Determino il volume del solido raffigurato a lato, dotato di un asse di simmetria, con la superficie "interna" cilinidrica di raggio uguale all'altezza, una faccia a forma di corona circolare e il resto della superficie a profilo rettilineo, inclinato di 45° rispetto all'asse di simmetria (i semipiani aventi come bordo l'asse di simmetria intercettano sul solido dei triangoli rettangoli isosceli). L (la lunghezza dei cateti del triangolo T) è sia lo spessore della corona circolare che l'altezza e il raggio del cilindro. Suppongo che L=1, ossia uso come unità di volume L3. Posso pensare il solido come un cono circolare retto di altezza e raggio 2 da cui ho tolto un cono di altezza e raggio 1 e un cilindro circolare retto di altezza e raggio 1: ottengo 4π2/3-π/3-π = 4π/3 (ossia 4π/3L3).

	Ora ricavo il volume usando direttamente qualche tecnica di integrazione. Dovrei ottenere lo stesso risultato. Penso il solido come frutto della rotazione di una figura attorno all'asse di simmetria. Nel mio caso posso pensare il profilo della figura • sia come grafico di una funzione F assumendo l'asse di rotazione come asse y • che come quello di una funzione G assumendo l'asse di di rotazione come asse x.
Col secondo metodo (figura a sinistra) penso il solido come somma di tanti anelli (rondelle) di spessore Δx, raggio esterno G(x) e interno 1: la variazione ΔV del volume al passare da x a x+Δx è approssimabile con π(G(x)2-1) (area della corona circolare base dell'anello) per Δx: dV = π(G(x)2-1)dx. G(x) = 2-x. Dato che x varia in I = [0,1], il volume è V = ∫Iπ(3+x2)dx = π(3x+x3/3)x=1 = π(3+1/3) = 4π/3.
Col primo metodo (figura a destra) penso il solido come somma di cilindretti cavi (gusci cilindrici) di spessore Δx, raggio interno x e altezza F(x): la variazione ΔV del volume al passare da x a x+Δx è approssimabile con F(x)Δx (area del rettangolino dalla cui rotazione ottengo il cilindretto cavo) per 2πx (circonferenza del cilindretto): dV = 2πxF(x)dx. F(x) = 2-x (in questo caso particolare F(x)=G(x)). Dato che x varia in I = [1,2], il volume è V = ∫I2π(2x-x2)dx = 2π((x2-x3/3)x=2 - (x2-x3/3)x=1) = 2π(3-7/3) = 4π/3.