La formula che esprime f in funzione di c è f = 32 + 1.8 c in quanto sarebbe
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La matematica dei cambiamenti - Scheda 2
1. Riepilogo
Abbiamo ricordato che la pendenza di una salita è il rapporto tra il dislivello
che viene superato e il corrispondente avanzamento "orizzontale". Abbiamo visto che nel caso di un grafico
rettilineo si chiama pendenza il rapporto tra le variazioni dell'ordinata e le variazioni dell'ascissa,
ovvero, se F è il nome della funzione che ha tale grafico, il rapporto tra quanto varia
| Se indico con x e con y, rispettivamente, gli input e gli output di F, posso scrivere: |
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Ad esempio nel caso del grafico che rappresenta la temperatura f in La formula che esprime f in funzione di c è f = 32 + 1.8 c in quanto sarebbe |
| Nel caso rappresentato a fianco la funzione F ha grafico
che passa per (3,5) e ha pendenza In questo caso, come in tutti i casi in cui all'aumentare dell'ascissa l'ordinata diminuisce, la pendenza è negativa. Nel caso di A = L2, se immaginiamo il grafico in rilievo così da potervi appoggiare un righello (vedi figura sotto a sinistra), il modo in cui cambia la pendenza del righello man mano che cambio il punto in cui lo appoggio al grafico mi dà l'idea di come cambia la pendenza del grafico stesso. |
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La pendenza in corrispondenza di L=0 è 0 (il righello è orizzontale, e le rette orizzontali
hanno pendenza nulla), poi, man mano che mi sposto su punti del grafico corrispondenti a valori di L maggiori
la pendenza aumenta. Invece nel caso di
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Sotto è riprodotto il profilo di un percorso sulle "montagne russe". All'inizio la vettura sale lungo un tratto inclinato di 45°, ossia con pendenza del 100% (il rapporto tra innalzamento e avanzamento orizzontale è 1, ossia 100 su 100). Poi la salita si addolcisce fino a che incomincia una discesa …: Prova a completare, a destra, lo schizzo del grafico dei valori che man mano assume la pendenza delle montagne russe. |
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| A destra è riprodotto, rimpicciolito, il grafico della posizione in funzione del tempo del treno più veloce tra i due considerati nella scheda 1. È evidenziato il tratto orizzontale in cui il treno sosta (ossia ha velocità nulla) nella stazione di Genova Brignole e quello in cui ha velocità media massima, pari a: |  | |||||||
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Di fronte ai tre recipienti ci siamo resi conto che nel recipiente A il livello h sale con velocità costante, mentre nel caso B la velocità, all'inizio molto alta (basta poca acqua per far salire il livello quando il fondo è stretto), scende al passar del tempo t. Invece, nel caso C, la situazione è rovesciata: la velocità aumenta in quanto man mano si restringe il recipiente. Da queste idee su come varia la velocità abbiamo dedotto come, grosso modo, deve essere il grafico di h in funzione di t: rettilineo nel caso A, con la concavità verso il basso nel caso B, verso l'alto nel caso C:
2. Come calcolare la pendenza se si conosce la formula del grafico?
Ecco, qua sotto, le formule che rappresentano i grafici appena considerati:
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| Ecco una spiegazione di come possono essere ottenute (non è comunque essenziale per seguire il filo del nostro discorso): | ||
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A) La prima è facile da ricavare:
il livello cresce a velocià costante; il recipiente cilindrico
ha volume (in cm³) |
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| B) Per il secondo caso si veda la figura a sinistra. Il volume V che corrisponde
all'altezza h è quello di un cono che ha come raggio h/3, ossia
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| C) Per il terzo caso si procede in modo simile, tenendo conto che ora il volume del liquido entrato si trova per sottrazione di un cono alto 30-h dal volume del recipiente (vedi figura a destra); il grafico è, in pratica, quello del caso B ruotato di mezzo giro. | ||
Al di là di come come si ricavano queste formule, è utile rendersi conto che esistono situazioni pratiche in cui si impiegano formule per descrivere il livello di un fluido o la temperatura di un ambiente o la quantità prodotta di un certo materiale o … e in cui può essere utile disporre anche di formule che ci consentano di valutare la velocià con cui variano queste grandezze (ad esempio per regolare automaticamente il funzionamento di un macchinario o di un altro dispositivo). In altre parole, spesso è utile conoscere non solo la formula che rappresenta il grafico dei valori che una certa grandezza assume al passare del tempo, ma saper ricavare da tale formula anche quella del grafico della pendenza. Studiando la Fisica si incontrano molte situazioni in cui si ha il problema di associare ad una formula che descrive la posizione di un oggetto all'istante t quella che ne rappresenta la velocità.
Saper realizzare queste associazioni è comodo anche per affrontare altri tipi di problemi. Un esempio.
Devo realizzare una scatola tagliando da una lamiera quadrata di lato 20 [cm] quattro quadratini di lato x e operando successive piegature e saldature: vedi figura sotto a sinistra. Come devo effettuare il taglio per ottenere il volume massimo?
Il volume [in cm3] della scatola è V = (20–2x)2x. Dal grafico riesco a individuare (con eventuali zoom se lo traccio con l'ausilio del computer) la soluzione approssimata x = 3.3 cm, che può essere sufficiente a scopi pratici.
Ma, se riuscissi a trovare una formula che esprime la pendenza del grafico nel punto di ascissa x, potrei trovare più facilmente per quale x la pendenza è nulla.
Partiamo da un esempio, il caso già considerato di y = x2.
Sotto è riprodotto il
grafico di questa funzione e sono evidenziati alcuni punti di essa. Proviamo ad approssimare la pendenza del grafico
calcolando la pendenza dei segmenti AB, BC, CO, OD, DE, EF:
• la pendenza di OD è 1/1 = 1; sul grafico, in corrispondenza della ascissa a metà tra quelle di O e
e di D è stato segnato un punto alla quota 1;
• la pendenza di DE è 3/1 = 3; sul grafico, in corrispondenza della ascissa a metà tra quelle di D e
e di E è stato segnato un punto alla quota 3.
[2] Procedi analogamente per gli altri segmenti: calcolane la pendenza e segna un punto sul grafico che abbia
tale valore come ordinata e abbia ascissa al centro del segmento.
La sequenza dei punti che otterrai ti darà un'idea di come varia la pendenza di
| [3] Che cosa ottieni? Confronta il tuo esito con quello dei tuoi compagni. Vi sembra che questi punti stiano tutti su una curva che sapete descrivere con un'equazione? Quale? |
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[4] Per x = 0 questa curva quale ordinata ha?
Essa corrisponde effettivamente alla pendenza di
[5] Nel caso di y = 3x2, come cambierebbe il grafico della funzione? e quello della sua pendenza? Quale sarebbe la formula che rappresenta quest'ultimo?