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La matematica dei cambiamenti - Scheda 5

1. Riepilogo

Nelle funzioni del tipo  x → xⁿ la velocità di variazione, espressa dalla derivata  x → n·xⁿ⁻¹, cresce più lentamente della funzione stessa:   y = x³ ha pendenza y = 3x², che è una curva che all'aumentare di x sale più lentamente;  y = x² ha pendenza y = 2x, che ha andamento rettilineo;  y = x ha una pendenza y = 1, ossia una retta orizzontale.
    Abbiamo visto che le funzioni  x → a^x, se a>1, rappresentano fenomeni che crescono molto più velocemente:  sono funzioni f(x) che hanno una velocità di variazione proporzionale a f(x) stesso:
se il valore della funzione raddoppia, triplica, ..., allora raddoppia, triplica, ... anche la rapidità con cui varia la funzione:  D_x(a^x)  =  k · a^x.  Il loro grafico passa per il punto (0,1), dove la pendenza è  D_x=0(a^x) = k · a⁰ = k · 1 = k

    Quando a vale e = 2.7182818284... la pendenza in (0,1), ossia k, vale 1:

Dx(e x )  =  e x In generale  k = log(a)  dove  log(a) (logaritmo di a) indica il numero a cui elevare e per ottenere a, e può essere determinato mediante la calcolatrice.    La figura a lato si riferisce all'esempio a = 2 e richiama perché la pendenza in 0 di x → 2x è proprio log(2): •  x → 2x ha grafico dilatato rispetto a quello di x → ex; •  per capire come cambia la pendenza basta capire come cambia Δx a parità di Δy; •  osservando i due triangoli evidenziati si vede che il rapporto tra le variazioni Δx è k per cui la pendenza di x → ex è quella di x → 2x divisa per k, ovvero la pendenza di x → 2x è quella di x → ex moltiplicata per k

[1]  Completa:     log(e) = ...        log(1/e) = ...        log(1) = ...        log(e³) = ...        e ^log(5) = ...

Se, qualunque sia il suo valore, aumento x di una quantità fissata T, il valore della funzione esponenziale ax viene moltiplicato per la stessa costante:  ax + T = ax aT, ossia il valore della funzione viene moltiplicato per aT.     Per individuare la funzione possiamo anche solo indicare quanto deve variare x affinché, ad esempio, essa raddoppi.  Sia ad esempio T la variazione necessaria, ossia:  ax+T = ax · 2.  Da ax+T = ax aT, ricavo aT = 2 e, quindi, a = 21/T.     Nel caso di una popolazione batterica P che, posto uguale a 1 il suo valore iniziale, evolve (rispetto al tempo misurato in secondi) nel modo illustrato a destra, si può ricavare che il tempo di raddoppio è circa T = 26 s, e quindi che P = at con a = 21/26 = 1.027 (valore arrotondato calcolato con la calcolatrice).

2. Decrescita esponenziale

Vi sono anche fenomeni che decrescono con velocità proporzionale alla loro grandezza. Questo accade, ad esempio, nel caso di molti farmaci per la loro eliminazione dall'organismo. Per caratterizzare l'andamento della concentrazione nel sangue di un farmaco di questo tipo se ne indica, in genere, la emivita, ossia il tempo che la concentrazione impiega a dimezzarsi.

[2]   Un farmaco ha emivita di 5 ore. Posta uguale a 1 la concentrazione iniziale, rappresenta graficamente la funzione che al tempo trascorso t (in ore) associa la concentrazione C e cercate di esprimere con una formula come C varia in funzione di t.

                        C = ..............

[3]   Un farmaco ha inizialmente una concentrazione plasmatica di 138 mg/ml. Dopo 20' la concentrazione in mg/ml è 84, dopo 40' è 52, dopo 60' è 30, dopo 80' è 18. Sapendo che l'andamento della concentrazione è approssimativamente esponenziale, schizza il grafico della concentrazione in funzione del tempo a partire dalla rappresentazione dei dati sperimentali. Cercate di individuare una formula che esprima la concentrazione in funzione del tempo.

  C = ..............

[4]   Un robot è programmato in modo da percorrere un tratto rettilineo lungo 10 m nel seguente modo:
parte con una velocità iniziale di 0.10 m/s e man mano rallenta mantenendo la velocità proporzionale alla distanza che gli rimane da percorrere.
    Se indichiamo con P(t) la posizione (in metri) del robot all'istante t (in secondi), la sua velocità, ossia la rapidità con cui varia P(t) al passare di t, è D_t(P(t)).
    Sappiamo che P(0) = 0 e che D_t=0(P(t)) = 0.1.  La distanza che rimane da percorrere è 10-P(t); inizialmente è 10.  L'informazione che la velocità si mantiene proporzionale alla distanza dal punto da raggiungere è esprimibile con:

D_t(P(t)) = k · (10 − P(t))

(a) Tenendo conto dei valori iniziali, stabilite quanto vale k.           k =

    È comodo indicare con d(t) la distanza da percorrere, ossia 10−P(t).
(b) Tenendo conto che D_t(d(t)) = D_t(10−P(t)) = D_t(10) − D_t(P(t)) = −D_t(P(t)) e del valore di k trovato, otteniamo:

D_t(d(t)) =  − 0.01 · d(t)

da cui  d(t) = 10 · a^t  con  log(a) = − 0.01, ossia   a = ...

(c) Spiegate perché possiamo scrivere:

d(t) = 10 · e ^{− 0.01 t}

(d) Verifica, calcolando d(0) e d(203) con l'aiuto di una calcolatrice, che il grafico di d in funzione di t è il seguente:

(e) Traccia sullo stesso sistema di riferimento il grafico di P in funzione di t.

(f) Secondo voi, quanto impiega il robot a completare il suo percorso?

La figura a lato contiene i grafici di diverse funzioni esponenziali: • quelle con base maggiore di 1 hanno grafico che "sale"; • quelle con base minore di 1 (ma positiva) hanno grafico che "scende"; • quella con base e ha grafico che sta sopra alla retta y = x+1; • quelle con base maggiore di e hanno grafico con pendenza in (0,1) maggiore di 1; • quelle con base maggiore di 1 e minore di e hanno grafico con pendenza in (0,1) positiva e minore di 1; • quella con base 1/a ha grafico simmetrico a quella con base a.

    y = a^x  per x=0 ha derivata k = log(a), ossia k tale che e^k = a.
La stessa curva possiamo descriverla con  y = e ^{k x},  infatti  e ^{k x} = (e^k ) ^x = a^x.

3. Il raffreddamento/riscaldamento di un corpo

Poposta di lavoro
Provate a studiare come varia la temperatura di un corpo quando viene messo in un ambiente di temperatura diversa. Basta prendere un oggetto riscaldato (o raffreddato) e misurarne via via la temperatura; si può anche mettere un termometro in un ambiente caldo/freddo (un termometro da laboratorio in acqua bollente o in frizer, un termometro da forno in un forno, un termometro da ambiente riscaldato per sfregamento o posto in frigorifero), porlo poi nell'ambiente normale e rilevare ogni tot secondi la temperatura che esso segna. Organizzatevi, individualmente o a gruppi, e cercate di capire secondo quale funzione varia la temperatura.