Guida alla conduzione del lavoro

Guida all'uso delle schede e alla prosecuzione del lavoro, elaborata sulla base delle indicazioni e delle scelte fatte durante l'attività di progettazione. La guida verrà rivista (assieme alle schede) dopo la sperimentazione (che, nel secondo anno, verrà estesa ad altre classi delle scuole che hanno partecipato al Progetto).

Questa attività sull'infinito, prevista per il triennio finale della scuola superiore, si avvia attraverso un lavoro su schede per poi proseguire con approfondimenti svolti in modi diversi a seconda dell'ordine della classe, del tipo di scuola e delle forme di collaborazione che si stabiliscono con le altre discipline, e di diversi sviluppi all'interno del curricolo matematico. Le schede non corrispondono a singole lezioni ma a dei segmenti di percorso didattico che possono essere sviluppati in più lezioni.

Le schede costituiscono la traccia di lavoro. Non sono previste per un lavoro individuale da parte degli alunni, ma per un alternarsi di spiegazioni e introduzioni da parte del docente, momenti di lavoro individuale o a gruppi, discussioni collettive (coordinate e "guidate" dal docente), …. Alcune parti possono essere lette direttamente dagli alunni, altre sintetizzano considerazioni che svilupperà il docente (in modo che gli alunni le possano poi rileggere).

Scheda 1

§1 Il quesito [1] introduce una discussione "collettiva" (come suggerisce il «secondo voi … ?») sulla parola "infinito", che nel linguaggio comune, come in matematica, assume alcuni dei significati di "non finito". Gli usi in "matematica" (in cui non appaiono usi nel significato 2, per il quale si usa indefinito) avranno, poi, una prima precisazione nel §2. Le risposte a questo quesito non sono nette (come quasi sempre non sono nette le distinzioni di significato nel linguaggio comune). A e B corrispondono a 3 (ma un po' anche a 1); C ed E ad 1; D a 2.
[2] ha ovviamente come risposta il significato 1 (vedi). Questo quesito, come il [4], ha l'obiettivo di ripendere alcuni usi del concetto di infinito con cui gli alunni hanno già avuto a che fare.
[3] ha la finalità di far comprendere, attraverso un suo uso, la rappresentazione mediante diagrammi delle espressioni, tipica nella descrizione della sintassi dei linguaggi formali, e in particolare di quelli di programmazione. La risposta (che dovrebbe essere data individualmente, o a gruppi, come succerisci lo «scrivi …») è "ventimiladuecentodue". L'esercizio ha anche la finalità di offrire un esempio in cui, a differenza di quanto in genere accade per i numeri reali (vedi [4]), il numero può essere descritto con una espressione (verbale) finita.
[4] introduce considerazioni sui numeri reali (che alcune classi hanno già sviluppato, almeno in parte, nel biennio) che saranno riprese in paragrafi successivi e nella scheda 2 (eventuali riferimenti sugli argomenti affrontati si possono trovare qui e qui). L'attività proposta all'inizio dell'esercizio ha lo scopo di offrire elementi di riflessione/intuizione per affrontare le domande; gli alunni dovrebbero ottenere tutti numeri diversi, capire che i numeri ottenibili sono in quantità infinita (trovati N numeri di questo tipo se ne può trovare uno che differisce da tutti gli altri).

§2 sistema alcune questioni discusse in precedenza e introduce i problemi e le difficoltà discusse successivamente.

§3: si tratta di quesiti ([5] e [6]) che pongono problemi legati all'uso dell'infinito (come eseguire le operazioni con quantità infinite di cifre, come confrontarli, come descrivere con una formula un processo infinito, …), a cui il docente può dare una prima sistemazione mettendo a confronto e facendo dibattere le diverse soluzioni proposte dagli alunni. Gli argomenti verranno ripresi e (parzialmente) sistemati nella scheda 2.

§4: il quesito [7] riprende (in un riarrangiamento della versione di Hilbert) i paradossi sull'infinito di Galileo. Anche questo quesito verrà ripreso nella scheda 2.

L'ultimo paragrafo propone un quesito "facoltativo" ([8]) che viene lasciato in sospeso fino alla fine della seconda scheda.

Scheda 2

§1 La prima parte del paragrafo riprende e approfondisce argomenti che dovrebbero essere già emersi nella discussione dei quesiti della scheda 1. Il docente può affrontarli con una lettura collettiva o presentandoli oralmente appoggiandosi alle illustrazioni presenti nelle schede.
[1] Se non si dispone di una calcolatrice dotata di priorità delle operazioni occorre usare il tasto [M+]. Le prime due somme sono pari a 0.333… = 1/3 e 1.999… = 2 (ovvero 0.111… scritto in base 2); vedi anche quanto discusso più avanti. La terza somma gli alunni dovrebbero facilmente intuire che non dà luogo a un numero; è interessante cercarne una spiegazione con gli alunni; si può andare dall'idea che man mano viene sommato un numero sempre più vicino a 1, per cui tendenzialmente di hanno degli incrementi unitari, alla spiegazione più rigorosa: il primo numero e 1/2 e i successivi sono tutti maggiori di 1/2, per cui a due a due essi formano numeri maggiori di 1; la somma quindi al crescere del numero degli addendi cresce oltre ad ogni limite.
[2] L'errore interviene nel passaggio (6): la possibilità di riordinare (vedi) i termini di una somma vale nel caso di una somma finita di numeri reali.

§2 Questo paragrafo dà una sistemazione a quesiti affrontati nella scheda 1, introduce l'idea del concetto di limite, che sarà poi oggetto di approfondimenti nel proseguo del curricolo, e riprende l'idea di definizione ricorsiva, che gli alunni dovrebbero aver già incontrato affrontando il concetto di fattoriale (vedi qui per altri eventuali spunti didattici).

§3 Qui, a partire dal paradosso degli hotel, viene sviluppato il passaggio dal concetto di quantità degli elementi di un insieme finito a quello di cardinalità di un insieme qualunque. Si noti che non viene definito che cosa sia la "cardinalità" ma che cosa sia da intendersi per "insiemi della stessa cardinalità". Sarebbe un po' troppo complesso definire (in modo decente) il concetto di cardinalità (la difficoltà è analoga, ma maggiore, di quella per passare dall'"aver la stessa direzione" al concetto di "direzione").
L'idea di cardinalità del continuo, introdotta alla fine del paragrafo, viene ripresa nel paragrafo successivo.
Non è stato esplicitato il fatto che se esiste una funzione iniettiva da A in B allora B ha la stessa cardinalità o è di cardinalità superiore rispetto ad A, e che se esiste anche una funzione iniettiva da B in A allora A e B hanno la stessa cardinalità; al docente valutare il fatto se è il caso di farlo.
Nota: nel linguaggio comune numerare significa "contrassegnare, etichettare con un numero", mentre enumerare significa "elencare in ordine uno dopo l'altro"; alla fine del paragrafo abbiamo sovrapposto i due significati; in effetti, nel linguaggio comune, "numerare" viene usato anche nel significato di "enumerare" (dal punto di vista matematico la cosa sarebbe un po' più sottile: la possibilità di etichettare potrebbe non corrispondere a quella di enumerare con un algoritmo; in logica matematica a volte "enumerabile" viene usato con una accezione più ristretta rispetto a "numerabile"; qui, a questo livello di approfondimento, la distinzione sarebbe del tutto ingiustificata; anche, ad es., "si può trovare una funzione tale che …" ed "esiste una funzione tale che …" potrebbero essere intesi in modo diverso).

§4 In questo paragrafo vengono messi a fuoco alcuni "paradossi" legati al continuo sia dal punto di vista dell'infinito (o, meglio, della cardinalità) che dell'infinitesimo (o, meglio, del concetto di continuità). L'obiettivo, più generale, messo meglio a fuoco nel paragrafo finale, è quello di stimolare qualche riflessione sulla natura della matematica. Viene aperta una finestra anche sul concetto di codifica, legato a quello di iniettività, che potrebbe dar luogo ad eventuali approfondimenti (per una codifica viene richiesta anche la possibilità di realizzare con procedimenti meccanici la associazione degli elementi di un insieme a quelli dell'altro e vicecersa).
[5]: la funzione è la funzione x tan(x°) ristretta all'intervallo (-90,90), iniettiva e avente per immagine tutto R. Si comprende che un segmento e la retta hanno la stessa cardinalità.
[6]: (1.47, 2.58, 3.69).

§5 Nel paradosso dello specchio a spirale si è scelta la minima altezza degli specchi che garantisca che il raggio incida sempre su qualche specchio; si sarebbero potuti prendere anche specchi più alti di h. Questo paradosso è un "prototipo" di paradosso dei supercompiti (supertask), ossia in cui entra in gioco il completamento di una successione infinita di compiti. I più famosi sono quelli di Zenone. [vedi qui per altri tre esempi di paradossi dei supercompiti]