua stima.  Ecco un paio di esempi di calcolo approssimato svolti arrotondando i numeri a 1 o 2 cifre significative ed eseguendo i calcoli sui valori arrotondati:

2681  ≈  3000  ≈  30  ≈ 7
—— ——
354 400 4
      15384·187 ≈ 15000·200 = 3000000

 

Calcolatrici. Calcolatore. Logica

    È opportuno, sin dalla scuola di base, fare un ampio uso delle calcolatrici tascabili (CT). Può essere utile all'insegnante fare una rassegna delle CT di cui dispongono gli alunni (ad esempio può farsi consegnare dagli alunni un foglio su cui abbiano disegnato la tastiera della propria CT). E`, poi, il caso di invitare gli alunni a leggere il manuale d'uso della propria CT (escludendo inizialmente i tasti per le funzioni più complesse).  Ricordiamo che l'uso delle calcolatrici è indispensabile nel caso siano presenti alunni con difficoltà di tipo discalculico, come ricordato nella voce le operazioni aritmetiche.

    Gli obiettivi dovrebbero essere sia quello di acquisire una maggiore padronanza di questo mezzo di calcolo, comprenderne i limiti al fine di interpretare i risultati che fornisce, …, sia quello di introdurre e/o consolidare (a un primo livello) alcune conoscenze matematiche:  sui numeri (approssimazioni, numeri reali, …),  sulle funzioni (funzioni ad 1 input e 1 output, come , , …, a 2 input e 1 output, come , , , , , …, 2 input e 2 output, come , …, e  composizione di funzioni, funzioni inverse, …), …,  sia quello di preparare il terreno per la comprensione del funzionamento dei calcolatori (che, come "conoscenze" matematiche e possibilità di calcolo aritmetico non si discostano "essenzialmente" da una CT, dove abbiamo la possibilità di operare con i tasti , , , …).

    È evidente come l'uso dei mezzi di calcolo sia da introdurre contestualmente alla trattazione degli altri temi matematici, pur con degli approfondimenti specifici.  Esempi di attività in questa direzione possono essere suggeriti dagli esercizi presenti QUI (e nelle pagine successive), in cui il tema viene allargato a quello della descrizione degli algoritmi e alla descrizione e riflessione di vari aspetti dei processi di automazione, tema al quale - data la centralità che ha assunto nel tempo libero e nel normale lavoro di quasi tutte le persone - va dato anche nella scuola secondaria inferiore uno spazio relativamente autonomo, storicizzandolo, non solo esemplificandone l'uso attuale nei vari contesti disciplinari, come abbiamo anche discusso qui riflettendo sull'insegnamento dei vari ambiti matematici.  Qualche esempio di software di vario genere si può trovare QUI.
    L'avvio all'uso del software comporta anche la discussione delle analogie e delle differenze tra linguaggio formale e linguaggi artificiali.  Questa discussione costituisce anche che cosa del tema logica può essere affrontato a livello scolastico; questo tema non può che essere inteso in senso lato, come educazione all'attenzione agli aspetti linguistici, all'esposizione comprensibile delle argomentazioni, ….  Val la pena ricordare che anche le dimostrazioni non possono essere incluse in un'area specifica di apprendimento:  esse sono diffuse in tutte le aree della matematica e le tecniche dimostrative (e i modi in cui sono espresse le proposizioni matematiche da dimostrare) sono numerosissime, non racchiudibili in qualche esempio stereotipato, come spesso avviene nei libri di testo  (una riflessione su che cosa siano le dimostrazioni può essere trovata QUI;  qualche esempio di attività sull'area della logica e delle dimostrazioni può essere trovato QUI, e nelle pagine successive).
  

    Sull'importanza degli aspetti linguistici si torna anche più avanti discutendo di formule, termini, grafi; ivi, nella terza immagine, si vede anche il passaggio da 8 3 5 9 ad altre rappresentazioni dello stesso calcolo.  Attività di questo genere sono importanti per consolidare l'acquisizione dei vari linguaggi della matematica.
 

La statistica descrittiva

    La statistica descrittiva, a cui abbiamo accennato più volte discutendo dei temi precedenti, e in particolare alla voce i concetti di rapporto e proporzionalità, si presta all'introduzione o revisione in contesti significativi di molti concetti matematici di base, dai numeri al calcolo approssimato, dal concetto di funzione alla costruzione e uso delle formule, dalle rappresentazioni grafiche di relazioni numeriche alla lettura e messa a punto di algoritmi.  Questo, almeno, se la statistica, che più di 20 mila anni fa ha costituito la prima attività di matematizzazione dell'uomo (l'uso delle "tacche" per confrontare quantità di giorni, oggetti, persone, …) e può essere affrontata sin dalla scuola dell'infanzia, non viene ridotta ad essere un tema in più da insegnare separatamente dagli altri temi.  Gli strumenti di statistica descrittiva servono poi come punti di riferimento per la successiva introduzione alla probabilitàQUI sono presenti link a programmi impiegabili per elaborazioni statistiche.   

    Facciamo subito qualche flash per mettere a fuoco meglio l'interazione della statistica con gli altri concetti matematici.

 | | | | | | | | | | | | | | | | |
5|6|9|9| | | | | | | | | | | | | |
6|1|1|2|3|4|4|4|4| | | | | | | | |
6|6|6|6|6|7|8|8|8|8|8|8|8|9| | | |
7|0|0|0|0|0|0|0|0|0|0|1|3|3|3|3|4|
7|5|7|7|7|7| | | | | | | | | | | |
8|0|0|1|2|2|4| | | | | | | | | | |
8|6|6|6|6|8| | | | | | | | | | | |
9| | | | | | | | | | | | | | | | |
9|7| | | | | | | | | | | | | | | |
 | | | | | | | | | | | | | | | | |

  

    A sinistra la rappresentazione realizzabile su carta quadrettata dei dati seguenti:

pesi (arrotondati ai kg) di un gruppo di alunni maschi dell'ultimo anno di una scuola secondaria di 2° grado [64, 66, 73, 86, 70, 75, 68, 86, 88, 63, 73, 70, 69, 66, 77, 80, 80, 77, 82, 61, 77, 71, 59, 84, 86, 70, 77, 70, 97, 68, 66, 70, 70, 68, 70, 68, 81, 73, 61, 73, 59, 70, 68, 67, 70, 68, 64, 82, 86, 66, 68, 74, 64, 64, 62, 56, 70]

È una semplice estensione degli istogrammi a crocette che consente di mantenere tutte le informazioni numeriche sui dati, di individuare la mediana (il dato al centro dell'elenco ordinato dei dati).  Non serve il computer per realizzare queste rappresentazioni: basta una matita e un foglio di carta quadrettata.

    Le immagini seguenti richiamano l'uso di diagrammi a barre, areogrammi e diagrammi a striscia per rappresentare classificazioni in generiche classi, non in intervalli numerici.  Sono diversi modelli matematici dello stesso fenomeno  (realizzabili su carta millimetrata e su cerchi graduati in centesimi, e, poi, con del software), quantificabili con delle percentuali, che comunicano visivamente informazioni differenti  (i primi consentono di confrontare rapidamente, in modo sia visivo che numerico, le diverse frequenze percentuali;  i secondi di capire quale rapporto c'è tra le varie parti e il totale;  i terzi di paragonare situazioni analoghe riferite a periodi diversi o a paesi diversi o …: potrei mettere sotto al digramma a striscia raffigurato quello riferito a 50 anni prima).



Liguria -  Alimentari  Sanità  Trasporti  Comunicazione  Abbigliamento  Abitazione  Altro

    Gli esempi che stiamo vedendo mettono in luce un altro aspetto:  la statistica deve far riferimento inevitabilmente a dei contesti non matematici, ed è quindi uno stimolo  (per gli alunni e per i docenti)  all'interazione con le altre discipline, oltre che a quella tra le diverse aree della matematica, come mettono in luce anche i seguenti esempi, in cui abbiamo i grafici al passare del tempo di una distribuzione percentuale  (maschi e femmine iscritti alle scuole superiori in Italia in vari anni)  e dei valori medi di alcune grandezze  (i chilogrammi di carne bovina, di frutta fresca e di granturco consumati mediamente da un italiano).

     

    La statistica consente anche di mettere bene a fuoco come, a seconda di quello che interessa, per lo stesso fenomeno si possono considerare modelli matematici differenti che mettono in luce o trascurano aspetti diversi, come abbiamo già osservato sopra.  Ecco, ad esempio, due rappresentazioni grafiche alternative del regime termico in un certo mese di una certa località: il primo modello consente di ricostruire l'andamento temporale; il secondo perde la storia ma evidenzia la distribuzione delle temperature e permette di confrontarla con quella di altri mesi o località.  Non esiste il modello migliore.

    È opportuno mettere a fuoco, poi, che in un istogramma (come quelli sottostanti, uno riferito al peso delle bambine americane di 3 anni, l'altro ai morti in Italia nel 1951 per classi di età) le frequenze delle varie classi sono rappresentate dalle aree dei rettangolini, non dalle loro altezze!  Questo aspetto sarà importante, poi, per affrontare nei livelli scolastici successivi (senza misconcetti) lo studio delle variabili casuali continue usando l'integrazione  (se la distribuzione è rappresentata da una curva, la probabilità che l'uscita sia tra A e B è l'area sottesa al grafico tra le ascisse A e B).  Nella scuola secondaria di 1° grado ci si può limitare ad osservare e leggere istogrammi di questo tipo, eventualmente anche i diagrammi sottostanti, in cui il "box" rappresenta il 50% centrale dei dati e dà una rappresentazione della loro dispersione (volendo si può usare del software che li traccia automaticamente).

    Accenniamo ad un paio di osservazioni importanti da affrontare con gli alunni.  La prima è che la somma di tre o più frequenze percentuali approssimate non è detto che faccia 100:  se ho un totale di 150 ripartito in tre parti ciascuna pari a 50, la frequenza percentuale di ognuna di esse è 33% o 33.3% o …; la loro somma non è 100.  La seconda è che ci sono diversi concetti di "media" oltre alla media aritmetica. Oltre al ruolo importantissimo della mediana, già accennato, è importante mettere a fuoco che la velocità media non si ottiene facendo la media aritmetica di più velocità.

    Sui problemi relativi all'introduzione del concetto di media rinviamo alle considerazioni svolte a proposito della scuola primaria e agli approfondimenti presenti qui.

    I contesti a cui riferire le indagini statistiche sono innumerevoli.  È comunque opportuno fare riferimento anche a temi vicini ai bisogni conoscitivi (e psicologici) dei ragazzi di questa fascia di età (la società, lo sviluppo corporeo, la scuola, …).

    Molte attività di tipo statistico possono essere svolte anche nell'ambito dell'insegnamento delle scienze (oltre che in quello delle altre discipline).  Sotto alcune immagini che richiamano indagini svolte da alcune classi sulle dimensioni dei semi di fava e di basilico.


 

Formule, termini, grafi

    Di variabili, costanti, termini abbiamo più volte parlato discutendo delle voci precedenti (in particolare alle voci concetto di modello e operazioni aritmetiche) e ne parleremo nelle voci successive (a partire dalla prossima), in quanto si tratta di concetti e aspetti linguistici di base (legati alla scrittura, interpretazione e modificazione delle formule), a cui comunque occorre dare, ad un certo punto, una prima sistemazione, e in modo decisamente diverso dal modo "buffo" di avviare il calcolo algebrico usato spesso nei libri di testo (slegame dall'uso di questi oggetti per rappresentare e risolvere equazioni, introduzione di strane cose chiamate "polinomi", che tali non sono, mentre i polinomi possono essere introdotti in modo significativo solo nella scuola secondaria di 2° grado - vedi quanto discusso per questo livello scolastico QUI, …).

    Ricordiamo l'importanza di richiamare dalla scuola primaria e consolidare, o di introdurre, l'uso dei "grafi ad albero", importante per imparare il significato delle formule, imparare a passare da un linguaggio all'altro, leggere le formule non solo come sequenze di simboli, consolidare le prime convenzioni nella scrittura dei termini, … e per descrivere procedimenti non facilmente descrivibili come formule, per risolvere problemi, ...



Incasso = CostoCommessa + CostoForniture + AltreSpese + Guadagno

    Essi, per altro, sono usati in varie altre discipline:  l'immagine sotto a sinistra ne richiama un tipico impiego.  L'immagine a destra ne richiama un uso particolare in ambito matematico (qualche approfondimento su quest'uso lo puoi trovare qui), importante per mettere a fuoco la struttura dei termini, su cui torneremo tra poco (è una rappresentazione del calcolo eseguibile mediante una calcolatrice con 8 3 5 9 ).

    Le immagini seguenti ne illustrano altri esempi tipici fatti in altri ambiti, ma che hanno forti intrecci con l'educazione matematica: la ripartizione in parti percentuali, la partizione di una classe in sottoclassi (da affrontare operativamente, non con riflessioni astratte sugli "insiemi").

    Occorre puntare molto sull'analisi della struttura dei termini, pensando che difficoltà relative a questo aspetto siano all'origine di molti dei più comuni errori degli alunni.  Si devono, poi, stimolare gli alunni a individuare, esplicitare e controllare i procedimenti di trasformazione man mano indicati nei vari passaggi.  L'obiettivo non è quello di elencare e dimostrare agli alunni tutti i procedimenti di trasformazione algebrica, ma di consolidare, attraverso dei transfert tra le varie aree della matematica, mediante immagini e pratiche, la possibilità di riordinare i termini di una somma o di un prodotto (cosa che sarebbe assai difficile dimostrare a partire da proprietà come la "associativa" e la "commutativa" - vedi qui se sei interesessato ad un approfondimento a livello adulto), la possibilità di raccogliere a fattor comune, ….


               

    È importante poi notare, gradualmente, che i metodi grafici consentono di anticipare, e poi motivare, tecniche di tipo algebrico (come già discusso parlando di "rapporto e proporzionalità"). Un esempio:

   

Quale "percentuale" di 434 è 116?
Quale "dato" è il 65% di 434?
←  Dal metodo geometrico
            al metodo algebrico

        dato            65    dato
   65 = ———— ·100  →   ——— = ————  →
         434            100    434

    65                         65·434
   ——— ·434 = datodato = —————— = 282.1
   100                          100

    Per qualche considerazione storica e didattica sull'uso delle formule e sull'algebra elementare vedi QUI, dove sono commentati anche alcuni grossolani errori spesso presenti nelle definizioni che si trovano nei libri scolastici.

    Anche le riflessioni sul simbolo "=" e sui suoi diversi usi in matematica devono trovare spazio nell'insegnamento, per evitare o superare misconcezioni. Vedi QUI per qualche esempio e qualche considerazione didattica.

    Osserviamo che in alcuni libri di testo si parla di radicali aritmetici. È uno strano concetto che ha poco a che fare col concetto che, un tempo, si usava individuare con tale termine, per distinguerlo dai radicali algebrici: col primo si indicava quella viene chiamata semplicemente "radice", col secondo si indicava l'insieme delle soluzioni di un'equazione (con incognita x) del tipo xn = k;  ad es. nel caso di x2=4 si avrebbe {−2,2}.  In questi libri viene chiamato radicale aritmetico la radice solo dei numeri non negativi. Quindi 3√(-8) (che sappiamo essere -2) non esisterebbe. Poi, quando si passerebbe a quelli che secondo gli autori sarebbero i radicali algebrici, si potrebbe, magicamente, riprendere in uso tale termine!
 

I concetti di funzione e di risoluzione di un'equazione

    I concetti di funzione ed equazione sono forse i concetti più importanti della matematica; si intrecciano con quasi tutte le altre voci qui discusse. Essi sono presenti nei programmi di tutti i livelli scolastici.  Le prime funzioni che i ragazzi incontrano esplicitamente sono, all'inizio della scuola elementare, le quattro operazioni (a due input) e gli incrementi e decrementi unitari e il cambio segno (ad un input).  Ma alla scuola elementare incontrano anche funzioni con quantità qualunque di input, come il massimo e il minimo di un insieme di dati, e funzioni a cui non corrisponde un procedimento di calcolo (per esempio la altezza o il peso di una persona, o la popolazione di una città, al passare del tempo, o tariffari di vario genere, in cui il valore monetario è espresso in funzione di varie grandezze). Incontrano anche funzioni a più output (la divisone con resto, per esempio, è una funzione a due input e due output).

    Del resto sono funzioni anche gli istogrammi a crocette, che possono essere affrontati anche prima della scuola elementare, nella scuola dell'infanzia, come quelli presenti QUI: ad ogni modo di arrivare a scuola viene associato il numero (rappresentato da una colonna di di crocette) degli alunni che lo utilizza, ad ogni tipo di località delle vacanze viene associato il numero degli alunni che le ha passate in quel modo, ad ogni condizione del tempo viene associato il numero dei giorni del mese in cui il tempo è stato tale, …

    È evidente che questi concetti hanno poco a che fare con le definizioni con cui essi vengono introdotti in molti libri di testo: una funzione è un insieme di coppie ordinate tale che …; gli autori di tali libri hanno orecchiato definizioni come questa che si fanno nei corsi universitari di algebra, senza rendersi conto che per padroneggiarle occorre disporre delle tecniche, per nulla semplici, per rappresentare una sequenza di input ed una sequenza di output con una opportuna coppia di oggetti matematici.  In molti libri viene poi fatta un'assurda distinzione tra funzioni empiriche e funzioni matematiche, da parte di autori che evidentemente non hanno capito che cosa sia la matematica (vedi QUI).
    Ricordiamo che il nome "operazione" è un appellativo usato per indicare alcune funzioni, in genere ad 1 o 2 input, ma non solo. Non esiste una "definizione" del concetto di operazione.  E anche sulle calcolatrici tutti i tasti per eseguire calcoli ad 1, 2 o più input sono chiamati "tasti funzione".

    Il modo più semplice e più "pulito" per introdurre una prima "definizione" di funzione è proprio quello di far riferimento a immagini grafiche come quelle presentate all'inizio di questa voce e all'idea di mezzo di calcolo:  le funzioni sono dei modi di associare degli input a degli output.  Poi, in livelli scolastici successivi, questo concetto potrà essere messo meglio a fuoco.

    Val la pena ricordare che le funzioni erano introdotte nella scuola media inferiore italiana da Emma Castelnuovo subito dopo la seconda guerra mondiale e che ella in molti libri e articoli sosteneva che esse vanno introdotte sin dai primi anni di scuola: "Si chiederà: quando trattare questo argomento? come introdurre il concetto di funzione?  Sono forse troppo decisa e rivoluzionaria se a questa domanda rispondo da sempre? Non è che intendo che a questo argomento si debba dedicare un certo numero di lezioni, ma esso deve essere introdotto così, insensibilmente, a proposito di una questione o dell'altra, perché esso entra in ogni questione." (vedi QUI).  Chi ritiene che debba essere introdotto solo nella scuola superiore, magari neanche nel primo anno, è solo "ignorante" (di "matematica", si intende).

    Poi, per le funzioni ad 1 input e 1 output numerici, si possono considerare i relativi grafici. Anzi, spesso, come abbiamo visto anche nelle voci precedenti, si possono presentare le funzioni direttamente in forma grafica.

   Quale tra i grafici a fianco
potrebbe rappresentare come,
al trascorrere delle ore, varia
la temperatura nell'aria in un
giorno primaverile di sole?

    Dopo gli esempi d'uso si può verificare/consolidare il concetto di funzione anche con dei semplici, ma significativi, esercizi, come il seguente:

Quali tra i seguenti insiemi di punti potrebbero rappresentare una funzione avente numeri come input e come output?  
 

    È bene indicare le variabili in vari modi, come accade nelle vita di tutti i giorni. A questi usi deve seguire, poi, gradualmente, l'esercizio e il consolidamento astratto, che, alla fine della scuola secondaria di 1° grado, si può fare anche su variabili con nomi che prescindono dai vari contesti applicativi.  In particolare si può imparare a descrivere le funzioni rappresentate a fianco con le formule  y = −xy = 0.5·xy = xy = 1.5·x  e a identificare in  −1, 0.5, 1 ed 1.5  le rispettive pendenze (vedi).

    Ed è bene rendersi conto, subito, che una formula può essere trasformata esprimendo una variabile in funzione di altre in modi diversi, a seconda delle esigenze. È poi fondamentale fare riferimento, in modo non formalizzato, al concetto di funzione inversa, come strumento per smontare/trasformare equazioni.

   

       CostoUnitario = CostiIncorporati + CostiFissi / N
Il grafico a fianco rappresenta il costo della produzione di un
chilo di pasta fresca da parte di un piccolo artigiano al variare
dei chili prodotti in un anno. I costi incorporati (materie prime,
carta, energia per i macchinari, …) sono di 1 € al chilo.
Quant'è il costo per 1 kg di pasta se la produzione è di 20 mila kg?
E se la produzione è di 40 mila kg di pasta?

    "Quanta pasta devo produrre per avere un costo unitario di circa 2 €?",  "quale lato deve avere un cubo per avere un volume di 0.7 litri?"  sono "equazioni" che posso risolvere anche utilizzando i grafici precedenti.  Ma equazioni (senza chiamarle esplicitamente in questo modo) si risolvono sin dall'inizio della scuola elementare:  le divisioni per contenenza (600/200 inteso come "quante volte devo prendere 200 per ottenere 600") sono delle evidenti equazioni (che a livello adulto, indicando con x l'incognita, scriveremmo come 200·x = 600).  Qualche altro esempio:

 Inventa delle situazioni problematiche realistiche così modellizzabili:
 (a) 13 + ? = 29     (b) ? + 13 = 29     (c) 500 – ? = 350     (d) ? – 150 = 1350     (e) ? · 6 = 15 mila  

    Prova a scrivere a parole un possibile testo dell'indovinello

   Quale tra i seguenti termini rappresenta il quadrato del triplo del consecutivo del numero n?  
  (a)  3n2 + 1   (b)  (3n + 1)2   (c)  3(n2 + 1)   (d)  (3(n + 1))2

    Nelle voci precedenti abbiamo visto molti esempi di risoluzione di equazioni.  Vediamo dove si può arrivare nella scuola secondaria di 1° grado, per creare premesse ad attività da consolidare nei livelli scolastici successivi.  Consideriamo ad esempio il problema  "quanta pasta devo produrre per avere un costo unitario di circa 2 €?" (che poco sopra abbiamo detto può essere risolto in modo approssimato per via grafica) nel caso in cui il costo unitario per produrre x chili di pasta sia 1+32000/x:

(1)  1 + 32000/x = 2   equazione iniziale
(2) 1 + 32000/x −1 = 2 −1    ho applicato "–1"
(3) 32000/x = 1   "1" e "−1" si sono annullati; 2−1 = 1
(4) 32000 = x   ho applicato "·x" e ho svolto i calcoli

    È importante che i vari passaggi siano svolti su righe separate, senza abbreviazioni, spiegando passo per passo che cosa si è fatto.  Gli alunni non devono essere educati a trasportare tutto da una parte o dall'altra:  arrivato a  32000 = x  ho la soluzione, non devo fare degli strani spostamenti di qua o di là con ricette magiche.  È importante, poi, che gli alunni capiscano che, in casi come questo, possiamo risolvere l'equazione graficamente con degli zoom, eventualmente scaricando il calcoli su un programma "a scatola nera"  (ma di cui abbiamo capito la logica di funzionamento: automatizza procedimenti che prima abbiamo svolto "a mano" - vedi ad esempio qui), e che quest'ultimo procedimento può essere impiegato per risolvere anche equazioni più complicate, che si vedrà come affrontare con metodi simbolici nella scuola secondaria di 2° grado.

    Abbiamo superato da un po' di anni il 2000; la quantità di matematica che si usa, e il modo in cui usarla, cresce ed evolve rapidamente:  non ha alcun senso insegnare come si faceva nel 1900, 70 prima che si diffondessero le nuove tecnologie!  Occorre pensare, nell'insegnamento, che cosa mantenere, che cosa modificare, che cosa buttare via.

    In particolare, come già detto, è importante che gli alunni consolidino il "concetto" di funzione  (non che ne memorizzino una "definizione")  facendo riferimento a vari modi di esprimerlo o rappresentarlo (numerici, grafici, algebrici, a parole, …), e rinsaldando, gradualmente, e quando è possibile, l'intreccio tra questi modi.
    È fondamentale che gli alunni riprendano il significato di radice quadrata (che non può essere altro che definita subito facendo riferimento ai numeri reali, intesi e introdotti come numeri decimali).  E, ovviamente, devono riflettere sul fatto (e vedere graficamente) che la funzione "radice quadrata" e la funzione "elevamento al quadrato" sono l'una l'inversa dell'altra, se se ci si restringe agli "x ≥ 0".
  ; 

Lo spazio

    Una riflessione sull'impostazione dell'insegnamento geometrico nella scuola secondaria di 1° grado è bene che sia affrontata a partire da qualche considerazione generale sull'insegnamento geometrico, che possiamo affidare a questa "digressione", fantastica ma molto concreta, sul concetto di angolo.

    Ivi sono contenute varie riflessioni sull'inopportunità di un approccio assiomatico all'insegnamento della geometria. Questo è stato messo a fuoco solo alla fine del XIX secolo, soprattutto con la finalità di mettere a fuoco le diverse geometrie che si potevano definire cambiando alcuni assiomi.  I cosiddetti "Elementi di Euclide" (da non confondere con la "geometria euclidea"), significativi nella storia del pensiero, non hanno certo le caratteristiche di quella che, in matematica, è una presentazione assiomatica:  QUI è evidenziato come anche le dimostrazioni dei primi "teoremi" di Euclide non siano accettabili.

    Gli obiettivi dell'insegnamento nella scuola secondaria di 1° grado  (e che dovrebbero essere privilegiati nelle verifiche iniziali e nel recupero all'inizio di quella di 2° grado)  dovrebbero essere più quelli di "atteggiamento cognitivo" e di capacità di "operare" consapevolmente con le conoscenze di base per risolvere problemi. Ad esempio, facendo riferimento ad aspetti già considerati nelle voci precedenti (e alle riflessioni e agli esempi esaminati nel documento citato all'inizio di questa voce):

(a)   saper usare strumenti di misura (righello, goniometro, cilindro graduato, bilancia, …) per determinare estensioni (direttamente o misurando altre grandezze fisiche con cui esistano legami di proporzionalità), saper calcolare l'area di qualche figura "strana" usando quadrettature o mediante triangolarizzazioni, saper confrontare ad occhio l'ampiezza di angoli disegnati (prescindendo dalle dimensioni dei segmenti con cui sono sono stati rappresentati i lati), saper associare a una misurazione la corrispondente precisione, avere idea che la precisione sulle misure dirette influisce sulla precisione delle misure indirette, … più che saper recitare formule (dirette e inverse) per il calcolo di aree di figure standard, essere addestrati a risolvere problemi stereotipati con coni sovrapposti a cubi, …;

(b)   saper usare strumenti da disegno (tracciare perpendicolari e parallele usando squadra e riga, …), sapersi organizzare il "foglio di lavoro" (dal problema della scelta delle unità sugli assi al problema del dove e quali figure disegnare per prime per ottenere una certa figura composta), saper schematizzare con figure astratte situazioni concrete, saper passare da una descrizione verbale di una figura al suo disegno e viceversa, … più che ripetere definizioni e saper identificare con disinvoltura figure o elementi di figure disposte in modi "standard";

(c)   saper costruire/interpretare riproduzioni in scala (utilizzando equazioni, non con le famigerate regolette ad hoc per le proporzioni), saper calcolare distanze inaccessibili utilizzando similitudini, saper associare ombre a oggetti e altri trasformati a figure originali, … più che conoscere i termini "trasformazioni affini", "omotetie", …

(d)   aver riflettuto (non genericamente) sulle differenze tra linguaggio comune e linguaggi specialistici, aver svolto (in contesti semplici, ma non banali) qualche attività di sperimentazione-congettura-verifica-dimostrazione, avere confidenza con il ricondurre problemi ad altri problemi (ricondurre problemi di tipo geometrico ad altri problemi di tipo geometrico – sono esempi in questo senso anche alcune delle attività considerate in (a) –, realizzare o interpretare rappresentazioni grafiche di relazioni tra grandezze, visualizzare geometricamente proprietà algebriche, …), … più che aver imparato cose del tipo «il punto è l'ente geometrico senza dimensioni», «non si deve parlare di triangoli uguali ma di triangoli congruenti perché in matematica due oggetti sono uguali solo se sono la stessa cosa», …

(e)   e aver avviato l'affiancamento degli strumenti "diretti" per il disegno (riga, squadra, goniometro, compasso, …) all'uso del computer (per realizzare disegni sia "a mano libera" che di tipo "geometrico"), mettendo in luce, operativamente, le diverse tecniche e le diverse idee da usare rispetto all'uso di dispositivi non informatici.

    Mentre alcuni concetti geometrici vanno consolidati per via analitica  (punto come coppia di numeri reali,  figura come insieme di punti,  direzione come elemento dell'intervallo [0°,360°), …),  per introdurre altri concetti e affrontare problemi e qualche prima dimostrazione occorre procedere a volte analiticamente, a volte sinteticamente, idealizzando qualche situazione "fisica" (ad esempio una semiretta può essere descritta come l'insieme di punti in cui un punto dato può essere trasformato mediante traslazioni di una direzione fissata, ovvero come la traiettoria percorribile a partire da una certa posizione e senza mai cambiare direzione).

    Si tratta di introduzioni che astraggono e generalizzano concetti "fisici"  (dalle posizioni su righe e su superfici individuate con strumenti di misura ai punti come coppie di numeri, dagli angoli misurati con un goniometro alla loro misura come differenza di direzioni, …), da affrontare dopo lo svolgimento di riflessioni e attività operative (con strumenti da disegno e di misura) in situazioni "concrete".  Poi, il software di geometria dinamica può favorire questi intrecci e queste astrazioni (che possono essere sviluppate anche appoggiandosi a gif animati, come questi).

        Dalla scuola primaria si deve ricordare come si calcola la circonferenza:  se ingrandisco o rimpicciolisco un cerchio il rapporto tra la sua larghezza, cioè il suo diametro, e la sua lunghezza, cioè il suo perimetro (che nel caso dei cerchi si chiama circonferenza), non cambia, e si vede (come si può osservare misurando la circonferenza di una ruota di biclicletta con un metro da sarta) che è 3 e qualcosa.  Occorre ricordare che esso vale con più precisone 3.141592653…  e che viene indicato con la lettera greca π  (pi greca), che è l'iniziale della parola greca perimetros:  il perimetro del cerchio di diametro D è π·D.  Ed è opportuno osservare che questo numero (come √2 o √3) non può essere espresso sotto forma di frazione.
    Ed è opportuno ricordare come si può determinare l'area di un cerchio:  un cerchio di raggio R può essere srotolato (come si vede in questa animazione) in un triangolo rettangolo con un cateto lungo quanto la circonferenza e l'altro lungo quanto il raggio, e concludere che la sua area è π·R²:

    Come già osservato, vanno messe gradualmente a fuoco le differenze tra argomentazioni intuitive e dimostrazioni (come quella richiamata nella animazione precedente).  Ad esempio nel caso seguente in cui il quadrato grosso ha un vertice nel centro del quadrato piccolo (figura A) posso supporre che la parte in comune ai due quadrati sia circa un quarto del quadrato piccolo, posso ritenere che le cose stiano esattamente così pensando al fatto che ruotando il quadrato grosso posso arrivare alla figura B, ma per dimostrare che questo vale in generale devo fare il ragionamento illustrato nella figura C.

    E, come già osservato (vedi  QUI), va curata la costruzione dei concetti e del linguaggio matematico, e del significato delle definizioni, più che la memorizzazione di definizioni, spesso sbagliate.   Clamorose sono le definzioni errate di parallelismo diffuse in molti libri di testo:  vedi qui.

    Devono, poi, essere evidenziati i conflitti tra terminologia matematica e linguaggio comune: i diversi significati di angolo, direzione, distanza, curva, ...  Sono molte le parole d'uso comune usate con significati diversi;  si pensi che nella normale comunicazione quando si parla di tavolo rettangolare si intende uno che non sia quadrato, mentre in matematica i rettangoli sono particolari quadrati;  ciò rimanda anche al modo in cui i concetti sono definiti:  se dico che un triangolo isoscele è un triangolo che ha due lati eguali intendendo che anche i triangoli equilateri sono iscosceli, sottointendo che "due" stia per "almeno due", non per "esattamente due";  per l'adulto "colto" questo è scontato, per l'alunno no;  dunque è doverso che l'insegnante, se non vuol far nascere misconcezioni, nei primi anni di scuola usi queste espressioni più lunghe per distinguere i due casi.  Si pensi poi ai molti significati che la parola uguale ha in matematica, del tutto diversi da quello, profondamente errato, che le viene attribuito da molti libri ("uguale" come "essere la stessa cosa"): vedi i molti esempi presentati qui.

    E va messo a fuoco il fatto che nella pratica possiamo ottenere solo valutazioni approssimate delle aree (e dei volumi).  Questo, per altro, costituisce una prima introduzione ad attività che poi, nella scuola secondaria di 2° grado, saranno approfondite e saranno punti di riferimento importanti per affrontare altri temi (ad esempio, il lavoro in fisica e gli integrali in matematica).

    Due esempi:  il calcolo dell'area di un piccolo campo, fatto triangolando la zona e calcolando la somma delle aree dei triangoli (che, volendo, si possono calcolare a partire dalle dimensioni dei lati: vedi), e poi, capito il procedimento, il calcolo scaricato su un programma  (sotto come sono fatti il disegno al centro e il calcolo con R);   il calcolo del volume di una scatola in cm³, prima approssimando le misure dei lati ai cm (3·2·2), poi ai mm (3.6·2.1·2.2), …, ottenendo man mano approssimazioni per difetto migliori.

   
PLANE(0,5, 0,5); x = c(0.5,1,4,4.5,3,4.5,2,0); y = c(0,0,1,2.5,3,3.5,4.5,2.5)
polyC(x,y, "orange"); areaPol(x,y)
# 13.25 m^2

    Occorre, poi, riprendere dalla scuola primaria, in vista di approfondimenti da affrontare nella scuola secondaria di 2º grado, alcune considerazioni sulla geometria tridimensionale che sono state, storicamente, vari secoli fa, alla base dello sviluppo di gran parte della matematica, con intrecci con tematiche che sono più specificamente affrontate da altre discipline (geografia, disegno, …).  Il primo aspetto è quello della prospettiva, che i bambini incontrano sin da piccoli nel momento in cui devono disegnare oggetti o paesaggi che vedono o hanno visto, strade o itinerari che hanno percorso, …, appoggiandosi anche al disegno di edifici o paesaggi su fogli trasparenti attaccati con del nastro adesivo alla finestra dell'aula, all'esame di visioni prospettiche di quartieri ed altre zone usando il computer, … fino ad affrontare anche esercizi con carta e penna.

   

    Un aspetto particolare che emerge da esperienze come quelle sopra discusse è il disegno delle ombre. Si possono poi affrontare attività di verifica (o di spunto per nuove esperienze) come quella di spiegare a parole quale o quali delle tre figure A, B e C sottostanti sono sbagliate e perché.  O ad attività in cui si fanno prime riflessioni sul legame tra ombre e posizione del sole, sui motivi per cui ombre parallele le vediamo non parallele, strade rettilinee dai bordi paralleli le vediamo trasformate in semirette che hanno l'origine in comune. O all'osservazione delle meridiane, ad una prima messa a fuoco del legame tra ombra dello gnomone e ora del dì, …. O a successive esperienze in cui si consolidano le idee emerse utilizzando una torcia elettrica ed esaminando le forme che assumono quadrati, rettangoli, cerchi, … proiettati sul muro.

   

    Si possono, poi, mettere a fuoco altri aspetti, che saranno ripresi e approfonditi nei livelli scolastici successivi:  il fatto che mentre i due fermagli sotto disegnati possono essere trasportati uno sull'altro ciò non accade per le maniglie, il fatto che le porzioni di superficie terrestre non sono piatte, e possono essere rappresentate da cartine diverse, che conservano alcuni aspetti ma non tutti, … con evidenti collegamenti con problemi affrontati nel disegno o in geografia (e con sviluppi sull'estensione superficiale e il volume della sfera).

  

    Quello che, invece, deve essere messo a fuoco è che il "teorema di Pitagora", che può essere congetturato nel modo raffigurato sotto a sinistra, vale solo, in modo approssimato, per piccole porzioni di superficie terrestre, in cui si possano trascinare le figure mantenendone l'estensione.  Occorre osservare che sul complesso della superficie terrestre non vale (un ottavo di sfera è un triangolo con tre angoli retti).  E, collegandosi a quanto osservato poco sopra, far osservare che le distanze tra i meridiani si riducono man mano che ci allontana dall'equatore (per cui non ha senso utilizzarlo per il calcolo di grandi distanze).

     

    Questi concetti, come già detto, dovranno essere ripresi e approfonditi successivamente, nell'ottica di una ripresa a "spirale" degli argomenti: come sottolineano anche i programmi scolastici da moltissimi anni, non si tratta di fare degli "anticipi", ma di utilizzare, in modi opportuni, terminologie e concetti che trovano naturali intrecci con altri concetti e di porre le basi per la costruzione di successivi livelli di formalizzazione. Ci pare fondamentale questo aspetto, sia per dare una immagine corretta e "viva" della matematica, sia per non favorire irrigidimenti mentali che identificano i concetti con particolari definizioni, particolari procedimenti di calcolo, … e li classificano in aree (la geometria, l'algebra, la geografia, il disegno, …) non comunicanti tra loro.
 

Inversa proporzionalità

    L'inversa proporzionalità è di fondamentale importanza in tutta la matematica e in tutte le applicazioni di questa.  Sicuramente nella scuola secondaria di 1° grado devono essere affrontate situazioni come quelle illustrate nelle figure seguenti, in cui viene messo in luce che, a parità di effetto, la forza esercitata e la lunghezza della traiettoria lungo cui la si esercita sono inversamente proporzionali.  Non è il caso di approfondire dal punto di vista della "fisica" questo argomento, che sarà sicuramente ripreso nella scuola secondaria di 2° grado, ma è il caso di metterlo a fuoco, matematizzandolo, sin dalla scuola di base  (perché per spingere una porta se mi avvicino all'asse di rotazione devo fare uno sforzo maggiore?).  Nel caso della stadera (figura a destra, in cui R1 e P2 sono fissati), posso ottenere il prodotto tra P1 ed R1 modificando R2  (vedi QUI per altri esempi).
    Anche l'idea di quanto di una vincita al totocalcio spetti a ciascun vincitore in funzione del numero di essi o (vedi il grafico visto sopra) ) di quanto costi mediamente in un mese una fotocopia fatta con una fotocopiatrice noleggiata mensilmente in funzione del numero di fotocopie fatte, sono esempi in cui intervengono funzioni di inversa proporzionalità che potrebbero essere affrontati.

   

    Poi, nel primo biennio della scuola secondaria di 2° grado, a partire da esempi di questo tipo si potrà arrivare allo studio delle funzioni astratte  x → h+k/x  e ad una prima messa a fuoco dei concetti di asintoto orizzontale e verticale, di funzione crescente e decrescente.  Val la pena osservare che con le cosiddette "proporzioni" argomenti come questi non possono essere messi a fuoco in modo efficace!
 

Calcolo delle probabilità

    Affrontando la statistica descrittiva dovrebbero essere già stati introdotti i concetti e le tecniche di base per la rappresentazione e lo studio delle variabili casuali.  Affrontando il  calcolo delle probabilità  si effettua il passaggio al caso in cui si fanno delle "previsioni", sulla base di considerazioni statistiche, di convinzioni o di informazioni di vario genere.

    Il tema della probabilità viene spesso affrontato in modi "dannosi":  si pensi ai molti libri in cui si "definisce" la probabilità come rapporto casi favorevoli/casi possibili, dimostrando l'ignoranza dei più elementari concetti matematici, e favorendo, nei ragazzi, lo sviluppo di misconcezioni che poi sarà difficile smontare.  Il tema della probabilità, pur coinvolgendo, in prima battuta, concetti matematici molto elementari, è difficile da affrontare perché richiede una comprensione profonda delle situazioni da matematizzare, non una banale applicazione di qualche formuletta.  Per questo motivo  (e tenendo conto di come spesso viene affrontato nei livelli scolastici precedenti)  il tema è da riprendere totalmente, facendolo precedere da riflessioni statistiche, e considerando situazioni varie, molte delle quali non sono affrontabili con lo schema "casi/casi" accennato sopra, come ad esempio quella illustrata qui a destra (un dado costruito col cartoncino).    

    Del concetto di probabilità occorre precisare le regole a cui deve sottostare, esplicitando che la scelta dei valori di probabilità da assegnare non dipende, in prima battuta, da considerazioni matematiche, ma da esperimenti, idee, supposizioni, … nelle quali la matematica non ha un ruolo di guida.  In pratica, a livello adulto, possiamo dire che è una definizione assiomatica (quella richiamata nella figura seguente, in cui A1, A2, A3, … sono eventi incompatibili), come varie altre definizioni che gli alunni hanno incontrato nei lori studi, anche se non sono state chiamate in tal modo (gran parte della aritmetica, per esempio, viene appresa "assiomaticamente").  Questo è il primo contesto in cui è chiaro e significativo esplicitare questo aspetto:  è "ovvio" che se ritengo che con la probabilità del 50% l'Inter batterà il Milan e che al 20% le due squadre pareggeranno, per me al 100%−(50%+20%) = 30% il Milan batterà l'Inter.  Non c'entrano nulla "casi/casi", c'entrano solo le proprietà richiamate nella figura seguente, che non sono altro che le proprietà già viste per le frequenze percentuali, le stesse che si usano per tracciare areogrammi, istogrammi, boxplot, …!

    Oltre a situazioni, come quella dell'esempio precedente (Inter-Milan), in cui le valutazioni probabilistiche sono soggettive, o quella del dado non equo, in cui possono essere effettuate dopo aver assegnato probabilità di uscita alla varie facce dopo degli esperimenti, vi sono anche situazioni in cui le uscite sono infinite, come nell'esempio seguente. Ecco perché i "..." nella figura soprastante.

Lancio N volte una moneta equa fino ad ottenere "testa".  A volte basta N = 1, a volte
N = 2, a volte N = 3, ...,  ma potrebbero essere necessari una quantità innumerevole
di tentativi.  Qual è la probabilità che basti N = 1?  E che basti N =2? ...

    Gli strumenti che intervengono per matematizzare le situazioni di incertezza sono, come abbiamo visto, in gran parte gli stessi che si impiegano nelle altre aree della matematica.  I grafi ad albero e le tabelle di ripartizione percentuale sono particolarmente utili per affrontare un altro concetto che è bene sia messo a fuoco nella scuola secondaria di 1° grado, per poi essere ripreso nel primo biennio di quella di 2° grado: il concetto della dipendenza/indipendenza di eventi e di variabili casuali:

Qual è la probabilità che
alzando 2 volte un mazzo
di carte da scopa ottenga
sempre una carta di denari?
 Qual è la probabilità che
 estraendo 2 carte dal
 mazzo queste siano
 entrambe di denari?

    Molti degli esempi affrontabili fanno riferimento al gioco, un po' per la natura stessa dei concetti probabilistici, un po' perché si tratta di situazioni più facilmente modellizzabili, in cui è più agevole estrarre gli aspetti significativi.  Ma è bene riferirsi anche a contesti non di gioco, ad esempio a situazioni in cui, in base a valutazioni probabilistiche si devono fare delle scelte in una attività produttiva o in un contesto giudiziario, o in cui si devono fare delle valutazioni di natura biologica o sanitaria.  Basti pensare alla genetica (per un esempio di attività vedi QUI).

    Il fatto che gli strumenti probabilistici (e quelli statistici) siano da utilizzare (e i cui esiti siano da interpretare) in contesti non puramente matematici è forse il motivo per cui essi sono spesso trascurati dai docenti o sviluppati in modi del tutto scorretti. È invece essenziale, dal punto di vista educativo, affrontare questa tematica, cercando anche di mettere in luce le difficoltà e gli errori che gli alunni possono commettere affrontando questioni probabilistiche. Questo è un aspetto decisivo per quest'area della matematica, anche per favorire lo sviluppo di attenzioni verso le sciocchezze che i mass media vari spesso propongono facendo riferimento a valutazioni probabilistiche.

    Nel secondo biennio della scuola secondaria di 2° grado le aree della statistica e della probabilità troveranno un più forte intreccio quando verranno messi a fuoco gli argomenti teorici per cui, in un esperimento statistico, all'aumentare delle prove il rapporto tra numero delle uscite favorevoli e totale delle uscite tenda a stabilizzarsi sulla probabilità.  Qui i docenti possono trovare una breve storia del calcolo delle probabilità.

Rapporti con le altre aree disciplinari

    Nel paragrafo inziale, sul concetto di modello, abbiamo discusso a lungo dei rapporti tra la realtà e i vari modelli, disciplinari e non, con cui essa, o suoi aspetti particolari, possono essere rappresentati e studiati.  Abbiamo messo in luce anche le differenze tra i modelli matematici e gli altri modelli disciplinari, e le attenzioni didattiche che tutti questi aspetti devono sollecitare in chi ha il compito di educare le nuove generazioni, soprattutto nelle prime fasce scolastiche.
    Mentre le altre discipline si riferiscono a diversi tipi di fenomeni, la matematica è caratterizzata dal tipo di artefatti che impiega ed è organizzata sulla base della loro proprietà e dei rapporti formali tra essi, anche se alcuni settori di confine (l'informatica, l'econometria, la fisica matematica, …) sono caratterizzati dalla relazione con certe discipline e aree teconologiche.
    Ma, come abbiamo evidenziato sopra, la nascita e lo sviluppo storico dei vari concetti matematici si è intrecciato agli altri saperi, e la capacità di utilizzare gli artefatti matematici dipende dalle conoscenze dei contesti in cui essi vengono impiegati.  Nel lungo percorso di apprendimenti scolastici ed extrascolatici attraverso il quale si diventa adulti, cose inizialmente acquisite come astrazioni diventano poi degli "oggetti" concreti per descrivere "realtà" su cui realizzare nuove astrazioni.  Ma, affinché questo processo si sviluppi in modo efficace, occorre che questo passaggio concreto-astratto sia graduale, sia "percepito" dagli alunni, faccia riferimento ai vari aspetti conoscitivi con cui nella vita di tutti i giorni essi hanno a che fare, per arrivare progressivamente a forme organizzate disciplinarmente.  L'insegnante di matematica e scienze deve curare questo aspetto, facendo emergere e mettendo a fuoco sia le differenze che i rapporti tra le due aree discplinari, e tra esse e le altre aree disciplinari.