Special Trigonometric Integrals

In the study of Fourier Series, you will find that every continuous function f on an interval [-L,L] can be expressed on that interval as an infinite series of sines and cosines. For example, if the interval is [-π,π ],

f(x) = A0 +
Σ
k = 1 
[Akcos(kx) + Bksin(kx)]
where the constants are given by integrals involving f.

The theory of Fourier series relies on the fact that the functions

1,    cos(x),    sin(x),    cos(2x),    sin(2x),   …,    cos(nx),    sin(nx),    …

form an orthogonal set:

The integral of the product of any 2 of these functions over [-π, π ] is 0.
[2 distinte, ovviamente; invece gli integrali di cos(nx)2 e di sin(nx)2 valgono π]

Here, we will verify this fact.

We will use the following trigonometric identities:

sin(A)sin(B) = 1
2
[cos(A-B)-cos(A+B)]
cos(A)cos(B) = 1
2
[cos(A-B)+cos(A+B)]
sin(A)cos(B) = 1
2
[sin(A-B)+sin(A+B)]

We have six general integrals to evaluate to prove the orthogonality of the set {1, cosx, sinx, …}. In each of the following, we assume m and n are distinct positive integers.

  1.  
    π

     
    1·cos(nx) dx
    = 1
    n
    sin(nx) |
    |
    |
    π


    = 0.

  2.  
    π

     
    1·sin(nx) dx
    = - 1
    n
    cos(nx) |
    |
    |
    π


    = 0.

  3.  
    π

     
    sin(nx)cos(nx) dx
    =
    sin2(nx)
    2n
    |
    |
    |
    π


    = 0.

  4.  
    π

     
    sin(mx)sin(nx) dx
    =
    π

     
    1
    2
    [cos(m-n)x-cos(m+n)x] dx
    =
    sin[(m-n)x]
    2(m-n)
    - sin[(m+n)x]
    2(m+n)
    |
    |
    |
    |
    |
    π



    = 0

  5.  
    π

    π 
    cos(mx)cos(nx) dx
    =
    π

     
    1
    2
    [cos(m-n)x+cos(m+n)x] dx
    =
    sin[(m-n)x]
    2(m-n)
    - sin[(m+n)x]
    2(m+n)
    |
    |
    |
    |
    |
    π



    = 0.

  6.  
    π

     
    sin(mx)cos(nx) dx
    =
    π

     
    1
    2
    [sin(m-n)x+sin(m+n)x] dx
    =
    cos[(m-n)x]
    2(m-n)
    - cos[(m+n)x]
    2(m+n)
    |
    |
    |
    |
    |
    π



    = 0.

We have now shown that {1,  cos(x),  sin(x),  cos(2x),  sin(2x), …} is indeed an orthogonal set of functions!


Fourier series.
Un'espressione della forma:

pn(x) = A0 + n
Σ
k = 1 
[Akcos(kx) + Bksin(kx)]
viene detta polinomio trigonometrico di grado n. Idea: approssimare una funzione periodica F (anche non continua) con un polinomio trigomometrico. Troviamo tra polinomi di grado n quello che meglio approssima F. Supponiamo che il periodo sia 2π. Assumo come distanza quella quadratica media (vedi Serie di funzioni) e mi riconduco a cercare gli A0, A1, B1, ..., An, Bn che rendono minimo:
[-π, π] (F(x) - pn(x))2 dx = ∫[-π, π] F(x)2 dx - 2∫[-π, π] F(x)p(x) dx + ∫[-π, π] p(x)2 dx
Sviluppando e tenendo conto di quanto visto per gli integrali considerati all'inizio di questo documento
[ossia del fatto che 1, cos(nx), sin(nx), al variare di n intero positivo, sono ortogonali, e quindi linearmente indipendenti, nello spazio vettoriale delle funzioni continue su [-π,π] dotate del prodotto scalare f·g = ∫ [-π,π] f(x)g(x) dx, a cui corrisponde la distanza quadratica media]
si ottiene un polinomio di secondo grado in A0, A1, B1, ..., An, Bn che si minimizza dove si assullano le derivate parziali rispetto a A0, A1, B1, ..., An, Bn.
Risolvendo, si trova:
A0 = 1/(2π) ∫[-π, π] F(x) dx,
Ak = 1/π ∫[-π, π] F(x) cos(kx) dx,
Bk = 1/π ∫[-π, π] F(x) sin(kx) dx

Si dimostra, con questa scelta, che pn(x) → F(x) in media quadratica.
A0, A1, B1, ..., An sono detti coefficienti di Fourier e la serie che si ottiene facendo tendere n all'infinito viene detta serie di Fourier.

A0 +
Σ
k = 1 
[Akcos(kx) + Bksin(kx)]

Si dimostra che converge a F(x) anche in ipotesi più generali, ad es. basta che esista [-π, π] F(x)2 dx e F sia dotata di derivata prima continua.

Ecco il grafico di y = (sin(x)+sin(3x)/3+ ... +sin((2N+1)x)/(2N+1))*(4/π), per diversi valori di N. (vedi qui)


Si verifica facilmente che si tratta dello sviluppo in serie di Fourier della funzione F così definita:
F(x) = 1 se 0 < x < π, F(x) = -1 se -π < x < 0, F(0) = F(π) = F(-π) = 0,
F(x+2π) = F(x).

[si trova An = 0 per ogni k; Bk = 0 per k pari, = 4/(πk) per k dispari]

I termini Akcos(kx) + Bksin(kx),  che possono essere scritti anche nella forma  λk sin(kx+αk)   [usa sin(α+β) = sin(α)·cos(β) + sin(β)·cos(α)],   sono funzioni sinusuoidali di frequenza crescente, e sono chiamati, in ordine, prima, seconda, terza, ... armonica.
Il nome deriva dal fatto che, se x è il tempo, tali termini rappresentano dei moti armonici di periodo 2π/n; la sviluppabilità di F(x) in serie di Fourier, se F(x) rappresenta un moto periodico, corrisponde dunque alla possibiltà di decomporlo nella somma di infiniti moti armonici. Tale decomposizione costituisce la cosiddetta analisi armonica di F(x).

Nota. Se F è periodica di periodo 2π gli integrali con cui vengono determinati i coefficienti di Fourier possono essere calcolati, invece che su [-π, π], su [0, 2π] o su qualunque altro intervallo di ampiezza 2π.
Nel caso in cui F sia periodica di periodo T, se ne può fare lo sviluppo in serie di Fourier operando un opportuno cambio di scala. Infatti se pongo u = 2πx/T F(x) diventa F(uT/(2π)); se pongo questo uguale a g(u) ottengo una funzione g di periodo 2π. Integrando (rispetto alla variabile u) trovo i coefficienti di Fourier; ritornando a x ottengo:

F(x) = A0 +
Σ
k = 1 
[Akcos(2kπx/T) + Bksin(2kπx/T)]
con:
A0 = 1/T ∫[0, T] F(x) dx,
Ak = 2/T ∫[0, T] F(x) cos(2kπx/T) dx,
Bk = 2/T ∫[0, T] F(x) sin(2kπx/T) dx   (eventualmente prendendo [h,h+T] al posto di [0,T])

Lo spettro di un raggio solare rappresenta un'analogia fisica delle trasformate matematiche. L'intensità delle luce solare che entra nel prisma varia da un istante all'altro. La luce che lascia il prisma risulta separata spazialmente in colori puri, cioè in frequenze. Un colore è tanto più forte quanto maggiore è l'ampiezza della frequenza corrispondente. Quindi l'intensità, funzione del tempo, è, stata trasformata in un'ampiezza, funzione delle frequenza. Mediante la trasformata di Fourier, che fornisce informazioni anche sulla fase, si può rappresentare un segnale variabile nel tempo come una funzione di frequenza e ampiezza.  (Dall'articolo "La trasformata di Fourier" di Ronald N. Bracewell, in "Le Scienze" n.252, 1989)


Key Concept [index]

The theory of Fourier series relies on the fact that the functions

1,    cos(x),    sin(x),    cos(2x),    sin(2x),   …,    cos(nx),    sin(nx),    …

form an orthogonal set:

The integral of the product of any 2 of these functions over [-π, π ] is 0.