Computing Integrals by Substitution

Many integrals are most easily computed by means of a change of variables, commonly called a u-substitution.
The idea is:  per f(g(x))g'(x) posso prendere come antiderivata F(g(x)), se so trovare F t.c. F'=f,
[ proof:  DxF(g(x)) = F'(g(x))g'(x) = f(g(x))g'(x) ]

Example


Let's compute  ∫ 2x(x2-1)4 dx:

g(x) = x2-1,  f(x) = x4,  f((g(x))g'(x) = (x2-1)42x,
D-1(f)(g(x)) = g(x)5/5 = (x2-1)5/5
or by making the substitution:
u = x2-1
du = 2x dx

Then


2x(x2-1)4 dx
=

(x2-1)4(2x dx)
=

u4 du
=
u5
5
+C
=
(x2-1)5
5
+C.

Nota. Si sta usando la convenzione di usare ∫f(x)dx per indicare l'insieme dei termini F(x)+C dove F è una antiderivata di f. Quindi l'equazione precedente sta per:
un termine T tale che Dx(T) = 2x(x2-1)4 deve essere del tipo G(u)+C dove u sta per x2-1 e G è una funzione tale che G'(x)=x4, ovvero per:
un termine f(x) tale che Dx(f(x)) = 2x(x2-1)4 è g(u) tale che Du(g(u)) = u4 dove u ...

We may check this result by differentiating using the Chain Rule:

d
dx



(x2-1)5
5
+C


= 5(x2-1)4
5
(2x) = 2x(x2-1)4.    [ok]

The substitution method amounts to applying the Chain Rule in reverse:

To compute ∫ f(g(x))g'(x) dx, we let

u = g(x)
du = g'(x) dx

Then


f(g(x))g'(x) dx =
f(u) du = F(u) = F(g(x))

where F is an antiderivative of f.

Example

To compute ∫ sin(2x)cos(2x) dx, let

u = sin(2x)
du = 2cos(2x) dx

Then


sin(2x)cos(2x) dx
=

1
2
sin(2x)[2cos(2x) dx]
=

1
2
u du
=
1
4
u2+C
=
1
4
sin2 (2x)+C.

With practice, you will often be able to write down the result immediately.

Example

We can evaluate
dx

(4x-3)2
by letting


u = 4x-3
du = 4 dx →  dx = 1/4 du.

Then


dx
(4x-3)2
=

1/4 du
u2
=
- 1
4u
+C
=
-1
4(4x-3)
+C.

It is not always apparent until you try it whether or not a substitution will work.

Example

To compute


x   ___
x-3
 
 dx,
we will try
u = x-3 →  x = u+3
du = dx

So


x   ___
x-3
 
dx
=

(u+3)   __
u

du
=

(u3/2+3u1/2) du
=
2
5
u5/2+2u3/2+C
=
2
5
(x-3)5/2+2(x-3)3/2+C

We can also compute a definite integral using a substitution.

Example

Let's evaluate


2

0 
xex2 dx.

Let

u = x2
du = 2x dx

First, we will compute the indefinite integral:


xex2 dx
=




1
2
ex2


(2x dx)
=

1
2
eu du
=
1
2
eu+C
=
1
2
ex2+C.

Now we have two approaches for the definite integral:

Approach 1

Substitute back to the original variable:


xex2 dx
= 1
2
eu +C
= 1
2
ex2+C

So

2

0 
xex2 dx
= 1
2
ex2 |
|
|
2


= 1
2
(e4-1).

Approach 2

Change the limits of integration:

Since u = x2, u = 0 when x = 0 and u = 4 when x = 2


2

0 
xex2 dx
=
4   

0 
1
2
 eu du
= 1
2
eu |
|
|
4


= 1
2
(e4-1).

Thus, we find that


2

0 
 xex2 dx = 1
2
 (e4-1).

Approach 2 works provided certain conditions on f and g are met.


b

a 
f(g(x)) dx =
g(b)

g(a) 
f(u) du
if

  1. g' is continuous on [a,b].

  2. f is continuous on the set of values taken by g on [a,b].

Substitutions are useful or necessary for a huge range of integrals. You will find yourself either implicitly or explicitly using a substitution in virtually every integral you compute!

Note.   ∫ F(x+h) dx   by  u = x+h  becames   ∫ F(u) du,  i.e., as we know, if  G'(x)=F(x)  then  G'(x+h) = F'(x+h).
Ex.:  ∫cos(x+5) dx = sin(x+5) [+C]  because  ∫cos(x) dx = sin(x) [+C]

Sosituzione inversa
Spesso può essere naturale pensare invece che a una sostituzione del tipo u = g(x) a una del tipo x = g(u).
Ad es. di fronte a √x/(1+x) dx  si potrebbe pensare di:
prendere  x=u2,  fare  dx = 2u du  e ricondursi a:
2u2/(1+u2) du = 21-1/(1+u2) du = 2(u-arctan(u))+C = 2(√x - arctan√x) + C
Per capire perché la cosa funziona facciamo un esempio dai "calcoli più facili":
Da:  ∫cos(x) dx = sin(x) + C  con x=u3 ho:
∫ cos(u3) dx = sin(u3) + C
Derivo rispetto a u, facendo, a sinistra, la derivata rispetto a x (che coinciderà con il termine sotto integrale) per la derivata di x rispetto a u:
cos(u3)·(dx/du) = d sin(u3) / du
cos(u3)·(3u2) = d sin(u3) / du
da cui integrando rispetto a u:
∫ cos(u3)·(3u2) du = sin(u3) + C = sin(x) + C
cioè  ∫cos(x) dx = ∫ cos(u3)·d(u3)  essendo d(u3) il differenziale di x rispetto ad u (nell'esempio precedente era 2u du).
Quindi, in pratica, si sostituisce e poi si interpreta dx come il differenziale di x rispetto a u.
Se poi si vuole ottenere il risultato in funzione di x occorre che la sostituzione x=g(u) sia invertibile, ossia ricavare u=h(x); questa operazione richiede, evidentemente, qualche attenzione.

Altro esempio:   ∫(1+ex)/(1-ex) dx
La presenza preponderante di ex mi suggerisce la sostituzione u = ex, ossia x = log(u).
dx = 1/u du;   allora ottengo:   ∫(1+u)/(1-u) 1/u du
A questo punto cerco di sbarazzarmi del rapporto tra polinomi di grado 1:
(1+u)/(1-u) 1/u = (1-u+u+u)/(1-u) 1/u = (1 + 2u/(1-u)) 1/u = 1/u + 2/(1-u)
∫(1+u)/(1-u) 1/u du = log(u) - 2 log(1-u)
∫(1+ex)/(1-ex) dx = log(ex) - 2 log(1-ex) = x − 2 log(1−ex)  (+c)

Se provassi a fare il calcolo con un programma di calcolo simbolico (come Maple) potrei otterrere:
      ∫(1+ex)/(1-ex) dx = x − 2 log(ex−1)  (+c).
Chi ha ragione?   Facciamo il grafico dell'integranda (blu) e delle due funzioni soluzione (con c=0) e cerchiamo di capire:
           
Entrambe le funzioni (quella rappresentata in rosso - e quelle ottenibili da essa con traslazioni verticali - e quelle in grigio - e quelle ottenibili da essa con traslazioni verticali) sono soluzioni del nostro integrale: una lo è a sinistra di 0, l'altra lo è a destra. Sia il procedimento "manuale" che quello al computer hanno trascurato dei casi. Il tracciamento del grafico della funzione e delle soluzioni (o l'immaginare come essi sono) ci sono di aiuto per capire la situazione.  Questo è un problema tipico, in cui, affidandosi al puro "calcolo", è facile commettere errori.

Se l'integranda è una funzione razionale di sin e cos può essere comoda la sostituzione t = tan(x/2).
Vedi.


Key Concept [index]

The substitution method amounts to applying the Chain Rule in reverse:

To compute ∫ f(g(x))g'(x) dx, we let

u = g(x)
du = g'(x) dx

Then


f(g(x))g'(x) dx =
f(u) du = F(u) = F(g(x))

where F is an antiderivative of f.