Per spiegare perché, cambiando i versori mediante la trasformazione geometrica descritta da una matrice M,
il cambiamento nelle nuove coordinate è descritto dalla matrice inversa di M può essere utile riflettere a ciò che accade in casi più semplici.
Data la curva A1 y=f(x), la curva A2 y-k = f(x-h) (ossia y = f(x-h)+k) è traslata orizzontalmente di h e verticalmente di k.
Se prendo come nuovo sistema di riferimento X,Y quello con origine in (h,k) e stesse scale sugli assi, la curva A2 posso descriverla come Y =
In pratica, avendo traslato gli assi di (h,k) le coordinate originali rispetto a quelle nelle nuove coordinate le ottengo aggiungendo rispettivamente h e k:
x = X+h, y = Y+k; e quindi X = x-h, Y = y-k
Nel caso raffigurato y = (x-2)2-1 con X=x-2 (x=X+2) e Y=y+1 (y=Y-1) diventa Y = X2.
In altre parole, rispetto alle nuove coordinate la curva A2 assume l'equazione che avrebbe facendole fare la trasformazione geometrica opposta a quella che ha portato i versori dei vecchi assi (vedi segmenti evidenziati in verde scuro) in quelli dei nuovi (vedi i segmenti evidenziati in rosso).
Analogamente data la curva B1 y = g(x), la curva B2 y = g(x/3) subisce una trasformazione di scala orizzontale di fattore 3. Se prendo come nuovo sistema di riferimento X,Y quello con stessa origine ma scala orizzontale tale che x=3 diventi X=1, ossia con segmento unitario con lunghezza fisica tripla rispetto a prima, la curva B2 posso descriverla come Y = g(X). Dalle nuove coordinate ritorno alle vecchie con x = 3X, e viceversa con X 0 x/3; le ordinate non mutano: Y=y. Anche in questo caso, rispetto alle nuove coordinate la curva ha assunto l'equazione che avrebbe facendole fare la trasformazione geometrica opposta a quella che ha portato i vecchi versori degli assi nei nuovi (il versore dell'asse y, evidenziato in blu, è rimasto uguale, quello dell'asse x è stato moltiplicato per 3: il segmento evidenziato in rosso è stato trasformato in quello evidenziato in verde). |
L'ellisse ((x-2)/2)2 + (y+3)2 = 1 è ottenuta con le trasformazioni Nel nuovo sistema di riferimento X,Y con i versori ottenuti con la stessa trasformazione, l'ellisse diventa Il punto (0,-3) passando nel nuovo sistema diventa (-1,0), mediante le trasformazioni |
Quasi ogni tipo di trasformazione geometrica è realizzabile con R (vedi).