Il ruolo del computer nella matematica e nei suoi rapporti con le altre discipline
Carlo Dapueto - DiMa
aprile 2020

http://macosa.dima.unige.it/unite

  Introduzione
(ascolta e poi
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che si apre)

    L'obiettivo di questo "incontro" era quello di esemplificare vari impieghi del computer per attività di matematizzazione in diversi ambiti. Data l'emergenza "Covid-19" ci limiteremo ad una attività online, senza alcun lavoro in aula computer e senza coinvolgere l'uso di software da scaricare.  Svolgeremo del lavoro, per quanto possibile, usando degli script, ossia delle piccole applicazioni gestibili direttamente dalle pagine Html (tipo quelle diffuse per molte attività quotidiane, come l'acquisto di biglietti o la consultazione di orari per servizi vari).  Alcuni script per essere modificati richiedono di essere prima copiati sul proprio computer, altri svolgono dei calcoli in base agli input che possono essere introdotti dall'utente, come vedremo.
    Cercheremo comunque di far riferimento alle diverse aree disciplinari.  Metteremo in fondo qualche indicazione per chi voglia usare del software gratuito ed affidabile, utilizzabile su tutte le piattaforme.

1. Al di là della nascita dei primi computer, i mezzi di calcolo sono entrati prepotentemente nelle vita quotidiana di moltissime persone agli inizi degli anni '70 (50 anni fa).  All'inizio si diffusero le prime calcolatrici scientifiche.  Esse consentirono di implementare e rendere praticabili da un ampio pubblico prime procedure di calcolo, legate a varie aree della matematica.  Un esempio:  l'area tra l'asse delle ascisse e una parabola con asse di simmetria verticale e concavità verso il basso, studiata, qui, con un semplice script, simulando quanto era fattibile con tali calcolatrici:

Clicca sul nome sottolineato qui a destra e poi clicca sul bottone una decina di volte:  area parabola.  Alla fine chiudi il documento che si è aperto, per tornare a questa pagina.

Una prima osservazione. Dopo un po' otteniamo:
        ...
        133.3333969116211   se  n = 1024
        ...
        137.5   se  n = 4
        150   se  n = 2
        200   se  n = 1

All'aumentare del numero delle prove prima le uscite tendono ad avvicinarsi al valore esatto (133+1/3), ma, se proseguissimo nel calcolo (fino a n = 67108864) ci accorgeremmo che ad un certo punto tendono a scostarsi da esso. Problemi di questo genere hanno posto l'esigenza di approfondire le riflessioni sul calcolo approssimato (quando e come fermare gli algoritmi, come arrotondare i risultati, …), che sono diventate importanti anche per gli ambiti scientifici non matematici.

Anche questo semplice esempio mette in luce come lo sviluppo mezzi di calcolo ha via via messo a fuoco la necessità, oltre che di aprire e sviluppare nuovi ambiti di ricerca e di insegnamento, anche di buttare a mare gran parte delle tecniche di calcolo macchinose che un tempo venivano eseguite a mano.  Un passo decisivo fu la diffusione dei primi personal computer, a partire dalla fine degli anni '70. Un esempio delle cose che si facevano con questi computer con gli studenti del primo anno del corso di laurea in matematica:

figure in movimento 
(clicca e aspetta 
qualche secondo;
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il documento)

Soprattutto a partire dal 1984 si svilupparono applicazioni per il trattamento delle immagini che utilizzano il mouse, ossia la possibilità di dare input "numerici" mediante movimenti "geometrici":

come tracciare un cerchio e trovarne il centro:
 

una trasformazione geometrica:
 

Si è poi sviluppato Internet (in Italia a partire dal 1986) ed è nata la possibilità di costruire e diffondere via rete documenti e immagini animate.  Qualche animazione:

         

2. Questi piccoli flash ci hanno dato un'idea di come e quando è avvenuta la diffusione dei personal computer. Come abbiamo detto all'inizio, per l'esigenza di fare tutto in forma remota, noi utilizzeremo degli script, ossia dei programmi eseguibili all'interno dei browser (e in particolare da questo documento). I linguaggi di scripting si sono sviluppati soprattutto a partire dall'inzio degli anni '90, poco dopo la comparsa di Internet.

Negli esempi che proporremo inseriremo, oltre a dei link agli script che generano certe uscite, anche una immagine statica delle stesse, a mo' di sintesi.

1º esempio. (A) Come trovare dato un certo totale, le percentuali corrispondenti a certe sue parti o, viceversa, date le percentuali, come trovare le parti corrispondenti.  (B) Come, data una percentuale, trovare l'ampiezza del settore con cui rappresentarla in un diagramma circolare (o viceversa). Qui sotto un'immagine. Per aprire il documento clicca sotto (muovi il mouse per leggere l'associazione; alla fine chiudi il documento):   
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L'uso del computer facilita la comprensione e l'uso dei concetti anche nei primi anni di scuola, posticipando la acquisizione delle tecniche di calcolo, e suggerendo modi di affrontarle più comprensibili e corretti (un tempo questi calcoli si affrontavano, invece che con delle semplici manipolazioni di rapporti, con tecniche magiche per risolvere le "proporzioni", tecniche che i programmi scolastici da 40 anni hanno vietato, anche se tutt'ora molti insegnanti e molti libri di testo le usano!).

2º esempio. Le distribuzioni percentuali, come calcolarle e rappresentarle. La distribuzione della popolazione al Nord, Centro e Sud (introduci  N, 25755;  C, 12068;  S, 20843):

Diagrammi a barre:     CLICCA

Diagrammi a striscia:   CLICCA

Messe a punto tecniche "comprensibili" (tecniche lunghe, non abbreviate: per fare i calcoli velocemente si usano i mezzi di calcolo) si può usare il computer per esplorare proprietà, ad esempio la periodicità dei risultati delle divisioni tra interi.

3º esempio:

Calcola, ad esempio, 20 diviso 17:   CLICCA

3. Il computer ha consentito di facilitare le rappresentazioni di fenomeni di vario tipo, che ci appaiono visualizzate quotidianamente (come un tempo non avveniva) nei giornali o alla televisione.  Impariamo a rappresentare fenomeni con diversi modelli matematici (o dovremmo imparare a farlo, e la scuola dovrebbe educarci a farlo), tenendo conto che dello stesso fenomeno potremmo avere informazioni e conoscenze diverse usando modelli diversi.

4º esempio. Due rappresentazioni differenti delle temperature massime registrate in una certa località in un certo mese (la prima mi consente di visualizzare l'andamento, la seconda di capire qual è distribuzione delle temperature che caratterizza quel mese):

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Col computer possiamo ottenere facilmente rappresentazioni grafiche di fenomeni statistici di vario genere.

5º esempio, riferito alla demografia. Il confronto tra distribuzione dell'età di morte nel 1951 e 40 anni dopo, disponendo dei dati classificati in diversi intervalli (fino a quegli anni i morti ultracentenari erano percentualmente trascurabili):

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Si possono affrontare facilmente calcoli approssimati, un tempo eseguiti con grossolane approssimazioni (spesso, purtroppo, ancora presenti in molti manuali!).

6º esempio. Per effettuare semplici calcoli approssimati possiamo ricorrere al seguente script (per eventuali approfondimenti vedi qui). Usalo per calcolare il rapporto tra gli arrotondamenti 39 e 14; dovresti ottenere l'intervallo [2.6551724137931,2.9259259259259] o, usando meno cifre, [2.65,2.93], ossia 2.79±0.14).

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4. Sono molti i contesti matematici in cui il ricorso al computer ha consentito di affrontare facilmente questioni che un tempo erano affrontabili con calcoli complessi, e soggetti a possibili errori.

7º esempio. Ad esempio sono determinabili in pochi secondi i divisori di un numero intero positivo. Usando il seguente script trova quali sono i divisori di 504008.

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8º esempio. Un biologo deve fare un esperimento su 50 topi, scelti tra i 90 di cui dispone. In quanti modi può effettuare la scelta? I modi possibili sono i sottoinsiemi di 50 elementi di un insieme di 90 elementi, le cosiddette combinazioni di 90 elementi 50 a 50. Trova, usando il seguente script, quante sono (dovresti ottenere circa 6·1025).

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9º esempio. Voglio un cocktail di Lemon Rum (L), Rum (R) e succo di arancia (A) di 300 ml: L+R+A = 300.  Voglio che il cocktail abbia gradazione alcolica del 25%, tenendo conto che quella di L è 30% e quella di R è 40%.  Voglio inoltre che Lemon Rum e Rum siano in eguali quantità: L = R.  In breve:
L + R + A = 300, 0.30 L + 0.40 R = 75 (il 25% di 300), L - R = 0. Trova i valori di L, R ed A usando il seguente script (devi ottenere L = R = 107, A = 86).

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5. Anche le applicazioni della geometria, non solo quelle legate alla rappresentazione grafica, sono state coinvolte in molti modi. Alcuni semplici esempi.

10º esempio. Come trovare l'area (e il centroide - quello che se il poligono fosse una lamiera di spessore costante verrebbe chiamato "baricentro") di una figura poligonale. Ora è facilissimo farlo introducendo semplicemente le coordinate dei vertici.  Calcola l'area e il centroide del poligono raffigurato a fianco utilizzando lo script seguente.
 
 

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11º esempio. Come trovare la lunghezza di un qualunque arco di curva. Qui l'esempio di un arco di cerchio di raggio 1. Usando lo script calcola, arrotondata a 7 cifre, la lunghezza dell'arco che va da A al punto di ascissa −0.7 (devi ottenere 2.346193).

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12º esempio. Lo sviluppo dei mezzi di calcolo ha permesso di fare elaborazioni numeriche rapidamente, anche con funzioni diverse dalle 4 operazioni.  Utilizzando la calcolatrice a cui si accede dal seguente script trova, utilizzando un opportuno tasto (quale?), la lunghezza d'arco precedente, con qualche cifra in più (2.3461938234057). Se vuoi vedi qui cosa viene richiesto.

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6. Il computer ha avuto un ruolo particolarmente importante per il calcolo degli integrali (sono pochi gli integrali che si sanno calcolare formalmente, mediante lo studio delle antiderivate) e per le valutazione probabilistiche, temi entrambi che hanno un'enorme rilevanza in tutti gli ambiti scientifici, dalla fisica alla biologia e alle discipline di area economica.

13º esempio. Col seguente script posso trovare che il valore arrotondato dell'integrale tra 1 e 7 di x → √(x³+1) è 52.049971104.

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14º esempio. Per la valutazione di eventi probabilistici si può ora ricorrere al generatore di numeri casuali, che genera una quantità impressionante - circa 106000 - di numeri distribuiti in modo uniforme e (praticamente) casuale tra 0 ed 1 e che, applicando opportune funzioni, può essere usato per simulare fenomeni casuali comunque distribuiti.  Vediamo un esempio: la probabilità che lanciando tre dadi equi si ottengano almeno 2 uscite eguali (in questo caso particolarmente facile si potrebbe calcolare teoricamente la probabilità e trovare che è 4/9 = 44.444…%).

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7. Come sono realizzate le animazioni, come quelle viste inizialmente (alla fine del 1º paragrafo) e come le due seguenti, che illustrano alcuni aspetti matematici?

15º esempio. Le animazioni sono realizzate esattamente come un cartone animato (o un film): sono costituite da tante immagini diverse che vengono riunite in un unico file che le visualizza una dopo l'altra, con intervalli di tempo decisi dall'utente che ha messo insieme il file. Possono essere realizzate con molti programmi di uso gratuito. Possono essere realizzate anche con un qualunque browser, mettendo ogni immagine in un file html distinto e inserendo in questo, con comandi opportuni, il tempo per cui visualizzarlo e l'indirizzo del file successivo su cui, trascorso tale tempo, trasferire il browesr. Ecco un esempio, che illustra e giustifica il modo in cui calcolare l'area di un cerchio.

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16º esempio. Ecco una spiegazione del fatto che non esistono oggetti di cui si possa misurare la lunghezza con esattezza:

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17º esempio. Esistono moltissime animazioni che illustrano o spiegano i più vari argomenti, di natura scientifica o di qualunque genere. Ed esistono programmi che consentono di muovere figure utilizzando il mouse o dando dei comandi per farle muovere autonomamente. Vediamo ad esempio la somma di due funzioni sinusoidali. Prima consideriamo due immagini statiche (un caso in cui la somma è una funzione periodica ed uno in cui non lo è):

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Come facciamo ad essere sicuri che la seconda funzione non è periodica. Non vediamo qui la dimostrazione. Possiamo porre il problema a WolframAlpha, un programma che fa "quasi tutto". Apriamolo cliccando qui: www.wolframalpha.com e introducendo:
what is the period of sin(3*x)+sin(sqrt(2)*x)?
Cliccato [=] otteniamo:  not a periodic function.
Potremmo ottenere anche un grafico (meno bello dei precedenti) introducendo:
plot y = sin(3*x)+sin(sqrt(2)*x), -20 <= x <= 40

18º esempio. Usciti da WolframAlpha vediamo come si può ottenere una animazione come la seguente:

Prova ad ottenerla col programma www.desmos.com, utilizzabile online:

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Se non ci riesci vedi come fare QUI,  dove trovi anche come, a partire dalle posizioni (in metri) di un'auto che (inizialmente) viaggiava a velocità costante di circa 46.5 m/s (ossia circa 167 km/h, valore segnato dal tachimetro), rilevate con delle fotografie scattate ogni secondo a partire da quando l'autista ha iniziato a frenare, si può ottenere che l'accelerazione (che in questo caso è una decelerazione) è di circa −2.9 m/s².

8. Un altro strumento matematico messo a punto nella seconda metà del XX secolo e utilizzato in molteplici ambito è costituito dalle spline, ossia delle curve costituite da archi di curve polinomiali che passano per un certo insieme di punti e si raccordano in modo da essere opportunamente "lisce". In particolare le spline cubiche sono costituite da tratti di curve polinomiali di terzo grado che si raccordano in modo che le derivate prima e seconda da destra e da sinistra siano eguali. Sono dei tipici strumenti per la "grafica computerizzata".

19º esempio. Vediamone due ambiti d'uso delle spline. Il primo è la costruzione di una figura ottenuto a partire da alcuni suoi punti. Il secondo è lo studio di una particolare sezione di un bacino realizzato misurandone la profondità in alcuni punti.

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9. Conclusioni.  Abbiamo visto molti esempi, usando solo software online. Ricordiamo alcuni dei software usati e altri utilizzabili liberamente.  Molti degli script utilizzati ed altri li puoi trovare nelle pagine accessibili da QUI.  Alcuni esempi di impiego di Desmos li trovi QUI.  Per l'utilizzo di WolframAlpha vedi QUI.  Come scaricare e usare gratuitamente un programma utilizzabile per qualsiasi attività matematica, R, è spiegato QUI.

Se volete scrivere qualche messaggio potete utilizzare questa pagina.

Buon lavoro!