Definizioni e dimostrazioni
Carlo Dapueto - DiMa
18 dicembre 2014 - ore 15:30-17:30

http://macosa.dima.unige.it/unite

In questa "conferenza" cercheremo di mettere a fuoco alcune idee su che cosa sono le definizioni e le dimostrazioni matematicheTutto quanto verrà presentato e discusso è accessibile via rete, dall'indirizzo soprastante.
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INTRODUZIONE ...

Che cos'è un modello,  che cos'è una disciplina,  che cos'è un modello matematico  >>>  (questo link viene aperto in una nuova finestra: dopo aver esaminato il documento, chiudilo)

Che cosa sono in matematica le DEFINIZIONI e le DIMOSTRAZIONI?

Quanto visto ci porta al problema di che cosa vuol dire definire e dimostrare in matematica …  >>>

Un esempio (tipico) di non DEFINIZIONE

Che cos'è la probabilità?  Vediamo, prima, alcuni esempi comuni:

Un caso in cui le uscite possono assumere un insieme finito di valori ma non sono equiprobabili >>>
Un caso in cui le uscite possono assumere un insieme numerabile ma infinito di valori >>>
Un caso in cui le uscite possono assumere un intervallo di valori >>>
Un caso in cui si danno diverse valutazioni probabilistiche dello stesso fenomeno >>>

Ed ecco le cose buffe che si trovano nei dizionari e, purtroppo, in molti libri di testo >>>

Ecco, infine, come potremmo definire il concetto di probabilità >>>

Un esempio (tipico) di non DIMOSTRAZIONE

Le dimostrazioni a scuola spesso le abbiamo percepite come qualcosa da apprendere a memoria e da ripetere, senza porsi il problema di capirne il significato.  Vediamo un esempio purtroppo non raro di (pseudo)dimostrazione riferita alla geometria presente in molti manuali scolastici >>>

Quando si diffonde l'ESIGENZA di DEFINIRE e DIMOSTRARE

Si possono fare molti esempi di "conoscenze scientifiche" che si sono formate per caso o per combinazioni felici di intuizioni e osservazioni, o che sono il frutto di un accumulo di esperienze e di modi di interpretare la realtà, e che si trasmettono attraverso l'imitazione di chi "sa" e "fa". Anche oggi (in vari campi tecnici, sociali, ...) è rilevante il ruolo delle conoscenze ottenute e trasmesse al di fuori del contesto della ricerca.
Nella storia dell'umanità la scoperta e la trasmissione delle conoscenze matematiche è avvenuta anche con caratteristiche simili a queste (si pensi all'enorme bagaglio di conoscenze geometriche e aritmetiche già sviluppatosi prima di Euclide).
Del resto molte proprietà matematiche sono state "stabilite" sulla base di congetture e "verifiche" di tipo fisico:  dal ruolo delle considerazioni meccaniche nella messa a punto del metodo di esaustione (che consiste nel determinare l'area di una figura approssimandola man mano meglio con una successione di poligoni che hanno i vertici sul suo contorno) da parte di Archimede (se sei interessato >>>)  all'impiego di lamine metalliche, cesoie e bilancia a cui Galileo ricorse per dimostrare che l'area sottesa a un arco di cicloide ordinaria (>>>) è il triplo dell'area del cerchio rotolante,  dai teoremi di teoria delle funzioni scoperti da Riemann con esperimenti elettrici su lamine metalliche  ai problemi di minimo studiati da Plateau utilizzando lamine saponate, ...), …
E i personaggi che hanno fatto la storia della matematica fino alla metà dell'Ottocento non erano dei "matematici", ma erano degli scienziati o degli "uomini di cultura" che si occupavano di matematica, fisica, filosofia, arte, … (e che a scuola vengono studiati - inconsapevolmente, sia per gli studenti che per i docenti - anche come protagonisti della storia di altre discipline, spesso senza rendersi conto che si tratta della stessa persona). Ma da allora le cose sono cambiate.

Oggi, la matematica, come le altre discipline, si sviluppa attraverso la messa a punto di modelli, lo studio dei collegamenti che esistono tra modelli diversi, la definizione di una nomenclatura e una simbologia specifica, ... . Ma, a differenza di esse, non si occupa di una specifica area di fenomeni: i suoi modelli vengono applicati alle situazioni più diverse, spesso i modelli delle altre discipline sono ottenuti come arricchimento di modelli matematici, ... . E i modelli matematici possono avere questa caratteristica di essere potenzialmente d'uso generale in quanto vengono definiti autonomamente, senza ricorrere a concetti e termini specifici di altre discipline.

Questa è, grosso modo, la natura delle discipline così come si è gradualmente configurata negli ultimi due secoli, in connessione con le trasformazioni economiche e sociali che hanno profondamente modificato i rapporti tra sapere, tecnica, produzione e organizzazione sociale:  la metafisica, pur tra contrasti, sotto la spinta delle tensioni conoscitive e delle esigenze concrete e precise della rivoluzione economica, viene soppiantata dalla scienza (chimica, biologia, nuovi rami della fisica, ... );  l'economia diventa oggetto di teorie organiche;  si diffonde l'uso della statistica e della probabilità come strumenti per rappresentare e analizzare i cambiamenti demografici, l'organizzazione della produzione, le potenzialità di un investimento, ...;  la matematica da linguaggio per argomentare rigorosamente sulle verità del mondo fisico, per descrivere fedelmente la meccanica o l'economia elementare,... diventa una scienza autonoma, senza limiti predefiniti di sviluppo e di applicabilità.
E si specializzano le figure degli intellettuali, nascono le riviste di settore, si organizzano le associazioni di categoria, in parallelo si modella la scuola "moderna", organizzata in materie, con insegnanti appositamente formati, ... .

ESEMPI di DEFINIZIONI

Le definizioni, in matematica, possono essere l'esplicitazione di singoli oggetti, come √2 o il fattoriale n!,  o l'introduzione di concetti definiti mediante regole (assiomi), come il concetto di probabilità o quello di distanza (che cattura sia la distanza euclidea che quella urbanistica >>>).
Quando si definisce una classe di altri oggetti occorre precisare anche le relazioni che in essa governano il loro uso (ad esempio nel caso dei numeri reali occorrerà definire che cosa si intende quando si dice che due numeri sono eguali: : 1.999… e 2.000… sono diverse come espressioni ma eguali come numeri).
C'è, più in generale, il problema dei conflitti col linguaggio comune:  >>>.

Non abbiamo il tempo di approfondire ulteriormente il problema delle definizioni.  Gli esempi discussi ci dovrebbero comunque dare un'idea della sua importanza, e di come a scuola esso sia spesso trascurato.  Ci soffermiamo sulle dimostrazioni.

ESEMPI di DIMOSTRAZIONI

Discutiamo di questo tema facendo riferimento alle nostre esperienze scolastiche.  Vediamo qualche esempio che metta in luce come le dimostrazioni non debbano essere pensate tanto come uno strumento per l'insegnamento quanto come un obiettivo di esso. Vediamo quindi qualche flash, legato a temi di inizio superiori.

Il primo esempio è riferito alle uniche dimostrazioni che si possono esaminare "quasi" in dettaglio. Sono le uniche che vengono considerate approfonditamente anche all'università, nei corsi di logica matematica: quelle relative ai numeri. Ne vediamo un esempio, in realtà, un po' più complesso, anche se analizzato più superficialmente: la risoluzione di una equazione di 1º grado >>>.  Per inciso, osserviamo che sarebbe da curare il modo in cui gli alunni risolvono le equazioni, specie nei primi anni, proprio per abituarli all'idea di giustificare i passaggi: non basta trovare la soluzione, occorre motivare come la si è ottenuta, e in modo comprensibile.

I successivi esempi sono riferiti alla geometria.

Uno è relativo alla determinazione dell'area del triangolo, svolta usando concetti che poi saranno sviluppati affrontando le tematiche dell'analisi matematica, e che serviranno indipendentemente dalla dimostrazione stessa. Eccolo >>>.  La dimostrazione è svolta in maniera dinamica, non riferendosi ad una figura particolare (cosa in questo caso non facile con una dimostrazione statica, che deve essere articolata in casi vari).

L'altro esempio, relativo alla somma degli angoli di un triangolo, come il precedente, è "dinamico" e mette in luce le differenze tra il congetturare e il dimostrare (ed evidenzia le ipotesi che si stanno facendo). Eccolo >>>.

Uso e ruolo del COMPUTER

Abbiamo appena discusso delle differenze tra congettura e dimostrazione. Vediamo come il computer possa avere un grande ruolo per entrambi gli aspetti.

Consideriamo prima un esempio di simulazione >>>.
Questo è una simulazione che suggerisce una proprietà, che poi, in questo caso, si può dimostrare teoricamente.  Vi sono altre situazioni in cui col computer (usando opportuni teoremi di calcolo delle probabilità) si può dimostrare che certe relazioni valgono in maniere approssimata, a meno di un fissata precisione.

Il computer, verso il 1975, ha fatto un ingresso pesante anche nelle attività dimostrative "esatte" (ingresso che ha suscitato inizialmente molte polemiche, del tutto fuori luogo, anche da parte di persone "famose", come Davis, Hersh, Morris Kline, Lakatos, Kalmar). È avvenuto attraverso la dimostrazione del teorema dei 4 colori >>>.

Concludendo ...

Nei precedenti incontri (>>>) abbiamo visto vari usi di WolframAlpha.  Anche per il tema affrontato in questo incontro possiamo trovarvi approfondimenti.  Volendo cliccate  >>>  e  >>> (altro potete trovarlo qui >>>).

Se siete interessati a qualche approfondimento che lega le tematiche dei fondamenti della matematica a quelle del suo insegnamento, potete vedere questo vecchio articolo  >>>.

Potete accedere ad altri approfondimenti in questo modo:
nella finestra a sinistra in alto cliccate l'icona  ,  selezionate la lettera A, la voce assioma e, poi, assiomi e loro modelli.

Buon "lavoro"!