Il teorema XV di Piero della Francesca
La superficie quadrata diminuita, in pił parti equali divisa, quelle devisioni in quadrati producere.
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Sia un quadrato in prospettiva BCED costruito utilizzando il teorema XIII, si divide il lato BC in parti uguali individuando i punti F, G, H, I. Si considerano dunque le rette parallele uscenti da tali punti che, essendo in rappresentazione prospettica, devono confluire nel punto di fuga individuato dalla costruzione iniziale del quadrato. Esse intersecano il lato DE nei punti K, L, M, N. Si traccia la diagonale BE che individua i punti O, P, Q, R intersecando rispettivamente le rette FK, GL, HM, IN. | |
Quindi dal punto O si traccia la parallela al lato BC. Essa interseca la retta BD in S e CE in T. Si procede analogamente per i punti P, Q, R. Si ottiene dunque una suddivisione della retta BD individuata dai punti S, V, y, Z, ed una della retta CE tramite i punti T, X, z, 9. Si osserva inoltre che la retta Z9 interseca le rette FA, GA, HA nei punti 1 [segnato nella figura], 2, 3. Si considera allora il quadrato corrispondente a quello in prospettiva e se ne fa una quadrettatura a partire dalla suddivisione di BC della costruzione precedente. Si traccia la diagonale BD corrispondente a quella del quadrato iniziale. Per la costruzione fatta si opera una corrispondenza tra tutti gli elementi significativi delle due rappresentazioni del quadrato: alle rette FA, GA, HA corrispondono, nel quadrato reale, le parallele spiccate dai punti della suddivisone e ortogonali a BC, ed ai punti di intersezione O, P, Q, R corrispondono i punti di intersezione sulla diagonale del quadrato in forma normale con le ortogonali al lato BC. Se ne deducono [si possono usare le similitudini o il teorema delle proiezioni parallele, ma Piero della Francesca non giustifica questo passaggio] le seguenti proporzioni: AB : AD = BF : DK = FG : KL = AB : AZ = BF : Z1 = |