L'interesse bancario

È un fenomeno ad andamento esponenziale anche la crescita di un deposito in una banca. Per visualizzare graficamente meglio l'anadmento supponiamo che la banca applichi un interesse del 50% annuo (nella realtà le banche applicano tassi estremamente più piccoli). Supponiamo che il "capitale" iniziale sia di 100 € e che non vengano nel frattempo fatti altri versamenti. Se esprimiamo il tempo t in anni, il capitale in euro C(t) evolve nel tempo nel seguente modo:
  C(0) = 100,
  C(1) = C(0) · (1 + 50/100) = 100 · (1 + 50/100) = 100 · 1.5,
  C(2) = C(1) · (1.5) = 100 · 1.5 · 1.5 = 100 · 1.5², ...
  C(t) = 100 · 1.5^t

    Se ritiro il capitale dopo 4 anni, il suo valore è diventato 100·1.5⁴ = 100·5.0625 = 506.25 €. Se, però si ritira dopo un tempo t non intero, ad es. 5.5 anni, il calcolo del valore non viene fatto usando la formula (calcolando 100·1.5^5.5), ma si calcolano i valori del deposito dopo 5 e 6 anni con 100·1.5⁵ e 100·1.5⁶ e si calcolano quelli intermedi facendo variare il deposito proporzionalmente al tempo.
    In altre parole, invece del grafico di t → 100 · 1.5^t (come quello punteggiato sotto a destra) si considera quello che si ottiene da esso congiungendo i punti ad ascissa intera con dei segmenti:

    Facendo i conti: 100·1.5⁵ = 759.38, 100·1.5⁶ = 1139.06; dopo 5 anni e mezzo: 759.38 + (1139.06-759.38)/2 = 949.22. Mediante l'uso diretto della formula invece si sarebbe ottenuto:  100·1.5^5.5 = 930.04.

    Questo è dunque un caso in cui l'andamento è "esponenziale" restringendo il dominio a input t interi, ed è "lineare" in ciascun intervallo tra un input intero e il successivo.

Esercizio 1.  Investo un capitale di 18 000 € col tasso di interesse annuo del 4%.
Scrivi una formula che esprima a quanto ammonta il capitale C dopo t anni.
Calcola a quanto ammonta il mio capitale dopo 3 anni e 3 mesi.

Esercizio 2.  Investo un capitale di 18 mila euro.
Quale dovrebbe essere il tasso di interesse annuo affinché il mio capitale dopo 10 anni sia di 30 mila euro?

Esercizio 3.  Investo un capitale con l'interesse annuo del 3.5%.
Quale era il mio capitale iniziale se dopo 10 anni esso ammonta a 123 mila euro?