Lo Jacobiano (pronuncia "iacobiano")

 1      Dalla derivata operando sostituzioni nell'integrazione univariata allo Jacobiano operando sostituzioni nell'integrazione bivariata
 2 a   Esempi di sostituzione nell'integrazione doppia (coord. polari)
    b   Esempi di sostituzione nell'integrazione tripla (coord. sferiche e cilindriche)
 3      La matrice Jacobiana per esprimere il differenziale di una funzione di più variabili

(1)  Una tecnica che si usa spesso nel calcolo di integrali è la sostituzione (cambiamento di variabili). Un esempio semplice come richiamo:
      pongo u = 3x,  ovvero x =u/3, du/dx = 3, dx = 1/3 du, 3·(-3)=-9, 3·2=6  Mi riconduco a:
    ossia a       ...

In generale se pongo u = g(x), ovvero x = h(u), poiché D(h)(u) = dx / du,

ovvero, poiché il differenziale dx è uguale a  D(h)(u) du,  ho:

   ovvero, se q(x) = f(g(x)):

  =

  Nel caso degli integrali multipli il procedimento di cambiamento delle variabili è analogo:

l'integrale di F(x,y) per (x,y) in S

   se pongo x = h1(u,v) e y = h2(u,v), ovvero u=g1(x,y), v=g2(x,y), diventa

l'integrale di F(h1(u,v), h2(u,v)) · |J(u,v)|  per (u,v) in R trasformato di S mediante (g1,g2)

  dove J(u,v) è la matrice, detta Jacobiana, delle derivate prime di h1 e h2:

Tutto ciò si può fare se (h1,h2), ovvero (g1,g2), mettono in corrispondenza biunivoca R e S.

Il determinante della matrice Jacobiana viene chiamato anche lo Jacobiano (di h1 e h2).

In ulteriore analogia col caso univariato, dove abbiamo che du/dx = 1/(dx/du), qui abbiamo che:

    |J(u,v)| = 1 / |J(x,y)|

In modo naturale il procedimento del cambio di variabili si estende agli integrali tripli.

(2)(a) Il cambiamento di variabili più comune è quello in coordinate polari (x=ρcos(θ), x=ρsin(θ)).

##  Integrale su T = {(x,y) : x >=0, y <=0, x^2+y^2 <= 1} (parte nel 4° quadrante del cerchio di centro O e raggio 1) della funzione che a (x,y) associa  x^3·y. Senza cambio di variabili:

infatti:

infatti:

Rivediamolo usando questo cambiamento:

 Le coordinate polari in questo caso sono comode per descrivere il dominio T:

 0 <=  <= 1,  3/2 <=  <= 2 

Lo Jacobiano corrispondente a questo cambio di variabili è ρ; infatti:

Quindi, l'integrale di f(x,y) per (x,y) in T

   se pongo x =  e y =   diventa

l'integrale di        per (,)  in  [0, 1] x [3/2 , 2]

In breve:

(b)  Due frequenti cambi di coordinate nel caso degli integrali tripli: l'impiego delle coordinate cilindriche (figura A, Jacobiano = ρ) e quello delle coordinate sferiche (figura B, Jacobiano = ρ²sin(φ)):

	A
B

Esempio Date le funzioni f(x,y,z) = z e g(x,y,z) = x2+y2+z2 e la regione R sopra al cono z2 = x2+y2 e sotto al piano z = a, a > 0, calcoliamo  ∫R f  e  ∫R g. •  Per il primo integrale usiamo le coordinate cilindriche: x = ρcosθ, y = ρsinθ, z = z.   |J(ρ,θ,z)| = ρ. Il cono ha equazione z=ρ, per cui R è definibile mediante le condizioni 0 ≤ ρ ≤ a, ρ ≤ z ≤ a (e 0 ≤ θ ≤ 2π)
Quindi ∫R z dxdydz = ∫[0,2π] ∫[0,a] ∫[ρ,a] z·ρ dzdρdθ = ∫[0,2π] ∫[0,a] (a2/2-ρ2/2)ρ dρdθ = ∫[0,2π] ∫[0,a] ρa2/2-ρ3/2 dρdθ = ∫[0,2π] a4/8 dθ = πa4/4
•  Per il secondo integrale usiamo le coordinate sferiche (in quanto ci facilitano la descrizione di g):  x = ρ sinφ cosθ, y = ρ sinφ sinθ, z = ρ cosφ.  |J(ρ,φ,θ)| = ρ2sinφ.  Si tratta di un altro ρ rispetto a prima. R è definibile mediante le condizioni 0 ≤ φ ≤ π/4, 0 ≤ ρ cosφ ≤ a, ovvero 0 ≤ ρ ≤ a/cosφ (e 0 ≤ θ ≤ 2π) Quindi  ∫R x2+y2+z2 dxdydz = = ∫R ρ2ρ2sinφ dρdφdθ = 2π ∫[0,π/4] ∫[0,a/cosφ] ρ4sinφ dρdφ = 2π ∫[0,π/4] sinφ a5/(5cos5φ) dφ = 2π ∫[0,π/4] (cosφ)' a5/(5cos5φ) dφ = 2π[a5/(20cos4φ)]φ=0..π/4 = 2πa5/20(1/(1/4) - 1/1) = 2πa5/20·3 = 3πa5/10

(3)  La matrice Jacobiana ha in qualche modo assunto il ruolo che, per i cambiamenti di variabile nel caso univariato (x = h(u), dx = dh(u) = h'(u)du), aveva la derivata h'.

h'(u) du  esprime il differenziale di h, ossia come varierebbe h(u) se u ha un incremento pari a du e se h proseguisse lineramente, ossia avesse per grafico la retta avente come pendenza quella che f ha nel punto u.

La Jacobiana, moltiplicata per il vettore degli N incrementi, esprime sotto forma di matrice il differenziale di una funzione f di N variabili.

Nel caso N=1, e 1 output, ritroviamo il differenziale a noi già noto:

J×H

Nel caso N=1 e 2 output abbiamo:

J × H

Nel caso N=2 e 1 output il differenziale è, analogamente al caso N=1, la variazione che (al variare di x di dx=h e di y di dy=k) avrebbe f(x,y) se proseguisse lineramente, ossia avendo come grafico il piano tangente alla superficie z=f(x,y) nel punto (x,y):

df(x,y) = df(x,y)/dx · h + df(x,y)/dy · k

(il piano tangente in P=(x,y) è  P + df(x,y)/dx · h + df(x,y)/dy · k  al variare di h e k in R).

Se h=cos(θ) e k=sin(θ), df(x,y)/dx · h + df(x,y)/dy · k  è la derivata direzionale nella direzione θ, ossia nella direzione del versore (h,k)

J × H

[Se f è a 1 output, ossia se f è un campo scalare, la matrice Jacobiana coincide con il gradiente di f]

Nel caso N=2 e 2 output (ossia il caso del cambiamento di variabili per gli integrali doppi) abbiamo:

J × H

Per dare una interpretazione geometrica in questo caso, in cui (f,g) rappresenta una trasformazione da R^2 in R^2, si dimostra che il det. della matrice Jacob. è positivo quando la trasformazione conserva il senso delle rotazioni: una curva percorsa in verso orario viene percorsa allo stesso modo nel piano trasformato mediante (f,g). Lo Jacobiano vale 1 o -1 nel caso delle isometrie (traslazioni, rotazioni, simmetrie e loro composizioni).

Nota 1:  date u = u(x,y) e v = v(x,y), per indicare lo Jacobiano si ricorre anche alla notazione:  ∂(u, v) / ∂(x, y)
Nota 2:

∂(u, v) / ∂(x, y) =

| | | |

∂u/∂x

∂u/∂y

| | | |

=

| | | |

∂u/∂x

∂v/∂x

| | | |

in quanto  det(At) = det(A)

∂v/∂x

∂v/∂y

∂u/∂y

∂v/∂y

Nota 3:  date f₁(x₁,x₂,...), f₂(x₁,x₂,...),..., la matrice Jacobiana viene indicata anche [J_ij] dove J_ij = ∂f_i/∂x_j.