Continuità

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    Già nel biennio (come suggerivano anche Villani e Spotorno [vedi] nel lontano 1974), si può dare una prima sistemazione formale al concetto di continuità:  se una funzione è definita in un intervallo  [a, b]  e all'infittire degli input in tale intervallo fornisce output man mano più fitti, allora si dice che tale funzione è continua in [a, b].  Si potrà, poi, dire che è continua in un qualunque insieme I di numeri reali se lo è in ogni intervallo [a, b] contenuto in I (ad esempio  x → 1/x  è continua in R−{0}).
    La figura seguente ci fa capire che la funzione  x → (20−2·x)²·x  è continua in [0, 10].

    In questo modo la continuità delle funzioni reali di variabile reale è stata introdotta solo su intervalli, non in punti, mediante quella che viene tradizionalmente assunta come definizione di uniforme continuità; questa strada  (che è quella scelta nell'ambito della matematica costruttiva e in vari manuali di Calculus, come il Lax-Bernstein-Lax, "Calculus with Applications and Computing", e che è stata individuata come possibile scelta didattica, per la scuola secondaria superiore, in una conferenza dell'Unione Matematica Italiana da Prodi)  ci sembra che (oltre a facilitare l'introduzione dell'integrazione - molto spesso nei libri sono presenti dimostrazioni o giustificazioni errate della integrabilià delle funzioni continue) abbia due vantaggi:
•  è più vicina al concetto "intuitivo" di continuità (che non è "puntuale") e è adeguata a tutti gli sviluppi affrontabili nella scuola secondaria superiore;
•  corrisponde al concetto di funzione tabulabile, ovvero rappresentabile (graficamente o tabularmente) con un calcolatore: comunque si fissi Δy si può trovare n tale che, ripartito [a,b] in n intervallini uguali, f(x) è approssimata con errore inferiore a Δy da f(xi) se xi è un estremo dell'intervallino in cui cade x.
    Sulla usuale definizione si potrà tornare nelle classi successive.
    Il terorema che ogni funzione continua in tutti i punti di un intervallo chiuso [a,b] è uniformemente continua nello stesso intervallo è noto come teorema delle piccole oscillazioni ("small-span theorem").
    Il concetto di "uniforme continuità" (in un intervallo) differisce da quello di "continuità" (in tutti i punti dell'intervallo) solo, in particolari casi, sugli intervalli non chiusi.  Ad esempio, nel disegno sottostante, F e G sono uniformenente continue in ogni intervallo chiuso contenuto nell'intervallo (a,b);  invece se ci si riferisse all'intervallo (a,b) avremmo che F (supposto che F(x) → ∞ per x → a+) non è uniformemente continua in esso, mentre è continua in ogni punto di esso.  Ciò, comunque, non crea contraddizioni o dubbi:  abbiamo detto che una funzione è continua in un insieme di punti (che può essere un intervallo aperto o un'unione di intervalli) se è è continua in ogni intervallo chiuso in esso contenuto.