L'infinitamente grande e l'infinitamente piccolo

Attività varie

Si tratta di esercizi (o proposte/spunti per attività più complesse) articolabili in vario modo (a seconda del tipo di classe, dell'impiego in aula normale o in aula computer, …).

[ ]   In una data calcolatrice il tasto azzera la memoria, addiziona al numero in memoria il numero che appare sul visiore, ricopia sul visore il numero che è in memoria, esegue i calcoli impostati e visualizza il risultato.  Batti:

1   9 2
9 2
9 2   ...

Proseguendo, che cosa ottieni? E se batti 4 invece di 9? e se battessi 2? Provate a descrivere con un diagramma di flusso o con una definizione ricorsiva o in qualche altro modo il procedimento di calcolo che avete eseguito.

alternativa (ma, volendo, è integrabile alla precedente)

[ ]   Sia A = 4. Considera la successione di valori x(0), x(1), x(2), … così definita:

{ x(0) = 1  
x(n+1) = (x(n)+A/x(n))/2
 
  • Utilizzando un foglio di calcolo studiane il comportamento per n → ∞.
  • Come sopra, con A = 4 e con A = 2.

[ ]   Prova ad aprire questi due file:     algoritmo 1,   algoritmo 2   e   algoritmo 3.
• Come descriveresti ciò che realizzano.
• Analizza il codice sorgente di questi file. Cerca di capire, informandoti sugli script, come sono stati realizzati, e cerca di realizzare file analoghi per mettere in corrispondenza i numeri interi positivi con i numeri dispari positivi, per generare la successione sotto descritta ricorsivamente (con il valore di A inseribile da parte dell'utente) ed altre successioni definite ricorsivamente a tuo piacere.
{ x(0) = 1  
x(n+1) = (x(n)+A/x(n))/2

[ ]   Realizza, mediante un foglio di calcolo o un linguaggio di programmazione, un algoritmo che generi potenzialmente tutte le cifre del risultato della divisione tra M e N numeri interi con 0 < M < N.
Come lo puoi modificare in modo da ottenere il risultato in base 2?

[ ]   Realizza, mediante un foglio di calcolo o un linguaggio di programmazione, un algoritmo che generi la successione x(0), x(1), x(2), …, dove x(n) = 2x con x approssimazione per troncamento di π alla cifra che rappresenta le potenze di 10 alla -n.

[ ]   Esiste un numero reale positivo che sia inferiore a tutti gli altri numeri positivi? E, tra i numeri positivi della tua calcolatrice, ce n'è inferiore a tutti gli altri? E ce n'è uno che sia maggiore di tutti gli altri.

[ ]   Abbiamo visto che tra due numeri reali qualunque ce ne sono infiniti altri: basta che faccia la media tra di essi per trovarne uno, poi la media tra questo nuovo numero e uno dei precedenti, e così via.
Ma se con una calcolatrice a 8 cifre eseguo (8.7654321+8.87654322)/2 e ottengo 8.87654320 che non sta in mezzo ai due numeri. Come è possibile?

[ ]   Considera un foglio di calcolo elettronico così impostato:

 AB
1=2000.07-2000.03=IF(A1=0.04;1;0)

["=IF(test;P;Q)" si comporta come "IF test THEN PRINT P ELSE PRINT Q"; in alcuni fogli di calcolo, a seconda delle opzioni scelte, viene usato "SE" al posto di "IF"]

•   Se si visualizzano i valori, che cosa ti aspetti di ottenere?
•   Verifica la tua ipotesi.
•   Prova a completare la seconda riga nel modo seguente e visualizzane i valori dando alla cella A2 l'opzione di rappresentare i numeri con 20 cifre. Che cosa ottieni?

 AB
1=2000.07-2000.03=IF(A1=0.04;1;0)
2=2000.07-2000.03=(A1-0.04)*10^50

•   Cerca di spiegare il fenomeno osservato.

[ ]   Osserva il grafico della funzione arctan. Tale funzione può essere usata per esprime il fatto che due insiemi hanno la stessa cardinalità. Quali?

[ ]   Congiungo due punti con un semicerchio. La distanza tra i punti è 1 e quindi il semicerchio è lungo π. Poi congiungo i due punti sostituendo il semicerchio con due semicerchi di diametro 1/2. Poi sostituisco ciascuno di questi semicerchi con due di diametro 1/4. E così via, come illustrato sotto.

• Si modifica la lunghezza del percorso al cambiare della forma? Procedendo all'infinito, che forma tende ad assumere il percorso? Quanto è lunga questa figura limite?
• Sintetizza quanto osservato indicando Fig(n) la figura formata da n semicerchi, con F la figura limite, con Lun(C) la lunghezza di una generica curva C.
  Per n → ∞ Fig(n) →  ...         per n → ∞ Lun(Fig(n)) →  ...       mentre  Lun(F) =

[ ]   Le immagini di un film sono dinamniche, vediamo i movimenti con continuità. Come è possibile che siano realizzate con un insime finito di fotogrammi? Approfondisci l'argomento dal punto di vista "tecnico" e "psicologico". Riesci a individuare qualche collegamento col "paradosso della freccia" di Zenone? (informati su questo paradosso, se non lo conosci)

[ ]   Ho una moneta non truccata e la lancio ripetutamente.
• Qual è la probabilità che esca testa al 1° lancio?
• Qual è la probabilità che la prima testa esca al 2° lancio?
• Qual è la probabilità che la prima testa esca al 3° lancio?
• Qual è la probabilità che la prima testa esca all'n° lancio?
• Quale o quali tra le seguenti espressioni rappresentano la probabilità che prima o poi esca testa? Perché?
  (1)  50%     (2)  100%     (3)  1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/24 + 1/25 + …
  (4)  il limite per n → ∞ di p(n) dove p(1) = 1/2, p(n+1) = p(n)+1/2n

[ ]   Lancio un aereoplanino di carta dalla Torre Eiffel. E' più probabile che tocchi terra esattamente dopo √2 minuti o esattamente dopo 10π minuti? Quanti sono gli istanti possibili in cui può toccare terra?

[ ]   Realizza, mediante un foglio di calcolo o un linguaggio di programmazione, un algoritmo che simuli il lancio di due dadi, generando le uscite di successivi lanci e, via via, la frequenza con cui esce 7. Fai delle congetture sull'eventuale valore su cui tende a stabilizzarsi questa frequenza e cerca di discuterle con qualche considerazione teorica?

[ ]   Se proseguono così vediamo Mario e Luigi incontrarsi.
Ma si incontrano?		 

[ ]   Realizza, mediante un foglio di calcolo o un linguaggio di programmazione, un algoritmo che, data una funzione F e un intervallo [a,b] contenuto nel suo dominio, permetta di calcolare (quando sia possibile) la lunghezza del grafico di F in [a,b] mediante la generazione delle lunghezze di poligonali con vertici sul grafico ottenute inserendo via nuovi vertici tra i vecchi. Sperimenta, poi, l'algoritmo su diverse funzioni.

Un programma per generare/visualizzare frattali (vedi l'articolo su Matematica e Computer di L.Repetto).

Altri possibili sviluppi e spunti sono ricavabili dagli Oggetti Matematici:
lunghezza
aree
immagini digitali
limiti
prospettiva
i "numeri macchina"
Achille e la tartaruga e altro
altre voci (pendenza2, velocità, ..., infiniti e infinitesimi)

Spunti per ricerche in Internet (possibili sequenze di parole chiave): 

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