Introduzione
L'idea di partenza Non è ancora chiaro come avverrà in futuro la formazione degli insegnanti. Intanto … il mondo è cambiato, ed è in particolare cambiato il modo di comunicare e produrre conoscenza. Ma scuola non si è quasi accorta di questi mutamenti: i vari "nuovi" programmi sono rimasti disattesi, le nuove tecnologie sono raramente entrate in gioco nei processi formativi, … ed è aumentato ulteriormente il divario tra bisogni delle nuove generazioni e offerta formativa del sistema scolastico. 2. A livello legislativo qualcosa di "piccolo" si è tuttavia mosso: è stata "esplicitata" la possibilità di adozioni alternative rispetto ai libri di testo tradizionali. Ci è sorta l'idea di trasformare il materiale prodotto in "libri di testo" gratuiti, scaricabili via rete: presenteremo questa iniziativa, sperando di trovare persone disposte a collaborarvi e di suscitare in altri l'idea di intraprendere iniziative analoghe, con tagli culturali e didattici diversi. Gli elementi di reciproca stima che si sono aperti con molti specializzati SSIS possono essere un terreno fecondo per avviare attività di questo tipo, se ci si muove per tempo. L'idea è produrre del materiale per l'insegnamento della matematica, con agganci a quello della fisica, e aprire forme di collaborazione con docenti di altre discipline, anche non scientifiche. La separazione delle discipline è una delle malattie croniche della nostra scuola, nononostante gli spazi di collaborazione che essa offre più che in altri paesi. Le forme di confronto tra docenti di diversa formazione che la SSIS, in varie sedi, ha aperto dovrebbero essere uno spazio da sfruttare anche in questa direzione. Il progetto è illustrato nel sito del Dipartimento di Matematica di Genova, in cui (vedi [2]) è riportato il documento con cui abbiamo avviato questa attività e sono esemplificati i problemi che dovremo affrontare. Qui cercheremo di illustrarne le caratteristiche più significative.
Le caratteristiche del "progetto" L'obiettivo è non solo favorire scambi tra soggetti che operano in ambienti diversi e impegnare i ragazzi in attività più attraenti, ma anche fare i conti con nuovi modi di produrre e comunicare la cultura, matematica e non: con essi la scuola deve confrontarsi se non vuole aumentare il gap tra il suo "mondo" e la cultura extrascolastica, sia quotidiana che scientifica. 4. Queste caratteristiche, più metodologiche, dovrebbero affiancarsi, e intrecciarsi, con l'impostazione culturale del materiale. Nell'insegnamento della matematica sono presenti attività di modellizzazione che coinvolgono domini di conoscenza propri delle altre discipline. D'altra parte, nell'insegnamento di queste spesso si impiegano o introducono concetti matematici. Queste interazioni tra materie, spesso non esplicitate, possono essere didatticamente feconde ma possono anche originare confusioni tra i ruoli delle diverse discipline (la matematica del docente di matematica, diversa da quella del docente di elettrotecnica o disegno, o da quella che egli stesso usa nelle ore in cui insegna fisica; "matematiche", comunque, vissute solo scolasticamente).
Occorre quindi
riorganizzare temi e metodi matematici, e
riflettere sui problemi del loro insegnamento, all'interno di itinerari didattici
di ampio respiro conoscitivo, dando rilievo sia alla matematizzazione e alla
discussione dei limiti di essa (con riferimenti anche a
concetti di altre discipline), sia all'analisi e alla messa a punto di
collegamenti, descrizioni, ragionamenti, … di tipo interno alla matematica.
Il materiale dovrà quindi prevedere: Per esemplificare queste considerazioni facciamo qualche cenno all'impostazione che, all'inizio delle superiori, daremo alle aree tematiche il cui intreccio dovrebbe caratterizzare l'insegnamento della matematica: I numeri reali, Le funzioni, La geometria, La statistica e il calcolo delle probabilità.
I numeri reali Sebbene un approccio di questo tipo sembri ovvio, in quasi tutti i libri di testo, a caricatura di quel che si fa in un corso di algebra e/o di analisi e/o di logica del corso di laurea in matematica, si introducono in sequenza numeri naturali, interi, razionali e, infine, reali, con grossolani errori, e senza motivazioni culturali. E non è messa a fuoco la definizione algoritmica delle operazioni tra numeri decimali limitati e l'estensione di esse ai numeri reali attraverso tecniche elementari di calcolo approssimato, tagliando ogni ponte con la padronanza dei numeri nei vari contesti. Non sono sviluppati collegamenti con argomenti di statistica, applicazioni ad altre discipline scientifiche, riflessioni sull'uso dei mezzi di calcolo, …
Le funzioni È importante che gli alunni consolidino il concetto (prima della definizione) di funzione facendo riferimento a vari modi di esprimerlo o rappresentarlo (numerici, grafici, algebrici, a parole, …), riprendano subito il significato di radice quadrata (definibile solo facendo riferimento ai numeri reali), riflettano sull'uso delle calcolatrici tascabili, … È bene partire da situazioni in cui le variabili sono indicate in diversi modi, come accade nei più vari contesti. A ciò deve seguire, gradualmente, l'esercizio e il consolidamento astratto. Ed è bene rendersi conto, subito, che una formula può essere trasformata esprimendo una variabile in funzione di altre a seconda delle esigenze, e facendo riferimento al concetto di funzione inversa. Si
noti l'importanza, soprattutto nella fase iniziale, di usare
modi informali di esprimersi e, quando si ricorre alla
formalizzazione, di farlo con un certo rigore: certi usi scorretti
appresi all'inizio sono fonte di profondi misconcetti che poi
è difficile smontare. Ad esempio è bene fare osservare che
se F è una funzione Queste attività, l'avvio della rappresentazione grafica di funzioni, la messa a fuoco, operativa, degli intrecci con quasi tutti gli altri argomenti matematici di base, … sono da sviluppare sin dall'inizio della scuola superiore. Successivo deve essere lo studio del sottoinsieme delle funzioni polinomiali, invece spesso introdotte prima del concetto di funzione, e con clamorosi errori: non specificare quali sono le indeterminate, affermare che il massimo comune denominatore e il minimo comune multiplo tra due polinomi sono unici, introdurre la divisione con resto senza specificare che ciò ha senso solo per i polinomi in una indeterminata, far usare regole ad hoc, che sono solo casi specifici dei pochi pricincipi generali che valgono per studiare ogni tipo di equazione.
La geometria Nella nostra impostazione alcuni concetti geometrici sono introdotti per via analitica (punto come coppia di numeri reali, traslazione come particolare funzione numerica, …), altri sinteticamente; sono comunque introdotti come modelli matematici che astraggono e generalizzano concetti "fisici", dopo lo svolgimento di riflessioni e attività operative (con strumenti da disegno e di misura) in situazioni "concrete". In questa impostazione il piano euclideo è introdotto come R2 dotato della distanza euclidea. Il cerchio è un concetto introdotto tra i primi e su di esso poggia l'introduzione di vari altri concetti (direzione, funzioni trigonometriche, …). Le direzioni e le misure di aree e lunghezze sono introdotte mediante un uso non formalizzato del concetto di limite (non con considerazioni su "classi contigue" o simili!), in accordo con l'impostazione con cui sono stati introdotti i numeri reali. Le coniche sono introdotte a partire dal cerchio e dai grafici delle funzioni x → ax2 e x → a/x, utilizzando i movimenti piani, lasciando alla fine delle superiori, intrecciato a questioni di visione prospettica, il loro studio come sezioni piane di coni. Vengono introdotte anche altre trasformazioni geometriche, con caratterizzazioni sintetiche e analitiche. Si mettono gradualmente a fuoco le differenze tra argomentazioni intutive e dimostrazioni, si evidenziano i conflitti tra terminologia matematica e linguaggio comune (i diversi significati di angolo, direzione, distanza, curva, …). Questi concetti verranno ripresi e approfonditi dopo il primo biennio, nell'ottica di una ripresa a "spirale" degli argomenti.
La statistica e il calcolo delle probabilità • l'ineludibile legame della statistica con situazioni reali fornisce occasioni per ragionamenti "contestualizzati", valutazioni "intuitive", …, favorendo la partecipazione degli studenti con più lacune tecniche iniziali senza essere noiosa per i "bravi", e consentendo di interagire con i "bisogni" degli adolescenti: può aiutarli a razionalizzare e affrontare problemi di inserimento sociale tipici della fase terminale dello sviluppo (il confronto con gli altri, dal punto di vista dell'aspetto fisico, da quello delle situazioni economica, familiare, …) e quindi costituire anche un elemento di motivazione allo studio della matematica; • i temi della statistica e della probabilità è bene che non siano affrontati in modi troppo separati (la teoria della probabilità è la messa a punto di metodi per trovare, a partire dalle probabilità note di alcuni eventi, quelle di altri: il punto di partenza è in genere un'indagine di tipo statistico per individuare o convalidare alcune valutazioni probabilistiche iniziali); • non sono da privilegiare problemi stereotipati e attività di calcolo combinatorio presentate in forme meccaniche a scapito di attività di matematizzazione e dello sviluppo della mentalità probabilistica; è da privilegiare la capacità di modellizzare problemi con tabelle, diagrammi di Venn, grafi, … piuttosto che la memorizzazione di formule; • ridursi a situazioni inquadrabili come "(n° casi favorevoli)/(n° casi possibili)" forse semplifica l'insegnamento, ma non l'apprendimento; analogamente l'abuso dell'impiego di "a caso" come "a caso con distribuzione uniforme" tende a favorire misconcetti; • è utile far riflettere gli alunni sui pregiudizi da cui sono spesso affette le nostre valutazioni e sulle immagini mentali con cui interpretiamo ciò che vediamo, fare congetture e stime prima di affrontare risoluzioni "rigorose", … • il ricorso al computer è importante sia perché è un modo in cui oggi si fa matematica (si controllano risultati o si fanno valutazioni dispendiose da ottenere per via teorica, si costruiscono rappresentazioni grafiche, …), sia perché per fare una simulazione è necessario comprendere il problema, esplicitare le ipotesi, dettagliare la traduzione da "realtà" a "modello matematico", … • è opportuno implementare sinergie con altri temi matematici, invece che percepire il tema "probabilità e statistica" come "cose in più" rispetto ai vecchi programmi.
Concludendo …
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