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La matematica dei cambiamenti - Scheda 1
La Matematica è una strana disciplina. Per certi aspetti non si occupa di niente:
non è come la Fisica, che studia fenomeni naturali come moti e deformazioni dei corpi, onde sonore, onde elettromagnetiche, …, o la Biologia, che studia
gli organismi viventi, o la Storia, che studia le cause dei principali avvenimenti che segnano
l'evoluzione delle civiltà umane.
Per altri versi si occupa di tutto:
le leggi fisiche sono descritte con formule matematiche,
lo studio dell'ereditarietà genetica usa il calcolo delle probabilità,
per rappresentare come cresce la popolazione umana o come cambiano le condizioni di
vita nel corso degli anni si usano grafici, istogrammi, ….
In effetti la matematica non si occupa di una particolare area di fenomeni, ma inventa
e perfeziona nuovi concetti che possono essere usati per studiare
aspetti comuni ai contesti più disparati: concetti geometrici
per studiare le relazioni spaziali (forme, distanze, …), concetti algebrici per
descrivere e studiare le relazioni quantitative, concetti probabilistici per
interpretare o fare previsioni riferite a
fenomeni che evolvono in modo casuale, …
Nel "percorso" che stiamo intraprendendo, di cui questa scheda è la prima tappa, cercheremo di dare un'idea di quei concetti che la matematica ha inventato per descrivere e studiare come cambiano
le quantità (la temperatura di un oggetto o il valore di un certo bene al passare del tempo,
la durata del dì o l'altezza del sole al cambiare della latitudine,
il consumo di benzina al variare della velocità, …).
1. La pendenza fisica e quella dei grafici
Se vado in bicicletta e non uso il cambio la forza che devo esercitare sui pedali cresce al crescere della pendenza della strada. Ma, precisamente, che cos'è la pendenza di una strada?
[1] La figura seguente illustra una strada con pendenza dell'8%. Prova a definire, con parole tue, di che cosa si tratta. Confrontate le vostre proposte e condividete quella che vi sembra la migliore.
Lo stesso termine, "pendenza", viene usato per indicare l'andamento di un grafico. Un esempio:
Si tratta del grafico che rappresenta la relazione tra la espressione di una temperatura nella scala Celsius (in uso in Europa) e quella nella scala Fahrenheit, in uso negli USA.
[2] (a) In USA come esprimerei
la temperatura che ha l'acqua quando vi butto la pasta? ___
(b) Ricava dal grafico, approssimativamente, come esprimeresti in Europa una temperatura di 100°F. ___
(c) Uno sbalzo di 10°C come lo esprimerei in USA? e uno di 40°? ___
(d) Quale diresti che è la pendenza di questo grafico? ___
(e) Provate a definire che cos'è la pendenza di un grafico rettilineo.
[3]
Indichiamo con la variabile f la temperatura espressa in °F e con c quella espressa
in °C.
A c = 0 abbiamo visto che corrisponde f = 32; e, infatti, il punto (0,32) sta sul nostro grafico.
Sappiamo che se c varia di 100 allora f varia di 180 e che, quindi, se c varia di 1 allora f varia di 1.8; e, infatti, questa è la pendenza del nostro grafico.
Tenendo conto di queste osservazioni, prova a esprimere con una formula f in funzione di c, ossia a descrivere come, dato c, calcolare f.
| f = |
Le funzioni che, come quella appena vista, hanno grafico con pendenza
costante rappresentano situazioni in cui ad ogni variazione della grandezza "di input" (la
temperatura in °C) corrisponde una variazione proporzionale della grandezza
"di output" (la temperatura in °F). Nel nostro caso il fattore di proporzionalità
tra le due variazioni è 1.8. Se indico con x i valori di input e con y quelli di output, e se indico con Δx una variazione di x e con Δy la corrispondente variazione di y, posso dire che 1.8 è il rapporto tra Δy e Δx.
Questo fattore non è altro che la pendenza del grafico. Si noti che
la "pendenza fisica" con cui appare il grafico può differire dalla
"pendenza matematica": se cambio la scala su uno degli assi l'aspetto fisico del
grafico muta ma il rapporto tra la variazione degli output e quella
dei corrispondenti input non cambia.
Consideriamo le due seguenti funzioni, la prima che a L associa l'area A di un quadrato di lato L, la seconda che ad A associa il lato di un quadrato che abbia come area A, e i loro grafici:
[4] Come descrivereste, in questi due casi, la relazione tra la variazione degli input e quella degli output? La pendenza dei due grafici è costante o varia, ed eventualmente come?
2. Pendenza e velocità
Le tabelle seguenti, tratte dal sito Internet delle ferrovie italiane,
si riferiscono a due treni da La Spezia a Genova. I grafici successivi alle ore in cui
ciascun treno, se in orario, arriva e parte da ogni stazione in cui si ferma associano i km
percorsi a partire da La Spezia (la stazione di Genova Brignole dista 89 km da quella di La Spezia).
I segmenti con cui si sono congiunti i punti
corrispondenti ad una partenza e un successivo arrivo facilitano la lettura del grafico, ma non rappresentano
esattamente il moto del treno. Ad es. il grafico del treno delle 16:40 taglia la retta orizzontale
che indica il 30° chilometro in corrispondenza delle 17:06, ma non è detto che quella
sia l'ora in cui il treno passa per il 30° chilometro.
[5] (a) Quali sono le velocità medie dei due treni
lungo l'intero percorso? ___
(b) A quale distanza da La Spezia si trova Chiavari? ___
(c) A quale velocità viaggiano i treni negli intervalli di tempo a cui corrispondono
tratti orizzontali? ___
(d) Quali sono i tratti che i due treni percorrono con velocità media massima? Come li hai individuati?
Qui sotto sono raffigurati tre diversi recipienti. Supponiamo di riempire ciascuno di essi con acqua che esce da un rubinetto a velocità costante.
[6] (a) Pensando ad esperienze simili (riempire d'acqua una caraffa cilindrica o un lavandino col fondo più stretto del bordo o una bottiglia col collo più stretto del fondo)
cerca di immaginare cosa accade e stabilisci se la velocità con cui varia il livello
dell'acqua nei tre casi è costante o cambia nel corso del tempo.
(b) Prova a schizzare i grafici del livello dell'acqua
al passare del tempo nei tre casi e a descriverne a parole gli andamenti.
(c) Confrontate le vostre descrizioni e condividete quella che vi sembra la migliore.
[7] (per casa) Cercate di farvi un'idea di come si potrebbe ricavare una formula che esprima il livello dell'acqua al passare del tempo nei tre casi, supponendo che entrino 10 cm3 d'acqua al secondo e che i tre recipienti abbiano 10 cm di raggio, che B abbia altezza di 30 cm e che C abbia la stessa forma di B.