Con un goniometro posso leggere la
direzione del vettore OP.  Nel caso a
sinistra è tra 26° e 27°.
Se rappresento il goniometro con cerchio
di raggio 1 posso esprimere la direzione
come la lunghezza α dell'arco AP:

 
Nel caso raffigurato α = 0.463…   Nel caso la direzione di OP
fosse 90° potremmo esprimerla col numero α = π = 3.14159…
La x di P viene chiamata coseno di α, la y è chiamata seno di α.
Calcolo della lunghezza di un arco del semicerchio di raggio 1 e centro O
x²+y² =1, y≥0.  Sia A l'estremità destra del semicerchio.  Si sceglie x tra −1 e 1.
Sia P il punto del semicerchio di ascissa x. Il programma calcola la lunghezza
L dell'unione di segmenti che approssima l'arco AP con numero di lati n via
via raddoppiato.  La figura illustra il caso x = −8.  Ecco alcune delle uscite:

x =   
x=-0.8	 L= 2.4980915447914733	  n=16777216
x=-0.8	 L= 2.498091544782018	  n=8388608 
x=-0.8	 L= 2.4980915447549426	  n=4194304 
x=-0.8	 L= 2.4980915446794745	  n=2097152 
  ...              ...             ...     
x=-0.8	 L= 2.498087671550644	  n=2048    
x=-0.8	 L= 2.498080539032036	  n=1024    
x=-0.8	 L= 2.4980602130236353	  n=512     
x=-0.8	 L= 2.498002111315031	  n=256     
x=-0.8	 L= 2.4978353176491686	  n=128     
x=-0.8	 L= 2.4973536528292777	  n=64      
x=-0.8	 L= 2.495951313079686	  n=32      
x=-0.8	 L= 2.491823296986896	  n=16      
x=-0.8	 L= 2.479497518211525	  n=8       
x=-0.8	 L= 2.4420250892037814	  n=4       
x=-0.8	 L= 2.3245014457349744	  n=2       
x=-0.8	 L= 1.8973665961010275	  n=1

Se mi fermo qui, posso concludere che L tende a valere 2.4980915448 (valore arrotondato).
Nel corso degli studi si impara che la lunghezza dell'arco può essere calcolata con la funzione "arcocoseno":
acos(-0.8) = 2.4980915447965 (valore arrotondato).