We will use the Product Rule for derivatives to derive a powerful integration formula:

• Start with

  D_x(f(x)g(x)) = f(x)g′(x) + f′(x)g(x).

• Integrate both sides to get
  
  

  f(x)g(x) = ∫ f(x)g′(x) dx + ∫ f′(x)g(x) dx.

• Solve for ∫ f(x)g′(x) dx, obtaining
  
  

  ⌠ ⌡ f(x)g′(x) dx = f(x)g(x) − ⌠ ⌡ f′(x)g(x) dx.

This formula frequently allows us to compute a difficult integral by computing a much simpler integral.
Idea:  cercare di fattorizzare l'integranda come f·D(g) con D(f) (moltiplicato per g) più facile da sottoporre a integrazione, se è facile "vedere" D(g).

We often express the Integration by Parts formula as follows:

Let

Then the formula becomes

To integrate by parts, strategically choose u, dv and then apply the formula.

Example 1

Let's evaluate ∫ xe^x dx.
Idea: cerco di togliermi dai piedi il fattore x sostituendolo con la sua derivata; exp(x) è banale vederla come derivata.

• ∫(f·D(g)) = f·g - ∫(D(f)·g)
    f(x)=x, g(x)=exp(x)
    e^x = D_x(e^x)   xe^x = xD_x(e^x)
    ∫xe^xdx = xe^x - ∫D_x(x)e^xdx = xe^x - ∫e^xdx = xe^x - e^x (+C)

• or:

A Faulty Choice

A Reduction Formula

Example 2
∫ x²log(x) dx = #
Cerco di togliermi dai piedi log(x) che non è facilmente integrabile, a differenza della sua derivata; x² è facile vederlo come derivata:
# = ∫ D_x(x³/3)log(x) dx = x³/3 log(x) - ∫x³/3·1/x dx = x³/3 log(x) - x³/9 (+c)

Example 2'
∫ log(x²+1) / x² dx = #
Cerco di togliermi dai piedi log; x^-2 è facile vederlo come derivata:
# = ∫ D_x(-x^-1)log(x²+1) dx = -x^-1 log(x²+1) + ∫x^-1·1/(x²+1)·2x dx = -log(x²+1)/x + 2∫1/(x²+1) dx = -log(x²+1)/x + 2 atan(x) (+c)

Example 3
∫ x²sin(3x) dx = #
Cerco di abbassare grado di x² rimpiazzandolo con la derivata; sin(3x) è facile da vedere come derivata:
# = ∫x²D_x(-cos(3x)/3)dx = -x²cos(3x)/3 - ∫2x(-cos(3x)/3)dx = #
abbasso di grado la x in:  ∫x cos(3x)dx = x sin(3x)/3 - ∫sin(3x)/3
# = -x² cos(3x)/3 + 2/9 x sin(3x) + 2/27 cos(3x) (+c)

Example 4
∫ sin(x)² dx = #
Posso manipolare l'integranda pensando sin(x) come derivata:
# = ∫sin(x)sin(x) dx = ∫D_x(-cos(x))sin(x) dx = -cos(x)sin(x) - ∫(-cos(x))D_x(sin(x))dx =
-cos(x)sin(x) + ∫1-sin(x)²dx = -cos(x)sin(x) + x - ∫sin(x)²dx
Quindi  2∫ sin(x)² dx = x - cos(x)sin(x)  e infine:
∫ sin(x)² dx = (x - cos(x)sin(x))/2 (+c).
 

Integration by parts ``works'' on definite integrals as well:

Example 5

We will evaluate

x x

• or:  let

⌠ ⌡ 1 0  arctan(x)  dx	=	x arctan(x) ∣ ∣ ∣ 1 0  - ⌠ ⌡ 1 0  x 1+x2   dx
	=	x arctan(x) ∣ ∣ ∣ 1 0   −  1 2 ln (1+x2) ∣ ∣ ∣ 1 0
	=	π 4  - 0  −  1 2 ln(2) - 0
	=	π 4 - ln(   __ √ 2 ).

Sometimes it is necessary to integrate twice by parts in order to compute an integral (in genere per trovare ∫f in termini ancora di ∫f e poi risolvere l'equazione ottenuta rispetto a ∫f):

Example 6

Let's compute ∫ e^xcos(x) dx.

• Idea: D(exp)=exp, exp(x)cos(x) = D(exp)(x)cos(x)
∫exp(x)cos(x) dx = ∫D(exp)(x)cos(x) dx = exp(x)cos(x) + ∫exp(x)sin(x) dx
Procedo in modo analogo sul nuovo integrale:
∫exp(x)sin(x) dx = ∫D(exp)(x)sin(x) dx = exp(x)sin(x) - ∫exp(x)cos(x) dx
Sono riuscito ad ottenere:
2∫exp(x)cos(x) dx = exp(x)cos(x) + exp(x)sin(x) (+C)
∫exp(x)cos(x) dx = (cos(x)+sin(x))exp(x)/2 (+C)

• or:  let

Then ∫ e^xcos(x) dx = e^xsin(x) - ∫ e^xsin(x)  dx.

It is not clear yet that we've accomplished anything, but now let's integrate the integral on the right-hand side by parts:

Now let

So ∫ e^xsin(x) dx = - e^xcos(x) + ∫ e^xcos(x)  dx.

Substituting this into ∫ e^xcos(x) dx = e^xsin(x)-∫ e^xsin(x) dx,

⌠ ⌡ excos(x) dx	=	exsin(x)- -excos(x)+ ⌠ ⌡ excos(x) dx
	=	exsin(x)+ excos(x) - ⌠ ⌡ excos(x) dx.

The integal ∫ e^xcos(x) dx appears on both sides on the equation, so we can solve for it:

Finally,