Costruzione di un "handbook" di didattica della matematica
Introduzione: obiettivi dell'attività
Le motivazioni della proposta: realizzare un punto di riferimento per i docenti delle varie fasce scolastiche
I rapporti con le altre discipline: la natura della matematica e la sua interazione con gli altri saperi
Diversi livelli di approfondimento: rapporti tra scuole e tra alunni con diversi livelli o diversi modi di apprendere ed esercitare
conoscenze e abilità
Un possibile tema da cui partire: un esempio di riflessioni da cui partire prima di affrontare tematiche generali
Che fare?: possibili temi, e modalità, in cui articolare il lavoro
Introduzione
Questa attività è volta alla costruzione di un "handbook" (non di materiale per le classi) di didattica della matematica. L'obiettivo è mettere a fuoco per l'insegnamento dei vari temi matematici differenziazioni e punti di raccordo (a livello di rapporti con la "realtà", di formalizzazione, di rapporti con le altre discipline, di sistemazione interna, ...) che ci dovrebbero essere tra i diversi livelli scolastici. Si prevede un'alternanza di attività in presenza e di lavoro on-line (incontri di 3 ore, con possibilità di gestione in tempi diversi per il lavoro on-line). L'attività era previsto si avviasse alla fine dell'anno scolastico precedente, ma, per vari motivi, è stata poi rinviata al nuovo anno scolastico.
Le motivazioni della proposta
In molte occasioni abbiamo avuto modo di confrontarci tra docenti dei vari livelli scolastici relativamente ai problemi dell'insegnamento della matematica. Nelle scuole, purtroppo, in varie realtà, i docenti che vogliono innovare l'insegnamento (tenendo conto delle indicazioni generali che sono ormai presenti nei programmi da più di trent'anni, e che non sono in genere rispettate dalle case editrici) trovano ostacoli da parte di molti colleghi. Ci è parso quindi utile cercare di realizzare un handbook di didattica della matematica (edito da una casa editrice ma reso fruibile anche in forma elettronica) che possa essere utilizzabile, dai docenti che vogliono innovare, come "punto di riferimento", anche nei confronti di chi si vorrebbe opporre alle "innovazioni".
L'idea è quella di realizzare qualcosa che si riferisca a tutti i livelli scolastici, mettendo in luce (attraverso argomentazioni
e attraverso esempi):
• come passarsi la palla da un
livello all'altro,
• come il modo di comunicare e di fare matematica cambi all'evolversi delle tecnologie,
• quali sono le cose irrinunciabili per tutti,
• da quali rapporti
con le altre aree disciplinari partire e quali costruire,
• come scambiarsi e accedere a materiale costruendo delle alternative ai libri di testo,
• ...
In pratica, dovremmo cercare di aprire, innanzi tutto tra noi, delle forme di confronto per temi tra docenti dei vari livelli, prendere/scrivere appunti, esaminare il materiale esistente, ... e gradualmente mettere assieme, rivedere, riassemblare, ... le cose.
I rapporti con le altre discipline
Un aspetto che dovremo tener presente è sicuramente il problema dei rapporti e dei possibili collegamenti tra matematica ed altre discipline. La matematica trova le sue origini e sopravvive nel momento in cui si intreccia con la costruzione e la sistemazione di altri saperi; di questo si deve tener conto nell'insegnamento a tutti i livelli, mettendo in luce come le attività di matematizzazione facciano riferimento a "realtà" che, via via, nel percorso scolastico, sono presentate e mediate da altre conoscenze disciplinari che a loro volta, via via, hanno un rapporto meno "diretto" con la percezione immediata, attraverso una rapporto concreto/astratto in cui il confine tra i due aspetti gradualmente si sposta. I temi di raccordo anche a livello scolastico sono molti. Proviamo a fare un elenco, per mettere in luce questo aspetto:
• scienze (informazioni nutrizionali, misurazioni varie, approssimazioni, fattori di scala, grafici rispetto al tempo, genetica, istogrammi di distribuzione di altezze, pesi, ..., sviluppo della popolazione, ...)
• fisica (funzioni nel tempo, momento, approssimazioni e propagazione degli errori, calcolo differenziale e integrale, centro di massa, termodinamica,
teoria dei gas, meccanica quantistica, ecc.)
• chimica (analogie e differenze col calcolo letterale, cose viste sopra per la fisica, disposizione dei composti, proporzioni, gradazione, ...)
• storia (storia della matematica: numeri, ...; analisi di serie storiche, istogrammi demografici, grafici in funzione del tempo, ...)
• disegno e storia dell'arte (rapporti e scale, l'avvio alla prospettiva, il piano cartesiano, le proiezioni, gli angoli, ..., la prospettiva, storia della matematica, tassellazioni, Escher,...)
• musica (rapporti, armoniche, piano con coordinate, serie, funzioni periodiche, fourier,...)
• italiano (metrica, poesie, linguaggi formali e disciplinari e lingua comune, analisi statistica di brani per individuare gli autori, crittogrammi, codifiche, computer, ...)
• inglese (lingua inglese per testi, esercizi, siti, software, numeri, ...)
• filosofia (storia del pensiero, filosofia della matematica, natura della matematica, ..., Galileo/Pascal/…)
• educazione fisica (momento, baricentro, geometria dei campi da gioco, velocità, record, statistiche, ...)
• economia (grafi di flusso, sconti, costi al variare del volume di produzione, matematica finanziaria, ricerca operativa, ...)
• elettronica (ci sono problemi nell'uso un po' becero della matematica "a ricette", simili a quelli che esistono per l'economia)
• informatica (la matematica che serve per usare i mezzi di calcolo e le cose matematiche che i mezzi di calcolo consentono di fare)
• ...
Dovremo tener presente questo aspetto, nel momento in cui analizzeremo le varie aree matematiche, tenendo conto che esso è importante anche per la scelta
e l'organizzazione dei percorsi didattici: nella loro costruzione occorre integrare, raccordandoli e modificandoli, lo "scheletro"
matematico e quelli delle altre discipline (della cattedra in cui insegniamo e delle altre materie).
Diversi livelli di approfondimento/sistemazione
Dovremo tener conto anche di un altro aspetto. Nelle scuola di base esistono alunni con diverse "capacità" (non facili da esplorare: spesso la scuola oscura o sopravvaluta le abilità e le potenzialità dei vari alunni), e, nella scuola superiore, accanto ai licei scientifici e classici e agli istituti tecnici industriali, vi sono gli istituti professionali e istituti tecnici più deboli (come quelli "commerciali"). Dovremo mettere a fuoco le cose essenziali da affrontare in questi tipi di scuole: le cose che possono essere buttate a mare e le cose essenziali per utilizzare consapevolmente la matematica, cercando di intrecciarla in modo non strumentale con le aree di indirizzo (ad esempio per gli istituti dell'area socio sanitaria partire da attività legate a questo settore).
Vi è poi il problema dei DSA e, in particolare, la questione delle molte situazioni - sempre più diffuse negli istituti "deboli" - in cui questi non sono effettivamente tali ma vengono certificati tali da incompetenti enti di "psicologia": si apre il problema (che forse va messo a fuoco, date le sue dimensioni) di come sia opportuno cercare di far percepire (a loro e/o alle loro famiglie), con opportune attività didattiche (pensarci ...), che apprendere le cose (non solo avere il pezzo di carta) serve nella vita.
Un possibile tema da cui partire
Per avviare l'attività, prima di affrontare tematiche generali, su cui è difficile trovare dei momenti di confronto effettivo, si era pensato, alla fine dell'anno scorso, di partire da un tema specifico, e in particolare dal tema delle funzioni, che coinvolge tutti i livelli scolastici e tocca le varie aree della matematica e delle sue applicazioni. Questo potrebbe essere effettivamente il punto di partenza anche dell'attività che intraprendiamo concretamente quest'anno. Butto giù qualche spunto di riflessione, su cui possiamo incominciare a pensare. Sui modi in cui dare sbocco a queste riflessioni ci soffermiamo nel prossimo punto.
• le funzioni sono delle associazioni di input ad output; un esempio semplice è dato dai "tasti-funzione" delle calcolatrici:
funzioni ad 1 input e 1 output come "
• che rapporti ci sono tra il termine "funzione" usato in matematica e quello usato nella lingua comune?
• che cosa sono le "function" usate nei vari software;
• le funzioni sono presenti nei programmi della scuola di base da trent'anni; perché a scuola spesso non si usano?
• perché nelle scuole superiori, nei libri più diffusi, si riparte da 0, con "buffe" ed "errate" definizioni di "funzione" in cui
si fa un uso (non compreso dagli autori") dei concetti insiemistici?
• come, passando da un livello scolastico all'altro (e all'inizio di ogni anno quando si abbiano anche dei nuovi alunni), esplorare
le conocenze di base degli studenti (non solo sulle funzioni) con delle attività che non siano percepite dagli alunni come "valutative" e che facciano
loro percepire gli obiettivi (non fiscali) del proprio insegnamento?
• quando e come mettere a fuoco, gradualmente, il concetto di funzione inversa (per risolvere equazioni, in contesti e poi in astratto)?
• che relazioni ci sono tra gli istogrammi, i grafici di funzione ad 1 input ed 1 output, le curve, ...? (sono tutte funzioni, che ad una classe
associano un numero, che ad un numero associano un altro numero, che ad un parametro associano una coppia di coordinate, ..., ma ...)
• quando e come cominciare a riflettere sui rapporti tra i grafici di funzioni ad 1 input ed 1 output e (quando esiste) la loro
descrizione algebrica?
• quali funzioni si possono introdurre dai primissimi anni di scuola (la altezza di una piantina, la altezza e il
peso di una persona, la temperatura di una località, ... al trascorrere del tempo, la distanza su una cartina e la distanza nella realtà, il
costo di un bene in funzione del peso, l'area di un rettangolo in funzione delle due dimensioni, ...)?
• quando introdurre, operativamente e in contesto, il concetto di massimo e minimo di una funzione, e quando formalizzarlo?
quando mettere e a punto i collegamenti con i concetti di derivata, e la parzialità di questi collegamenti?
• come e quando avviare riflessioni sulla pendenza di un grafico, e la sua quantificazione, e come/quando collegarla
al concetto di derivazione?
• cose analoghe per le aree (e le aree con segno) e l'integrazione
• quanto privilegiare queste ultime acquisizioni concettuali e quanto le tecniche di calcolo?
• il software (a tutti i livelli scolastici): come può essere utile per esplorare, operativamente e formalmente, il concetto di funzione? che cosa
"scaricare" sul software (tecniche, esplorazioni, tempo, ...)? quali problemi può creare un uso inconsapevole del software? come educare ad un suo uso consapevole,
per questa area della matematica?
• come "affrontare" le misconcezioni sul concetto di funzione costruite dalla scuola negli alunni nuovi che
ci arrivano in classe?
• come non costruire misconcezioni che poi gli alunni si porteranno dietro se proseguiranno negli studi (come il
pensare una funzione continua come una funzione il cui grafico si riesce a tracciare con una penna!
o pensare che la funzione che ad x associa A alla x sia definita solo per A positivo!)
Che fare?
Le cose elencate prima sono alcune delle cose che vengono in mente pensando, in modo non organico, al concetto di funzione.
Cose analoghe ci possono venire in mente per altri temi. Provo a fare un elenco di temi possibili (per altro, tutti tra loro intrecciati), che
potrebbe costituire una specie di indice, disordinato, delle cose da affrontare:
• funzioni (e grafici, calcolo differenziale, …)
• statistica e probabilità (dagli istogrammi a crocette alle funzioni di densità, dalle percentuali agli integrali, la matematica combinatoria, …)
• matematica e ... (modellizzazione, realtà e materiali concreti, rapporti con altre discipline: scienze, fisica, economia, …)
• numeri (numeri interi e numeri decimali, numeri reali e numeri razionali, numeri complessi, …)
• approssimazioni e ... (calcolo approssimato, manipolazione dei dati, interpolazione, …)
• algebra e manipolazione simbolica (costruzione di termini, risoluzione di equazioni e disequazioni, sistemi, matrici, …)
• geometria (spazio a 1, 2 e 3 dimensioni, prospettiva, vettori, matrici, geometrie non euclidee, …)
• mezzi di calcolo (algoritmi e informatica, calcolatrici e computer, software di vari tipi, rapporti con tutte le altre aree …)
• linguaggio, definizioni e dimostrazioni, "logica", …
Io penso che pensieri un po' "random" come i precedenti, sul concetto di funzione, possono essere il punto di partenza per avviare il discorso: arricchire il disordine, di altri esempi e di problemi didattici, incominciare a pensare a come interfacciare i diversi livelli scolastici, come e quando introdurre operativamente le varie tecniche e i vari concetti, come e quando (e se) formalizzarli, …
Le strade possibili da percorrere mi sembrano due: provare a continuare la riflessione sul concetto di funzione, incominciando a tirar fuori tutti i problemi che ci vengono in mente e le cose su cui siamo e non siamo d'accordo, provando a concordare come passarsi la palla tra un livello scolastico e l'altro, ... fino ad arrivare ad una prima sistemazione, che poi dovremo rivedere affrontando gli altri temi (che dovremo via via delineare), o, completata una prima discussione random sul concetto di funzione, esplorare in maniera simile altri concetti e poi avviare una sistemazione più organica. Io, tra un incontro e l'altro, potrei sistemare le cose che ci vengono in mente, per evitare che tutto si disperda e mettere a punto qualcosa a cui, poi, si riesca a dare organicità.
Queste sono alcune delle cose su cui potremmo incominciare a discutere operativamente nel primo incontro, in cui dovremo anche fissare modalità, giorni, forme di comunicazione, ... per gli incontri successivi, in modo, anche, da dare certezza al proseguimento dell'attività.
Carlo Dapueto dapueto@dima.unige.it