[Da Pietro Emanuele, I cento talleri di Kant, Salani Editore, 2003]

1. Achille e la tartaruga: esplode l'infinito

Zenone di Elea (V secolo a. C.), allievo di Parmenide, rimase celebre per i suoi paradossi. Con il più famoso di essi, quello di Achille, mostrò che, come teorizzava il suo maestro, il concetto di divenire non è più rispondente alla realtà di quello di essere. Zenone fu il primo a fare della meditazione filosofica una tecnica logica, rovesciando così il modo comune di pensare.

Zenone ebbe l'impudenza di sostenere che in una gara di corsa Achille sarebbe stato sconfitto da una tartaruga. Eppure la tartaruga è un animale molto lento - chi non lo sa? - mentre Achille era un fulmine, anche se non tutti lo sanno. Ma chiunque abbia letto Omero lo sa benissimo. Nell'Iliade ogni personaggio ha un suo appellativo caratteristico: Patroclo è detto « divino », la dea Atena « occhio azzurro », Ettore «glorioso». E Achille? Stranamente Omero, invece di definirlo «invincibile» o «invulnerabile», lo chiama «piede veloce». I Greci del V secolo a.c. conoscevano bene questo epiteto omerico. Essi compivano i loro primi studi e addirittura imparavano a leggere sui poemi di Omero. E le opere di Platone e Aristotele sono intessute di citazioni omeriche. Ecco perché Zenone sceglie proprio Achille per fame il protagonista di un esempio paradossale, destinato a passare alla stona.

Zenone era l'allievo prediletto di Parmenide, fondatore della scuola di Elea, attiva per tutto il V secolo a.c. Con Parmenide, che introdusse il germe dell'astrazione nell'interpretazione della realtà, la filosofia per la prima volta stravolse il senso comune. La dottrina di Parmenide si basava infatti sull'idea paradossale che la realtà fosse l'esatto opposto di ciò che credono tutti. L'uomo comune pensa cioè che esista una molteplicità di cose in continuo mutamento. Parmenide invece considerava erronea questa prospettiva ritenendo che la realtà fosse un'unità immobile ed eterna.

L'eco di questa sorprendente dottrina giunse presto ad Atene, e assieme a essa la fama delle abili argomentazioni con cui l'ingegnoso discepolo di Parmenide era in grado di difenderla dagli avversari. Fu perciò considerato un grande avvenimento l'arrivo ad Atene dei due pensatori della colonia greca di Elea in occasione della più antica e solenne festa ateniese in onore di Atena, patrona della città: le Grandi Panatenee. Questo eccezionale evento ci è testimoniato da Platone nell'esordio del suo dialogo Parmenide. I tre protagonisti, il giovane Socrate, Parmenide e Zenone, s'incontrano a casa di Pitodoro, allievo di Zenone, che ospita i due eleati. Ne nasce una discussione che diventerà una pietra miliare della storia del pensiero, tanto che molti anni dopo i giovani appassionati di filosofia saranno ancora desiderosi di apprenderne i contenuti.

Nel dialogo Parmenide viene descritto come un sessantacinquenne incanutito ma ancora bello e Zenone come un quarantenne alto e prestante, che si vociferava fosse l'amante del maestro. All'inizio del dialogo Zenone ha già sciorinato agli astanti i suoi famosi argomenti. Socrate gli obietta che essi non fanno che ricalcare la teoria di Parmenide che considera illusoria ogni pluralità. Zenone non lo nega: egli non si propone di formulare una nuova teoria, bensì soltanto di mostrare le conseguenze contraddittorie nelle quali incorre chi sostiene la pluralità del reale. Come ci riesce?

Zenone non ignorava che la teoria parmenidea dell'immutabilità dell'essere venisse percepita come un paradosso, cioè come un ragionamento contrario all'opinione corrente (paràdoxos viene da parà, contro, e doxa, opinione). Ma era altresì convinto che concepire la realtà come molteplice e in movimento fosse ancor più paradossale. Per dimostrarlo escogitò una serie di esempi ispirandosi alla cultura dell'epoca: fra questi il paradosso di Achille, che ci è stato tramandato da Aristotele nella sua Fisica (239 b 14).

Una tartaruga sfida Achille in una gara di corsa, facendosi lasciare solo un piccolo vantaggio. L'eroe omerico, per quanto veloce, non riuscirà mai a raggiungerla, benché lei sia molto lenta, perché prima dovrebbe coprire la serie infinita di parti di spazio che li separano. Infatti, quando Achille avrà raggiunto il punto di partenza della tartaruga, questa avrà percorso un altro tratto di strada, e quando lui avrà superato anche questo tratto, lei si sarà spostata in avanti, e così via all'infinito.

Posto che Achille sia dieci volte più veloce della tartaruga, il suo inseguimento, tradotto matematicamente, può essere espresso da una progressione geometrica come la seguente:

10 + 1 + 1/10 + 1/10² ... + 1/10ⁿ.

Una progressione geometrica come questa, tendendo n all'infinito, comporta un residuo infinitesimale. Nella realtà concreta, macroscopica, nessuno ne terrebbe conto. Tuttavia Zenone, esasperando il calcolo di quel residuo, ebbe buon gioco a dimostrare l'impossibilità di una scienza del movimento.

Aristotele, che lo soprannominò «padre della dialettica» per la sua abilità argomentativa, credette di confutarlo con una lezione di buon senso. L'estensione lineare, obiettò, è solo potenzialmente divisibile, ma in atto è un'entità continua. Perciò Achille può superare facilmente la tartaruga, perché non deve fermarsi quando raggiunge il suo punto di partenza.

Ma era proprio questo l'obiettivo di Zenone? La critica la pensa diversamente e ipotizza che la finalità dei suoi paradossi fosse matematica piuttosto che fisica, cioè che essi sottintendessero l'intraducibilità matematica della realtà per via della infinita divisibilità del tempo e dello spazio. Difatti Zenone, in un altro suo paradosso, sostiene, in maniera analoga che una freccia, dopo esser stata scoccata, non riuscirà mai a raggiungere il suo bersaglio, perché dovrà prima coprire metà della distanza, e prima ancora metà della metà, e così all'infinito.

Occorreranno parecchi secoli per superare le difficoltà di questi paradossi. Avverrà nel XVII secolo col calcolo infinitesimale, grazie al quale si dimostrerà che la somma di un numero infinito di segmenti può dare un segmento finito, determinabile attraverso il calcolo delle serie geometriche. Si vedrà così che non è affatto contraddittorio asserire che un corpo in movimento possa coprire le infinite posizioni di un percorso finito. Il tempo occorrente sarà finito, pur comprendendo un'infinità di istanti.

Che questa interpretazione del paradosso zenoniano sia la più corretta trova conferma in un aneddoto tramandato ci dal biografo Diogene Laerzio del III secolo d.C. (Vite IX, 26). A quanto pare Zenone ha ordito una congiura contro il tiranno Nearco. Scoperto, viene imprigionato e torturato perché riveli i nomi dei complici. Il filosofo, invece, prima schernisce il tiranno, poi gli dice di avvicinarsi, così gli può sussurrare i nomi. Ma quando Nearco arriva alla sua portata gli addenta l'orecchio come un mastino. Se non avesse creduto all'esistenza del movimento, la provocazione non gli sarebbe riuscita.

Zenone era un intellettuale tipico dell'antica Grecia: seriamente impegnato nella politica e convinto cultore dell'amicizia. Ma con i suoi esempi paradossali si è ritagliato un posto unico nella storia del pensiero e ha trasmesso un bacillo di perenne incertezza: dobbiamo credere a quello che ci suggeriscono i sensi o a quello che ci dice la ragione? La bibliografia sui suoi paradossi è vastissima. Innumerevoli filosofi, matematici e logici hanno provato a fare i conti con lui. Persino gli scrittori sono rimasti stregati dal suo «gioiello»: per l'argenti no Borges Zenone è incontestabile, perché la parola «infinito», una volta ammessa nel pensiero, «esplode in esso e lo uccide».

Borges dimostra come Achille e la tartaruga siano sopravvissuti fino al Novecento nei dibattiti teorici. Un'altra testimonianza di ciò è quella di un filosofo tuttora vivente, Douglas Hofstadtter, uno degli autori più accreditati nelle scienze della mente. E un americano e, con la spregiudicatezza tipica del mondo a stelle e strisce, ha ideato un seguito surrealistico della vicenda dei due personaggi zenoniani. Nella sua opera L'io della mente (scritta con C. Dennett) immagina che Achille e la tartaruga s'incontrino per caso a Parigi presso la sponda di un piccolo lago.

«Achille: Ehi, signorina tartaruga! Pensavo che fosse ancora al V secolo a.c.!

Tartaruga: E lei che fa di bello? lo me ne vado spesso a zonzo attraverso i secoli...»

L'atmosfera è ideale per una pausa di riflessione. Mentre alcuni bambini si divertono a giocare con le loro barchette, i due si mettono a discutere di filosofia: come funziona la nostra mente? Ma dopo un po' ha il sopravvento il desiderio di riprendere la loro sfida plurisecolare.

«Tartaruga: Lei è un po' presuntuoso, Achille... Può darsi che non le sia poi tanto facile raggiungere una tartaruga energica.

Achille: Solo un folle punterebbe su una tartaruga tardigrada che sfidi me a una gara podistica! Ok! L'ultimo che arriva alla casa di Zenone fa penitenza».