Quale matematica, oggi, per le scienze non matematiche?
Carlo Dapueto - DiMa
12 novembre 2012 - ore 15:30-17:30

http://macosa.dima.unige.it/unite

Questa "conferenza" non cercherà di fare un bel discorso, ma tenterà di dare (anche attraverso la presentazione di alcuni "esercizi") varie idee su cui le persone possano pensare anche successivamente. Tutto quanto verrà presentato e discusso è accessibile via rete, dall'indirizzo soprastante.
Questo è un documento Html; sono presenti dei "link" attivabili "cliccando" >>>. Vedremo dopo il ruolo delle "finestre" qui a sinistra.
Alcuni degli esempi fatti contengono anche delle parti calcolistiche; saranno presenti collegamenti, per gli interessati, a come svolgere questi "calcoli", che non saranno, comunque, necessari per seguire il discorso affrontato.

La matematica è sempre più presente, anche se in modo nascosto, nella vita di tutti i giorni. Alcuni esempi ...

ECONOMIA
    In alcune produzioni i costi totali aumentano in proporzione all'aumento del n° di pezzi prodotti (CT = CF + CI · n, dove n = "n° di pezzi prodotti nell'anno", CT = "costi totali annui", CI = "costi incorporati in un pezzo", CF = costi fissi).
    Nel caso raffigurato a sinistra CT = 30 000 + 0.05 n (potrebbero essere i costi di una piccola tipografia che stampa fogli in un unico formato con 0.05 di costi incorporati in ogni foglio stampato – per carta, inchiostro, energia elettrica, ... – e 30 mila di spese fisse annue – per un addetto alle macchine, l'affitto, …).

    Il costo unitario ha una variazione inversamente proporzionale alla variazione del n° di pezzi prodotti (CU = CF / n + CI). Nel caso dell'esempio si ha (figura a destra) CU = 30 000 / n + 0.05. (all'aumentare dei fogli stampati l'incidenza delle spese fisse sul costo di un singolo foglio tende a ridursi, e il costo unitario tende a coincidere con i soli costi incorporati per materie prime ed energia).

Tecnologia MECCANICA

La manovella è lunga 1; la biella è lunga 3. Come varia la posizione della estremità inferiore della biella in funzione dell'angolo di cui è ruotata la manovella a partire dalla posizione orizzontale, con direzione verso destra?
 
A = angolo di cui è ruotata la manovella a partire dalla posizione in direzione "est"
F(A) = corrispondente posizione della estremità inferiore della biella
F(A) = sin(A) + √8 − √(9 − cos(A)²)   (non è una sinusoide)

SPORT

Quale delle due strade che collegano i due paesi a 589 m e a 644 m conviene prendere?  Ossia, qual è il valore della forza di spinta che la bicicletta deve mediamente produrre nei due casi (so che io e bicicletta pesiamo 68 kg)? [5 kg, 3 kg]  Qual è la forza che nei due casi devo esercitare sui pedali se uso un cambio con rapporto di trasmissione 54/26 e se il rapporto tra raggio della ruota e lunghezza dei pedali è 2? [19 kg, 11 kg]

[>>>]

La LUNA ...
È notte. In cielo si vede illuminato uno spicchio di Luna. Perché non si vede illuminata l'intera Luna?
(A) La parte al buio è all'ombra della Terra  (B) La parte al buio è all'ombra della Luna stessa
(C) Il Sole è allineato tra Luna e Terra  (D) La Luna è allineata tra Sole e Terra
(E) La Terra è allineata tra Sole e Luna  >>>

Gli AEREI ...
Parto da Genova con un aereo dotato di una grande autonomia di volo e mantengo la direzione ovest. Supponendo di non aver problemi di carburante e di riuscire a raggiungere la longitudine opposta, a quale latitudine mi vengo a trovare? 
(A) alla stessa di Genova     (B) più a nord     (C) più a sud           >>>
(D) dipende dalla velocità a cui ho volato     (E) dipende dalla quota a cui ho volato

Le AUTO ...
So che la distanza tra due località è 27 km e che Luigi ha impiegato, in auto, 20 min per percorrerla. Qual è la velocità media con cui ha viaggiato Luigi?   27/20·60 = 81 km/h o …

26.5 km ≤ distanza ≤ 27.5 km             20 min ≤ tempo ≤ 21 min
26.5/21·60 km/h ≤ velocità ≤ 27.5/20·60 km/h     75.7142… km/h ≤ velocità ≤ 82.5 km/h
o, per abbreviare:   75 km/h ≤ velocità ≤ 83 km/h

La matematica è presente, diffusamente, non solo nella vita di tutti i giorni, ma in quasi tutti gli ambiti (e le "materie scolastiche"). Esempi ...

BIOLOGIA 1
In ambienti caratterizzati da clima freddo gli animali omeotermi assumono una forma corporea approssimabile a quella sferica perché: 
  (A) è la forma che permette una migliore copertura del mantello peloso
(B) è la forma più facilmente mimetizzabile
(C) è la forma per cui, a parità di volume, è minima la superficie di contatto con l'esterno
(D) è la forma meglio adattabile ai ripari offerti dall'ambiente
(E) è la conseguenza di un generalizzato aumento del pannicolo adiposo sottocutaneo
>>>

BIOLOGIA 2
In un film di fantascienza si vedono formiche della stessa forma delle formiche usuali ma grandi come elefanti. Secondo te, formiche di questo tipo sarebbero in grado di muoversi? Perché?

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BIOLOGIA 3
La figura a destra illustra la forza che il muscolo deltoide esercita sull'omero. Da studi con i raggi X si è trovato che quando il braccio è orizzontale questa forza è inclinata di circa 15° rispetto all'omero. Supponendo che l'intensità di questa forza sia di 300 N (31 kg), determinane la componente diretta come l'omero (che ha la funzione di sostenere il braccio) e quella diretta perpendicolarmente ad esso (che ha la funzione di bloccare l'articolazione tirando l'omero verso la scapola).   [290 N, 78 N]

[>>>]

   

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE (leggere e "correggere")
La figura a lato rappresenta il consumo di latte annuo di due diversi paesi. Qual è, all'incirca, la percentuale del consumo di latte del primo paese (quello che consuma meno) rispetto al consumo del secondo paese?
  
  A)  6%   B)  12%   C)  25%   D)  33%   E)  50%
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STORIA
È solo nel IX secolo che sorgono le prime forme di istruzione superiore paragonabili alla nostra università (in precedenza, ad es. in Grecia, le forme di istruzione superiore erano private e legate a qualche personaggio: la scuola di Socrate, di Platone, …); a quel periodo risalgono anche varie tradizioni accademiche, tuttora presenti soprattutto negli Stati Uniti (tocco, toga, …), e la formazione delle prime società scientifiche. A quale stato attuale corrisponde la regione della Terra in cui sorsero queste prime forme di università?
A) Italia     B) Cina     C) Egitto     D) Iraq     E) Francia

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LINGUA
Questo collegamento permette di accedere a un brano che pubblicizza l'area del Porto Antico di Genova, sia in italiano che in inglese. Successivamente sono riprodotti gli istogrammi della distribuzione della lunghezza delle parole delle due versioni e i corrispondenti box-plot.

 1 | 0
 2 | 000000
 3 | 000000000
 4 | 00
 5 | 0000000
 6 | 00000000
 7 | 0000
 8 | 000
 9 | 00
10 | 0
11 | 0
12 | 000
 1 | 0
 2 | 0000000
 3 | 000000000000000
 4 | 00000000000
 5 | 00000
 6 | 000000
 7 | 00
 8 | 000
 9 | 00
10 |
11 | 0

Come vedremo, è sempre meno importante la abilità di calcolo (del resto i "matematici" sono spesso distratti e non veloci nel fare calcoli meccanici). Espressioni a più piani, come quelle che qualche insegnante fa sviluppare a scuola (velocemente, senza ragionare, ...), non si incontrano mai. È invece importante ragionare, con calma, senza cercare ricette, ..., anche nelle applicazioni della matematica.

Leggere/rappresentare GRAFICAMENTE informazioni
Gli stessi dati (disoccupati in anni diversi) rappresentati graficamente in modi diversi: con quale "consapevolezza" leggiamo i grafici che ci vengono proposti? Quale educazione a questa lettura ci ha fornito la scuola?

INTUIZIONE fuorviante 1
Un certo test sanitario per valutare la presenza (esito positivo) o assenza (esito negativo) della malattia X ha attendibilità del 95% (in caso di presenza c'è il 95% di probabilità che l'esito sia positivo , in caso di assenza il 95% di probabilità che sia negativo). Si sa da statistiche serie che l'1% della popolazione è affetta dalla malattia X. Se per una persona il test dà esito positivo, qual è la probabilità che essa sia realmente malata?  È molto lontano dal 95% (è il 16%).

INTUIZIONE fuorviante 2
Sul The Times di Londra, nel 2004, viene riferito che lo skipper islandese E.O., un anno dopo aver urtato col suo peschereccio lo yacht dell'inglese J.H. provocando un danno di 30 mila dollari, lo ha riurtato, causando danni per 40 mila dollari: avvistato lo yacht si era diretto verso di esso per scusarsi della collisione precedente …. Ciò contraddice il fatto che la probabilità che si ripeta due volte un evento abbastanza raro come questo dovrebbe essere molto bassa?

Se A è l'evento che E.O. nell'arco della sua vita urti lo yacht di J.H, e se, ad es. Pr(A) = 0.1% = 0.001 (1 su mille), la probabilità che questo evento si ripeta non è 0.1%·0.1% = 0.0001% (1 su 1 milione). Lo sarebbe solo nell'ipotesi in cui l'evento che ci sia un urto fosse indipendente dal fatto che ci sia già stato un urto tra le due barche. Nel nostro caso ciò non accade: E.O. si dirige verso J.H. proprio perché lo aveva già urtato.

La strana idea che tutto sia GAUSSIANO
Un po' di cubetti (46) hanno lati di lunghezza (da 1 cm a 12 cm) che si distribuisce come è rappresentato a fianco (approssimativamente in modo gaussiano). Come saranno distribuiti i volumi?
Consideriamo una popolazione di pesci che stanno in un lago. Se le loro lunghezze sono distribuite in modo gaussiano, sono distribuiti in modo gaussiano anche i loro pesi?

>>>

   

I NUMERI ...
Il censimento del 1970 ha valutato in 627 776 la popolazione di Boston. Ma si sa che questo dato può essere affetto da un errore del 2%. Come dovrebbe essere indicata la popolazione di Boston di quell'anno con un adeguato numero di cifre significative?

Possiamo calcolare gli estremi dell'intervallo in cui potrebbe cadere il numero esatto della popolazione con:  627776·98/100 = 615220.48,  627776·102/100 = 640331.52.
Per esprimere sinteticamente la popolazione di Boston potremmo dire che è di 6.3 centinaia di migliaia con la precisione di una decina di migliaia, o "circa 630 mila", esprimendo così una buona approssimazione del valore esatto.
Per una descrizione più precisa potremmo dire che è 628±13 mila, ma in un giornale o alla televisione la descrizione precedente sarebbe più adatta.
Non avrebbe, invece, alcun senso dire che la popolazione era di circa 627776 abitanti (alla televisione, probabilmente, direbbero che questa era la popolazione, e senza il "circa"!).

La POLIZIA ...
In una città ci sono due compagnie di taxi, una con le auto color verde, l'altra con le auto color blu; la prima ha 85 taxi, l'altra 15. Un taxi, di notte, investe una persona, senza fermarsi. Un passante visto l'incidente sostiene che il taxi era blu. La polizia lo sottopone ad un test in condizione simili di luce e, dopo svariate prove, conclude che nell'80% dei casi egli identifica correttamente il colore. La polizia conclude che molto probabilmente il taxi era blu. È corretto?

             S 80/100
  B 15/100  ---------- 12
 ----------+
|           ---------- 30
|            N 20/100
+
|            S 80/100
| V 85/100  ---------- 68
 ----------+
            ---------- 17  
             N 20/100
   Su 100 casi quelli di un'auto blu che viene riconosciuta come blu sono 12.
Quelli di un'auto che viene riconosciuta come blu sono i 12 precedenti più i 17 scelti per sbaglio.
Quindi in tutto vengono identificati come blu 29 taxi, mentre ne sono blu solo 12.
In definitiva, la probabilità che il taxi fosse effettivamente blu è 12/29 = 41%, minore del 50%!


Ma la matematica non basta ...

Esistono i dadi EQUI?
Un dado da gioco viene costruito con del cartoncino secondo il modello raffigurato a lato. Quale, fra le seguenti, è la probabilità con cui esce uno?

  
   16.7%30.5%9.3 %


 

Una correlazione statistica è indice di una relazione di causa-effetto?
In un ospedale vengono rilevati i seguenti dati, relativi alla frequenza cardiaca a riposo di 10 individui e i loro anni complessivi di istruzione.
 soggetto   1    2   3   4   5    6   7   8   9   10 
Anni di istruzione121613181912 18191214
 Battiti al minuto 73677463 738460627671

    I dati, rappresentati graficamente, sono approssimati "al meglio" dalla retta:
 battiti = -1.862·anni + 98.79

Risulta esserci una forte associazione tra una lunga scolarizzazione e una bassa frequenza cardiaca, ma questo non indica una relazione di causa-effetto!

C'è solo un legame di entrambe le variabili con uno o più fattori impliciti (potrebbero essere l'informazione sui regimi alimentari che tendenzialmente cresce all'aumentare dell'istruzione, il tempo o la voglia di svolgere adeguata attività fisica che tendenzialmente cresce quando si svolge un lavoro che lascia più tempo ed energie per essa, il fatto che un miglior reddito consente di acquistare alimenti migliori, ...)

"Quale matematica, oggi, per le scienze non matematiche?"  è il titolo di questo incontro.
In realtà è un "oggi" abbastanza datato: sono tutti esempi di applicazioni "vecchie", ma che l'insegnamento scolastico della matematica non prende in considerazione.
E sono esempi che susciterebbero l'interesse dei ragazzi, specie di quelli intellettualmente più vivaci e curiosi (ma non necessariamente "scolasticamente" più bravi).

Siamo ormai da decenni circondati dai computer.
I ragazzi li usano quotidianamente.
Essi consentono di svolgere facilmente calcoli meccanici e di realizzare velocemente rappresentazioni grafiche, liberando la mente umana per attività concettualmente più significative. Cambia il modo di usare e di fare "matematica". Ma la scuola ...
E cresce la separazione tra i ragazzi e la scuola!

Due esempi per dare un'idea di ciò. Facciamo riferimento ai software gratuiti più diffusi, e che potrete liberamente usare:
R, il programma standard a livello mondiale per le elaborazioni statistiche, e
WolframAlpha, una vera è propria enciclopedia scientifica, di cui esiste una versione di base del tutto gratuita.

Con R, che si può scaricare seguendo le indicazioni presenti qui, basta copiare da qui e incollare le due righe seguenti per ottenere gli output successivi:

dati <- c(177,176,172,168,180,175,182,166,179,176,181,174,173,183,181)
hist(dati,col="yellow"); abline(v=mean(dati),col="red"); mean(dati)
# 176.2

Ovvero le cinque righe seguenti per ottenere gli output successivi (le "spline" sono curve "lisce" che passano per i punti assegnati): :

x <- c(30,140,200,230,290,350)
y <- c(13, 10,  6,  5,  6, 15)
plot(x,y); lines(x,y, lty=2, col="red")
lines(spline(x,y,n=1000),col="brown")
abline(v=axTicks(1), h=axTicks(2), col="blue",lty=3)

Con WolframAlpha, a cui si può accedere online da  qui  (e per cui  qui  puoi trovare molti esempi d'uso, relativi alla matematica, alle scienze, alla geografia, ...)  puoi mettere ad esempio la riga di comandi
solve (x+7)/(x-1) = a*x for x
per ottenere:

Per altri esempi vedi, ad esempio:
pear
chemistry
Moon, Genoa

Se siete interessati, accedete ad altri materiali e collegamenti cliccando le icone in alto a sinistra, come spiegato qui a fianco.

Buon "lavoro"!