Il teorema XV di Piero della Francesca

La superficie quadrata diminuita, in pił parti equali divisa, quelle devisioni in quadrati producere.

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Sia un quadrato in prospettiva   BCED   costruito utilizzando il teorema XIII,  si divide il lato BC in parti uguali  individuando i punti F,  G,  H,  I.  Si considerano dunque  le rette parallele uscenti da tali punti che, essendo in rappresentazione prospettica, devono confluire nel punto di fuga individuato dalla costruzione iniziale del quadrato. Esse intersecano il lato DE nei punti K, L, M, N. Si traccia la diagonale BE  che individua i punti O,  P,  Q,  R  intersecando rispettivamente le rette FK,  GL,  HM,  IN.
 Quindi dal punto  O  si traccia la parallela al lato  BC.  Essa interseca la retta  BD  in  S  e  CE  in  T.  Si procede analogamente per i punti P, Q, R.
Si ottiene dunque una suddivisione della retta  BD  individuata dai punti  S,  V,  y,  Z,  ed una della retta  CE  tramite i punti  T,  X,  z,  9.
Si osserva inoltre che la retta  Z9  interseca le rette  FA,  GA,  HA   nei punti  1 [segnato nella figura],  2,  3.
Si considera allora  il quadrato corrispondente a quello in prospettiva  e se ne fa una quadrettatura a partire dalla suddivisione di  BC  della costruzione precedente.
Si traccia la diagonale  BD  corrispondente a quella del quadrato iniziale.
Per la costruzione fatta si opera una corrispondenza tra tutti gli elementi significativi delle due rappresentazioni del quadrato:
alle rette  FA,  GA,  HA  corrispondono, nel quadrato reale,  le parallele spiccate dai punti della suddivisone e ortogonali a  BC,  ed ai punti di intersezione  O,  P,  Q,  R   corrispondono i punti di intersezione sulla diagonale del quadrato in forma normale con le ortogonali al lato  BC.
Se ne deducono [si possono usare le similitudini o il teorema delle proiezioni parallele, ma Piero della Francesca non giustifica questo passaggio] le seguenti proporzioni:
AB : AD  =  BF : DK  =  FG : KL  =  …
AB : AZ  =  BF : Z1  =  …