Quanto vale la somma delle ampiezze degli angoli segnati con dei pallini nelle figure qui a sinistra? Varia o è sempre la stessa? Prova a studiare il fenomento con il seguente file per Cinderella (o con un analogo file che l'insegnante ha predisposto con altro software), mediante il quale puoi studiare la figura comunque sia disposta (a destra una delle possibili forme che puoi ottenere). Prova poi a dimostrare quanto hai supposto con queste prove.

    Nel caso della figura in alto a destra si ottiene facilmente che la somma degli angoli è 90+90+90+90 gradi, ossia 360°. Vediamo altri casi.

    Facendo i conti si verifica che la somma vale sempre 360°, a parte problemi di arrotondamento: ad es. nel caso della figura sopra a destra ottengo  49.2 + 55.2 + 76.4 + 52.7 + 43.6 + 83 = 360.1 (49.2 poteva essere in realtà 49.193… e così altre misure arrotondate avrebbero potuto essere più grandi delle misure esatte dando luogo ad una somma che potrebbe arrivare a formare 1 decimo in più; in altre situazioni potremmo ottenere valori la cui somma si discosta da 360 per 1 o 2 decimi in più o in meno).
    Proviamo a dimostrarlo, ossia a convincersene con un ragionamento che vale non solo nei singoli casi.
    Nel caso di figure disposte come quella sopra a destra posso ragionare così: faccio la somma degli angoli di tre triangoli "esterni" (180°·3) e tolgo la somma degli angoli del triangolo in mezzo: ottengo 180°·2 = 360°.
    Nel caso di figure disposte come quella a sinistra osservo che gli angoli non segnati dei tre triangoli coinvolti sono uguali (in quanto opposti al vertice) agli angoli del triangolo al centro della figura, e quindi hanno somma 180°. Del resto i tre triangoli coinvolti hanno angoli che in tutto valgono 180°·3. Quindi la somma delle ampiezze degli angoli segnati è pari a 180°·3−180° = 180°·2 = 360°.