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Già nel biennio (come suggerivano anche Villani e Spotorno [vedi]
nel lontano 1974), si può dare una prima sistemazione formale al concetto di continuità:
se una funzione è definita in un intervallo [a, b] e all'infittire degli input in tale intervallo fornisce output man mano più fitti,
allora si dice che tale funzione è continua in [a, b]. Si potrà, poi, dire che è continua in un qualunque insieme I di numeri reali se lo è
in ogni intervallo [a, b] contenuto in I (ad esempio
La figura seguente ci fa capire che la funzione
In questo modo la continuità delle funzioni reali di variabile reale è stata introdotta solo su intervalli, non in
punti, mediante quella che viene tradizionalmente assunta come definizione di
uniforme continuità; questa strada (che è quella scelta nell'ambito della
matematica costruttiva e in vari manuali di Calculus, come il Lax-Bernstein-Lax, "Calculus with Applications and Computing",
e che è stata individuata come possibile scelta didattica, per la scuola secondaria superiore, in una conferenza dell'Unione Matematica Italiana da
Prodi) ci sembra che (oltre a facilitare l'introduzione dell'integrazione - molto spesso
nei libri sono presenti dimostrazioni o giustificazioni errate della integrabilià delle funzioni continue) abbia due vantaggi:
• è più vicina al concetto "intuitivo" di continuità (che non è
"puntuale") e è adeguata a tutti gli sviluppi affrontabili nella scuola
secondaria superiore;
• corrisponde al concetto di funzione
tabulabile, ovvero rappresentabile (graficamente o tabularmente) con un
calcolatore: comunque si fissi Δy si può trovare n tale
che, ripartito [a,b] in n intervallini uguali, f(x) è approssimata con errore
inferiore a Δy da f(xi) se xi è
un estremo dell'intervallino in cui cade x.
Sulla usuale definizione si potrà tornare nelle classi successive.
Il terorema che ogni funzione continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [a,b] è uniformemente continua
nello stesso intervallo è noto come teorema delle piccole oscillazioni ("small-span theorem").
Il concetto di "uniforme continuità" (in un intervallo) differisce da quello di "continuità" (in tutti i punti dell'intervallo)
solo, in particolari casi, sugli intervalli non chiusi. Ad esempio, nel disegno sottostante, F e G sono uniformenente continue in ogni intervallo
chiuso contenuto nell'intervallo (a,b); invece se ci si riferisse all'intervallo (a,b) avremmo che F (supposto che