La funzione esponenziale è definta su R e gode delle proprietà  (a) exp(h)·exp(k) = exp(h+k)  e  (b) exp(0) = 1.
Proviamo ad estenderla a C in modo che mantenga le stesse proprietà. Dobbiamo avere:

se z = x + i·y con x, y numeri reali, exp(z) = exp(x+i·y) = exp(x)·exp(i·y)

Proviamo a definire:

exp(i·y) = cos(y) + i·sin(y)     (*)

in quanto sappiamo (vedi) che moltiplicare per cos(y)+i·sin(y) un numero complesso equivale a ruotarne di y attorno all'origine il vettore che lo rappresenta.
È conservato
sia il fatto che exp(0)=1, in quanto exp(i·0) = cos(0)+i·sin(0) = 1,
sia quello che  exp(h+k) = exp(h)·exp(k)  (possiamo fare i "conti", ma fermiamoci all'idea che ruotare di α+β equivale a ruotare di α e poi di β).

La formula (*) è nota come formula di Eulero in quanto comparve (e fu ampliamente usata) in un suo scritto del 1748, anche se era già nota da qualche decina d'anni.

Il caso particolare per y = π, sotto riportato, è noto come identità di Eulero; in essa compaiono (solo) le 5 costanti e le 3 operazioni pił famose.

e ^{i π} + 1 = 0