Il teorema XIII di Piero della Francesca

Il teorema XIII rappresenta al tempo stesso un metodo e una dimostrazione per determinare un quadrato in prospettiva, la base indispensabile per la rappresentazione di qualsiasi interno.
Dal punto di vista matematico i "teoremi" di Piero della Francesca sono essenzialmente delle costruzioni argomentate.

Teorema XIII:  il piano degradato in quadro reducere

A = occhio
BCGF = quadrato da proiettare
Suppone che il quadrato BCGF   giaccia su un piano ortogonale al piano di proiezione   il quale, visto in sezione e’ dato dal lato stesso BF.
V = punto di fuga, appartenente alla retta parallela al lato BC del quadrato visto frontalmente passante per A
L.O.: linea di orizzonte
Egli sovrappone due procedimenti   in cui la visione dell’oggetto e’ una volta in sezione e l’altra e’ frontale, e passa senza alcun problema dall’uno all’altro durante la "dimostrazione".
Con il primo approccio determina la degradazione subita dal lato FG del quadrato, misurata sulla sezione del piano di proiezione proiettando su quest’ultima il punto C del quadrato visto frontalmente.
Determina quindi il punto  E  ottenuto dall’intersezione della retta  AC  con la retta  BF.

Quindi passa alla visione frontale:
sfrutta il fatto che le rette parallele ortogonali al piano di rappresentazione confluiscono nel punto di fuga  V  il quale deve appartenere alla linea di orizzonte che in sezione e’ data dalla retta parallela a BC ed uscente da A, la cui posizione precisa la scieglie a piacere,  facendo in modo che la sua proiezione sul lato dal quadrato (frontale) sia il punto medio.
Traccia quindi le congiungenti i punti B e C con il punto  V.
Quindi traccia la retta passante per  E  e parallela a  BC  e individua i punti  F’  G’  sulle rette  BV  e  CV  rispettivamente.
Il quadrilatero ottenuto BCG’F’ e’ il quadrato in prospettiva.