• Dato un insieme di oggetti P, che chiamo lettere proposizionali, chiamo enunciati proposizionali gli elementi di P e gli oggetti ottenuti a partire da questi mediante l'applicazione di connettivi (se A e B sono enunciati, anche ¬(A), (A) → (B) sono enunciati, leggibili come "non A" e "A implica B"). Nella pratica matematica non si ha a che fare con "enunciati proposizionali" ma con "formule". Vedi sotto.
• Data una lista numerabile di simboli, che chiamo variabili, e liste (finite o numerabili) di simboli relazionali (o predicativi) [ad 1, 2, 3, … posti], simboli funzionali [ad 1, 2, 3, … posti], simboli di costanti [che potrei, volendo, considerare simboli funzionali a 0 posti], chiamo termini gli atomi, cioè le variabili e i simboli di costanti, e gli oggetti ottenuti a partire da questi mediante l'applicazione di simboli funzionali, formule atomiche gli oggetti ottenuti applicando simboli relazionali a termini e formule le formule atomiche e gli oggetti ottenuti da queste e dalle variabili mediante l'applicazione di connettivi o del quantificatore unversale (se A è una formula ed x una variabile, anche ∀x A è una formula). Possono essere definiti a partire da questi connettivi e dal quantificatore universale altri connettivi e il quantificatore esistenziale: ∃x A sta per ¬∀x ¬A (vedi qui per un'introduzione all'argomento). Il numero di parentesi può essere ridotto usando apposite convenzioni (se una formula A è atomica invece di ¬(A) si può scrivere ¬A, ecc.). Una formula che non contenga variabili libere (ossia variabili che non siano sotto l'azione di un quantificatore, cioè variabili effettive) si chiama enunciato o formula chiusa. Una variabile che sia sotto l'azione di un quantificatore si dice vincolata (o legata) da esso.

Supponiamo che tra le variabili vi siano x, y, u, v.

CALCOLO DEI PREDICATI  (CON IDENTITÀ se ha anche il simbolo predicativo a 2 posti "=")

Assiomi proposizionali

φ → (ψ → φ)
¬ φ → (φ → ψ)
(φ → ψ) → ((¬ φ → ψ) → ψ)
(φ → (ψ → χ)) → ((φ → ψ) → (φ → χ))

Come già detto, oltre a ¬ e → si possono usare altri connettivi, come ∨ ("or", o "vel" in latino) e & ("and"), ponendo φ ∨ ψ come abbreviazione di ¬φ → ψ e φ ∧ ψ come abbreviazione di ¬(¬φ ∨ ¬ψ).
Tutti i teoremi conseguenza dei soli assiomi proposizionali (e della regola "modus ponens" - vedi sotto) sono verificabili (e il loro significato è meglio comprensibile) utilizzando le tavole di verità (vedi qui).

Assiomi di sostituzione  (ne basterebbe uno dei due)

∀x φ → φ(t/x)  per ogni t libero per x in φ (*)
φ(t/x) → ∃x φ  per ogni t libero per x in φ
[ φ(t/x) indica il risultato della sostituzione di t al posto di tutte le occorrenze libere di x in φ ]

  (*) ossia t.c. nessuna occorrenza libera di x in φ è
    nel campo di azione di un ∀z con z variabile in t)

Assiomi dell'identità  (nel caso del c. con identità)

x = x
x = y → (φ → φ(y//x)
[ φ(t//x) indica il risultato della sostituzione di t al posto di alcune occorrenze libere di x in φ ]

Regole, o regole di inferenza (delle ultime due ne basterebbe una)

 φ, φ → ψ   (del taglio, o "modus ponens")
 ————————
    ψ

   ψ → φ    (di generalizzazione)
 —————————
 ψ → ∀x φ        se x non è libera in ψ

   φ → ψ    (di esistenzializzazione)
 —————————
 ∃x φ → ψ        se x non è libera in ψ

Teoria del 1º ordine

Dato un insieme di formule I ed una formula A si dice che A è una conseguenza di I se esiste una sequenza finita di formule A₁, A₂,..., A_n (chiamata prova, derivazione o dimostrazione) tali che, per ogni i tra 1 ed n, A_i appartiene ad I o è un assioma del calcolo dei predicati o deriva da qualche formula tra A₁, A₂,..., A_i-1 mediante l'applicazione di qualche regola.
L'insieme delle conseguenze di I viene chiamata teoria (del 1º ordine), ogni formula di I viene chiamata suo assioma proprio (o specifico) ed ogni sua conseguenza viene chiamata teorema di I.

La teoria del 1º ordine con identità più nota è la cosiddetta aritemica del I ordine, che oltre al simbolo relazionale =, ha come costante 0 e come simboli di funzione S (successore) ad un posto, A (addizione) e M (moltiplicazione) ad due posti e come assiomi propri:

∀x ¬ S(x)=0   (0 è il primo numero naturale)
∀x ∀y (S(x)=S(y) → x=y)   (S è una funzione iniettiva)
∀x A(x,0)=x     ∀x ∀y A(x,S(y))=S(A(x+y))
  (la def. di addizione: x+0=x e x+y'=(x+y)' avendo indicato con k' il successore di k)
∀x M(x,0)=0     ∀x ∀y M(x,S(y))=A(M(x,y),x)
  (la def. di moltiplicazione: x·0=0, x·y' = x·y+x)
e per ogni formula φ (indicatala con φ(x) se in essa è libera la variabile x e indicata con φ(t) l'espressione ottenuta sostituendo le occorrenze libere di x col termine t) l'assioma
φ(0) ∧ ( ∀x ( φ(x) → φ(S(x)) ) → ∀x φ(x)
  (quest'ultimo insieme di assiomi si chiama "schema di induzione").

Esempi relativi all'artimetica del 1º ordine:
atomi:  z, 0
termini:  z, 0, S(0) [1], A(x,S(0)) [x+1], M(S(S(0)),M(S(0),A(S(0),S(S(0))) [2*(1*(1+2))]
formule atomiche:  S(0)=x [1=x], S(0)=A(x,y) [1=x+y)], M(x,y)=S(A(u,v)) [x*y=(u+v)+1]
formule:  ¬ x=0 → ∃y x=S(y)

Schema di assiomi: non solo lo "schema di induzione" ma anche, per esempio, gli "assiomi proposizionali" non sono dei singoli assiomi ma degli insiemi infiniti di assiomi che variano al variare delle formule (φ, ψ, …) che compaiono in essi; per questo sono più propriamente chiamati "schemi di assiomi".