MC - SCHEDA 5                   [schede: 1 2 3 4 5 6 7 8]     [indice schede]
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Sperimentazioni e congetture, tra algebra, geometria e analisi.
L'anello dei polinomi.
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Indice:
5.1  Esempi d'uso di software grafico per attivita` "prova e correggiti"
     es.1  es.2  es.3  es.4
5.2  Esempi d'uso per congetture su proprietà di chiusura di alcune
     classi di funzioni
     es.5  es.6  es.7
5.3  Sui polinomi
     es.8  es.9  es.10  es.11  es.12
5.4  Spunti per riflessioni didattiche.
5.5  Commenti ad alcuni esercizi proposti
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===== 5.1 ==================== [inizio scheda] Se ripercorri velocemente le schede precedenti (soffermandoti sulle parti evidenziate) individui un "filo rosso": l'esigenza che l'insegnamento della matematica abbia e manifesti "senso", ovvero che: le definizioni siano precedute dalla costruzione di (controparti intuitive) dei concetti e/o da attività che ne facciano nascere l'esigenza, e siano anche messe a fuoco le differenze tra concetti intutivi e le formalizzazioni matematiche, siano mantenute relazioni tra ragionamenti sintattici e ragionamenti semantici, ma siano anche evidenziate le differenze tra i due piani, si faccia percepire che vi possono essere modi diversi per definire gli oggetti matematici, a volte equivalenti a volte no, che esistono diversi linguaggi con diverse convenzioni, che possono esservi diversi procedimenti risolutivi per lo stesso problema, i quali possono riferirsi, anche contem- poraneamente, a più aree della matematica, ... tutto ciò anche perché osservare le differenze, passare da un ambiente all' altro, intrecciare rappresentazioni diverse degli stessi oggetti, ... può favorire una comprensione più profonda e una partecipazione più attiva degli studenti, che hanno tra loro stili cognitivi diversi, e che non hanno ancora i riferimenti (a contesti esterni e interni) dell'insegnante. Una delle cose più difficili per chi insegna (in qualunque livello scola- stico) è "decentrare", porsi dal punto di vista di chi le cose non le sa già: il rischio è che l'insegnante, utilizzando inconsapevolmente riferi- menti al proprio bagaglio di conoscenze, esperienze, immagini mentali, ..., sottovaluti le difficoltà di un esercizio, tari male l'impostazione di un argomento, ... non si renda conto degli errori di impostazione e tecnici di un libro di testo (di cui abbiamo già visto qualche esempio) accontentan- dosi che definizioni, dimostrazioni, ... "evochino" cose che l'insegnante sa già, senza riuscire a controllare se viene effettivamente definito, dimostrato, inquadrato, ... qualcosa. Questo potrebbe spiegare la grandisima diffusione di libri di testo scadenti. Nella scheda 4 abbiamo, in particolare, visto l'utilità di intrecciare linguaggi grafici e numerici, ragionamenti algebrici e geometrici, approcci euristici e formali, ..., e, implicitamente, di cambiare l'ordine dato agli argomenti da certe impostazioni tradizionali, in cui il piano cartesiano viene introdotto dopo tutta una serie di attività algebriche astratte (nelle quali, per altro, il problema equazioni viene affrontato dopo attività di manipolazione simbolica avulse da ogni contesto (matematica e non). All'inizio di questa scheda proporremo alcune altre attività volte a illustrare questo intreccio. ** ES.1 ******* Entra in GRAFUN importa il file (di punti) GRAF1 [ MEM - IMPORTARE - SEQ.PUNTI - MC\GRAF1 ] e fai quanto indicato (usa la finestra A per rappresentare GRAF1 [non memo- rizzare il grafico] e usa la finestra B con la stessa scala di A [OPZ - B=A] per G e H; quando ti sembra di aver trovato G e H giuste verifica la cosa mediante sovrapposizione, tracciando i grafici di G e H in A o rappresentan- do il file in B) ******* END es.1 ** [commenti] ** ES.2 ******* Importa il file GRAF2 e fai quanto indicato. Verifica le soluzioni che hai individuato ragionando sulle simmetrie mediante la rappresentazione grafica di E(x,y)=0 [GRAF - PUNTI NON CONG. - NUOVI PUNTI - E(x,y)=0 - ... - ESC] con E(x,y) scelto tra xx+2yy-5, xx+yx+yy-5, xx+yy+xy-3x-3y-2 e xx+yy-xy+3x-3y-2 (se vuoi mantenere sullo schermo l'esempio precedente, usa altre finestre - una per GRAF2, l'altra per i tentativi) ******* END es.2 ** [commenti] ** ES.3 ******* Traccia il grafico di F: x->(x+1)^2-1 in [-3,3]*[-3,3]. Poi definisci G:x->x e, con la stessa scala, senza cancellare, traccia il grafico della curva x=F(t), y=G(t). [GRAF - P(t) - -3<=t<=3 - ...] Che cosa ottieni? Se avessi tracciato il grafico di E(x,y)=0 con E(x,y)= x-(y+1)^2+1 che cosa avresti ottenuto? Prova a esprimere la funzione inversa H di F ristretta a [-1,INF), tracciane il grafico e confrontalo con il grafico della curva ottenuto prima per veri- ficare la correttezza della risposta. ******* END es.3 ** [commenti] Gli esercizi precedenti propongono delle attività in cui, in modi diversi a seconda dei casi, i ragionamenti algebrico e geometrico si appoggiano l'uno all'altro, offrendo reciprocamente spunti e/o aiuti nella individuazione/correzione di errori. Per qualche approfondimento sull'uso di concetti geometrici per descrivere/studiare una funzione e sulle trasformazioni geometriche rimandiamo agli Oggetti Matematici. Si tratta di attività in cui si possono creare dei "conflitti" tra un approccio e l'altro, in cui l'alunno "da solo" può individuare i propri errori e cercare di correggerli, ... e che, per questi aspetti, sono assai utili per costruire più solidamente concetti e atteggiamenti. Gli es. 1 e 2 sono sotto forma di file. È facile preparare esercizi del genere (per Grafun o per Derive), e costruire una banca che gli alunni possono utilizzare per autoesercitazioni. Il seguente esercizio propone l'impiego di file in cui i dati vengono variati in modo casuale automaticamente dal programma. ** ES.4 ******* Da Grafun esegui i demo (presenti nel directory corrente GFU) ESRND1.dm, ESRND2.dm, ESRND3.dm e ESRND4.dm, osserva che al successivo uso dello stesso demo cambiano punti o figure tracciati, e commenta i tipi di esercizi proposti. [ Per azionare i demo seleziona RCL e batti esrnd1.dm o ... Se volessi ulteriori informazioni su come costruire demo o generare valori casuali puoi consultare l'Help di Grafun ] ******* END es.4 ** [commenti]
===== 5.2 ==================== [inizio scheda] Sempre attraverso qualche esempio, presentiamo alcuni spunti di rifles- sione sul ruolo di attività di sperimentazione/congettura, riferendosi ad ambiti tradizionalmente a cavallo tra l'algebra e l'analisi. ** ES.5 ******* Se il grafico di una funzione F e` simmetrico rispetto a una retta vertica- le o a un punto, ha delle simmetrie anche il grafico della pendenza di F? (prova ad arrivare alla soluzione con un ragionamento astratto; verificalo ed eventualmente correggilo facendo qualche esempio con l'aiuto di GRAFUN: fai il grafico di qualche F e della relativa pendenza [GRAF - PEND - ...]) ******* END es.5 ** [commenti] ** ES.6 ******* Definisci H(x)=F(x)+G(x), K(x)=F(x)*G(x), L(x)=G(F(x)) e stabilisci, intrecciando ragionamenti e sperimentazioni (facendo i grafici di H, K e L per diverse scelte di F e G, se ti è utile), se le seguenti classi di funzioni sono chiuse rispetto a +, * e composizione: - funzioni lineari (cioe` aventi per grafici rette) - funzioni quadratiche - funzioni polinomiali - funzioni periodiche ******* END es.6 ** [commenti] ** ES.7 ******* Stabilisci, se è il caso intrecciando ragionamenti e sperimentazioni, se le classi di funzioni precedenti sono chiuse rispetto a derivazione e integra- zione (F -> integrale tra A e x di F; A nel dominio di F). Restringi la classe delle funzioni periodiche alla classe di quelle derivabili. [per il grafico delle funzioni integrali in Grafun: GRAF - AREA - ... ] ******* END es.7 ** [commenti]
===== 5.3 ==================== [inizio scheda] Approfondiamo l'argomento funzioni polinomiali. ** ES.8 ******* Siano A(x)=x^2-2x-3, B(x)=x+1, C(x)=x^3-3x^2+x-3, D(x)=x^2+1. Le divisioni A(x)/B(x) e C(x)/D(x) "fanno" entrambe x-3. Cosi` come di fronte al fatto che 8/2 fa 4 diciamo che 8/2 e` un numero intero, possiamo dire che i termini A(x)/B(x) e C(x)/D(x) sono dei polinomi (in x)? Possiamo dire che x -> A(x)/B(x) e x -> C(x)/D(x) sono funzioni polinomiali? Che cosa sono i loro grafici? ******* END es.8 ** [commenti] ** ES.9 ******* Voglio semplificare (3x^2-9x+6)/(x^2-5x+6). Sviluppo la divisione (quoz.= 3, resto = 6x-12), da cui ho la possibilita` di riscrivere il termine come 3 + (6x-12)/(x^2-5x+6). Mi riduco a semplificare (6x-12)/(x^2-5x+6). Provo a eseguire la divisione (x^2-5x+6)/(6x-12): quoz.=1/6x-1/2, resto = 0, per cui il termine e` scrivibile come: 3 + 1/(1/6x-1/2), ovvero come (...)/(1/6x-1/2). 6x-12 e` un polinomio di grado massimo per cui e` semplificabile (x^2-5x+6)/(6x-12), ovvero (3x^2-9x+6)/(x^2-5x+6). Che cos'e` 6x-12 di 3x^2-9x+6 e di x^2-5x+6? ******* END es.9 ** [commenti] ** ES.10 ******* Apri l'applicazione POLINOMI (da MaCoSa) e utilizzala per calcolare Mcd(3x^2-9x+6,x^2-5x+6). Che cosa ottieni? Procedi analogamente per Mcd(6x,2x^2) e Mcd(x/3,2x^2). Come procede, secondo te, POLINOMI per calcolare Mcd? Entra in DERIVE. Esamina l'help per individuare il nome di funzione per indicare Mcd. Poi calcola: Mcd(6x,2x^2), Mcd(x/3,x/7), Mcd(x/3,2x^2), Mcd((x^3-x)/(x^2+2),x^2). Commenta quanto ottenuto in questo esercizio. ******* END es.10 ** [commenti] Per ricerare il Mcd si potrebbe, anche, utilizzare, sia in Derive che in Polinomi (che però opera solo nel caso di coefficienti non letterali), la fattorizzazione dei due polinomi. Ad esempio per Mcd(3x^2-9x+6,x^2-5x+6) avrei potuto trovare: Fat(A) —> 3(x-2)(x-1) e: Fat(B) —> (x-3)(x-2) e dedurre che posso prendere x-2. Come fattorizzare un polinomio senza usare software [almeno se non è evidente la possibilità di ricorrere ad alcune regole di riscrittura, come di fronte a x^4-1, che, usando t^2-1 —> (t-1)(t+1) con t rimpiazzato da x^2, diventa (x^2-1)(x^2+1) e poi (x-1)(x+1)(x^2+1) ] ? È noto che si può ricorrere alla ricerca dei suoi zeri: ** ES.11 ******* 1) Vuoi fattorizzare A(x) = 4 x^5 - 8 x^4 - 11 x^3 + 22 x^2 - 3 x + 6 [ che con Derive o Polinomi potresti scomporre in 4(x-2)(x^2+1/4)(x-Rad2(3))(x+Rad2(3)) ] disponendo di un programma per tracciare grafici. Per semplicità, e per evitare di fare divisioni "a mano", usa Polinomi con la restrizione a non usare il comando FatNome (o Derive, con l'ulteriore restrizione a non fargli risolvere algebricamente A(x)=0). Procedi così: - fai il grafico di x -> A(x), per individuare graficamente tutte le soluzioni di A(x)=0 (ricorrendo a considerazioni teoriche - quali? - per essere certo di averle individuate tutte); - individua approssimativamente le soluzioni le calcoli con piu` precisone usando il comando 14 (attrX); - scegli una delle soluzioni, k, e dividi il polinomio per x-k; - ... 2) Se il polinomio avesse contenuto un fattore del tipo (x-h)^2 (ma non anche (x-h)^3), per trovare h invece del comando 14 quale comando avresti dovuto usare? ******* END es.11 ** [commenti] Come affrontare, con gli alunni, alcune delle considerazioni teoriche utilizzate per affrontare l'es. precedente? Qualche idea la puoi trovare alla voce funzioni polinomiali degli Oggetti Matematici. ** ES.12 ******* POLINOMI non consente di sviluppare un termine generico: ammette in input e dà come output solo polinomi (a parte la scomposizione di Nome(x) visualiz- zata da FatNome): ha l'obiettivo di stimolare (attraverso i condizionamenti imposti dalle sue limitazioni) lo sviluppo di elementi di padronanza sulle proprietà della classe delle funzioni polinomiali. Come si può ottenere lo sviluppo di (x+1)^7 senza eseguire 6 moltiplicazioni? ******* END es.12 ** [commenti]
===== 5.4 ==================== [inizio scheda] Le attivita` proposte possono suggerire riflessioni didattiche su: - potenzialita` dell'uso del computer per attivita` grafiche (quali sono, sia rispetto alle motivazioni e agli stili cognitivi degli alunni, sia rispetto allo sviluppo e alla comprensione degli speci- fici argomenti?) - intrecci tra geometria, algebra e analisi - dove collocare e come sviluppare il tema "polinomi" - quali sono le abilita` di base oggi importanti, quali sono le tecniche da apprendere e consolidare "esperienzialmente" oggi impor- tanti (in relazione alla - e al come si fa - matematica di oggi, agli studi e alle professioni degli alunni, ...) Pensaci prima di affrontare la prossima scheda.
===== 5.5 ==================== [inizio scheda] ** Su Es.1 Nel commento che appare caricando il file appare il testo di un ESERCIZIO: Rappresenta questa sequenza di punti come PUNTI NON CONGIUNTI in scala auto- matica. Poi definisci F:x->x^2 e trova G e H - del tipo x->q*(F(x-h)+k) - i cui grafici passino per i punti tracciati (per esprimere G(x) e H(x) usa F) I punti che interpolerò con G stanno su una parabola che ha il medesimo vertice di y=F(x), ma un'apertura maggiore: passa per (2,2) invece che per (2,4). Quindi prendo q=1/2 (e h=k=0: non effettuto traslazioni): vedi figura (2,4). Quindi prendo q=1/2 (scalo verticalmente di fattore 1/2) e h=k=0 (non effettuto traslazioni): vedi figura sotto a sinsitra. I punti che interpolerò con H stanno su una parabola che ha vertice in (-1,2), quindi (traslo con passi h=-1 e k=2. Ha la stessa apertura (infatti se dal vertice mi sposto a destra 1 salgo di 1) per cui q=1. ** Su Es.2 Nel commento che appare caricando il file appare il testo di un ESERCIZIO: Rappresenta il file come PUNTI NON CONGIUNTI in scala automatica: sono punti appartenenti a 3 curve. Associa a ogni curva (studiandone le (simmetrie) un' eq. tra: xx+2yy-5=0, xx+yx+yy-5=0, xx+yy+xy-3x-3y-2=0, xx+yy-xy+3x-3y-2=0 La prima equazione è un cerchio di centro (0,0) e raggio Rad2(5) scalato verticalmente - del fattore 1/Rad2(2); è l'unica che può corrispondere alla sequenza di punti sopra indicata con A. Potevo osservare anche che è l'unica equazione compatibile con una figura simmetrica rispetto a entrambi gli assi come lo è A: scambiando x con -x o y con -y l'equazione si mantiene equivalente. I punti B corrispondono a una figura simmetrica rispetto sia a y=x che a y=-x; quindi l'equazione deve rimanere equivalente sia scambiando x con y che sostituendo x con -y e y con -x. L'unica che va bene è la seconda. I punti C sono di una figura simmetrica rispetto a y=-x e non a y=x. Si deduce che va bene l'ultima equazione: -y*-y+-x*-x--y*-x+3*-y-3*-x-2 = yy+xx-xy-3y+3x-2. (la terza eq. rappresenta una ellisse simmetrica rispetto a y=x e non a y=-x) ** Su Es.3 La curva tracciata è il grafico della relazione inversa di y=F(x) per x in [-3,3], che non è una funzione in quanto F non è iniettiva in [-3,3]. Ottengo lo stesso grafico con x=F(y), ovvero x-F(y)=0. La funzione inversa H è definibile con: H(x)=Rad2(x+1)-1 e ha grafico contenuto in quello della relazione inversa. ** Su Es.4 I quattro file propongono esercizi e immagini simili alle seguenti: EsRnd1: F: x-> w+u(x-q) Se possibile definisci u,q,w t.c. il grafico di F passi per i punti evidenziati, e verifica EsRnd2: E(x,y): u(x-q)-v(y-w) Se possibile definisci u,v,q,w t.c. il grafico di E(x,y)=0 passi per i punti evidenziati, e verifica EsRnd3: E(x,y): (x-u)^2+(y-v)^2-q^2 Se possibile, definisci u,v,q t.c. il grafico di E(x,y)=0 passi per i punti evidenziati. Vedi le coord. lato (->) [sullo schermo sono visualizzate anche le coord. dei punti] Verifica graficamente la soluz. EsRnd4: E(x,y): (x-u)^2+(y-v)^2-q^2 u=1 v=-2 Se possibile, definisci q t.c. il cerchio E(x,y)=0 sia tangente al segmento tracciato. Verifica graficam. la soluz. Si tratta di esercizi che possono essere svolti algebricamente (imponendo condizioni e risolvendo sistemi) o utilizzando ragionamenti geometrici: - per il si può trovare la pendenza (q=4/8=0.5) e poi traslare la retta y=qx - passante per (0,0) con tale pendenza, sotto tracciata in rosso - in modo che (0,0) vada a sovrapporsi a uno dei punti evidenziati, ad es. a (-4,1): y=q(x+4)-1; in modo più tradizionale si poteva scrivere (y+1)=q(x+4) (retta per (-4,1) con pend. q); - per il fra i vari modi possibili potrei sceglierne uno simile al precedente o, ad es., il seguente: prendere la retta 3x+4y=12 sotto tracciata in rosso (passante per i punti dati traslati di passi 2 e 4, in modo da andare sugli assi) e traslarla (coi passi opposti): 3(x+2)+4(y+4)=12; - per il posso considerare la retta che passa per il punto dato con pendenza -1/9, ossia perpendicolare al segmento, e intersecarla con questo, poi fare la distanza tra l'intersezione e il punto dato; - per il posso fare l'intersezione tra i due assi e procedere poi come sopra. Il fatto che i punti tracciati siano a coordinate intere facilita la individuazione delle trasformazioni da operare, delle pendenze, ... e agevola l'intuizione geometrica.
** Su Es.5

Osservazione: le funzioni F e  x—>F(x)+k  per
ogni k hanno la stessa pendenza.
Se il grafico ha un asse di simmetria verticale, in
punti simmetrici la pendenza è opposta; quindi il
grafico della funz. pendenza è simmetrico rispetto
al punto di intersez. tra asse di simm. e asse y.
Se il grafico è simmetrico rispetto a un punto, in
punti simmetrici (ossia ottenibili l'uno dall'altro
con una rotazione di 180°) la pendenza è uguale;
quindi la funz. pendenza ha graf. simmetrico risp.
alla retta vert. passante per il centro di simm.
 
Il ragionamento è in accordo con la sperimentazione: sopra sono tracciati
i grafici di x—>(x-2)^2+1, di x—>(x+1)^3-2 e delle loro pendenze.
La cosa potrebbe essere verificata anche con una argomentazione
differenziale.
** Su Es.6 - La somma di funzioni lineari (tra le quali includiamo le costanti) è ovviamente lineare: ax+b+cx+d = (a+c)x+(b+d), il prodotto no, la composizione sì: c(ax+b)+d = (ca)x+(cb+d) - La somma di funzioni quadratiche può non esserlo: x^2+(-x^2)=0, il prodotto è di 4° grado, così come la composizione - Prodotto e composizione di funzioni polinomiali sono polinomiali; la somma lo è se consideriamo polinomio anche il "polinomio nullo" - I casi precedenti potevano essere studiati anche senza far grafici; il caso delle funzioni periodiche è meno facile. Precisiamo che con funzione "periodica" qui intendiamo ogni funzione F per cui esiste almeno un numero T diverso da 0 t.c. F(x+T) = F(x) per ogni x appartenente al dominio di F. Quindi includiamo anche le funzioni costanti, che non hanno un "T" (diverso da 0) minimo. Proviamo a vedere qualche esempio, per studiare il caso della somma. La somma di funzioni sinusoiali (qui con argomento in gradi):
x—>sin(x)+sin(qx)


NOTA: se F ha
periodo T
x —> F(qx)
ha periodo T/q






x—>sin(qx)





x—>sin(x)

        q = 3/7             q = Rad2(2)-1
Se nel fare esempi ci si limitasse al caso q razionale, ci si convincerebbe che x—>sin(x)+sin(qx) è periodica. L'esempio a destra, con q irrazionale, mette in crisi questa congettura. x—>sin(3/7x) ha periodo 360°*7/3, x—>sin(x)+sin(3/7x) ha periodo 360°*7, che è 3 volte il periodo di una e 7 volte quello dell'altra funzione sommata, valore che corrisponde all'ampiezza della parte di grafico di x—>sin(x)+sin(qx) sopra evidenziata in rosso. Consideriamo la funzione F sotto definita (dove con Int si è indicata la parte intera superiore, spesso simbolizzata con [x] - per Grafun è @I):
F(x)=x-Int(x)

x—>F(x)+F(qx)





x—>F(qx)




x—>F(x)

        q = 3/7             q = Rad2(2)-1
In questo caso dai grafici è ancora più evidente che il periodo della funzione somma di F(.), che ha periodo 1, e di F(q.), che ha periodo 7/3, è 7 (pari a 3 volte 7/3 e 7 volte 1). In generale, se F ha periodo M e G periodo N, e il rapporto tra N e M è razionale, ossia se M=kN con k=a/b, a e b interi, si ha: (F+G)(x+bM)=F(x+bM)+G(x+aN)=F(x)+G(x) Se, invece, N/M è irrazionale F+G non è periodica.
  Stesse considerazioni valgono per il prodotto.
A lato è riprodotto il grafico di:
x—>sin(x)*sin(3/7x)
 
  
Per quanto riguarda la composizione, se
   x —>\
 x+T —>/   la prima funzione è periodica,
qualunque sia la seconda funzione la
composizione sarà periodica (se x e x+T
hanno lo stesso output con la prima,
diventano un unico input per la seconda).
Potrebbe accadere che il periodo della
composizione sia un sottomultiplo di
quello della prima, o che la composizione
sia costante: la funzione segno del seno
di x (rappresentata a fianco) ha periodo
360°, se la compongo con la funzione
che a x associa (x-1)(x+1)x ottengo la
funzione nulla.
** Su Es.7 L'unico caso che crea qualche problema è quello dell'integrazione delle funzioni periodiche (è chiaro che derivando una funzione periodica si ottiene una funzione periodica: se il grafico "si ripete" altrettanto accade per la sua pendenza). Sotto, come F, è considerata la funzione seno (con input in radianti), come G la sua funzione integrale da 0 (ossia x —> sin(x-π/2)+1 = 1-cos(x)) e come H quella da π/2. Sembrerebbe che la funzione integrale sia sempre periodica. Ma questo è un caso particolare, in cui F ha grafico che oscilla attorno all'asse x compensando le aree "positive" con quelle "negative". Se considero l'integrazione di G (a destra raffigurata con una scala verticale diversa) a partire da 0 ottengo la funzione K, che è crescente (e quindi non periodica). Se si contestualizza l'integrale ad es. in ambito fisico è difficile cadere in questa errata supposizione: se vario periodicamente la velocità lo spazio percorso non ha delle diminuzioni! NOTA. Con Derive avrei dovuto scegliere (dal menu Calcola) l'integrazione definita dando come primo estremo 0 - o altro valore - e come secondo estremo x. Avrei potuto (azionando Semplifica) trovare anche l'espressione delle funzioni integrali (K(x) è x-sin(x), ovviamente). ** Su Es.8 Vedi le considerazioni su "=" già svolte nella scheda 3 e le osservazioni presenti alla voce funzioni polinomiali degli Oggetti Matematici (il paragrafo a cui ti colleghi cliccando e i due successivi). x—>A(x)/B(x) non è una funzione polinomiale in quanto non definita su tutto R. x—>C(x)/D(x) lo è: come funzione (in senso classico, ossia come insieme di coppie Input,Output, senza tener conto del procedimento di calcolo) coincide con x-3; non è, in senso stretto, un polinomio, ma è equivalente a un polionomio (così come lo è cos(x)^2+sin(x)^2+x); tuttavia, volendo, si può "convenire" di considerarlo un polinomio. Si noti che, tracciando il grafico di x—>A(x)/B(x) con del software non è detto che si veda il buco per x=-1 (con Derive può capitare di vederlo in quanto con scelte "standard" della scala è facile che la tabulazione becchi proprio x=-1; se come B(x) vi fosse un polinomio con uno zero meno "bello" sarebbe assai difficile beccare il buco). ** Su Es.9 Quello qui descritto è l'algoritmo euclideo per la ricerca dei massimi comuni divisori. Vedi la voce funzioni polinomiali degli Oggetti Matematici per una spiegazione più esauriente. ** Su Es.10 Ecco quello che si ottiene con Polinomi (questo è anche quanto si può vedere nella registrazione della sessione di lavoro): A(x)=3x^2-9x+6 B(x)=x^2-5x+6 C=Mcd(A,B) C(x)=x-2 D(x)=6x E(x)=2x^2 F=Mcd(D,E) F(x)=x G(x)=1/3x H=Mcd(G,E) H(x)=x In Derive occorre introdurre l'espressione POLY_GCD(6x,2x^2), POLY_GCD(x/3, x/7) ... (batti solo POLY_GCD, la parentesi la puoi copiare dal testo della scheda). Si ottengono: Mcd(6x,2x^2)=2x, Mcd(x/3,x/7)=x/21, Mcd(x/3,2x^2)=x/3 e Mcd((x^3-x)/(x^2+2),x^2)=x: Derive cerca di determinare anche il mcd dei coefficienti dei polinomi, cosa che (in sé, se non per altri scopi) non ha molto senso, e applica l'algoritmo con cui cerca di farlo anche al caso di polinomi a coefficienti non interi, e a cose che non sono polinomi, con strani esiti. Non è un dramma: basta sapere che si comporta così ... La cosa brutta che in questo modo contribuisce ad alimentare le confusioni che certo insegnamento "tradizionale" crea: il non capire che "massimo" in questo contesto si riferisce al grado e che si trova "un" non "il" mcd, la difficoltà a concepire (e poi operare) su polinomi a coefficienti anche irrazionali,... ** Su Es.11 1) Si può ottenere il grafico seguente, la cui "ambiguità" (attraversa l'asse x più di una volta?) può essere risolta col successivo zoom: Sembra che A(x)=0 abbia tre soluzioni. Ce ne possono essere altre? A(x)=4x^5+... può crescere oltre ogni limite: basta prendere x sufficientemente grande; e può scendere al di sotto di ogni limite: basta prendere x negativo sufficientemente grande in valore assoluto. Ciò è in accordo col fatto che nel grafico soprastante andando verso sinistra il grafico tenda a scendere e andando verso destra tenda a salire. Ma ci sarebbe accordo anche se ci fosse un'ulteriore gobba, ad es. a destra di 2, col grafico che riscende sotto l'asse x e poi risale, in modo che vi siano altri due zeri. A(x) ha grado 5 per cui a priori ciò potrebbe accadere. Ma (si osservi la retta punteggiata nel grafico soprastante) abbassando il grafico (ovvero alzando l'asse x) diventerebbe il grafico di y=A(x)-h funzione polinomiale di grado 5 che avrebbe 7 zeri: assurdo. Si potrebbero fare anche altri ragionamenti elementari diversi da questo per giungere alla conclusione che gli zeri stanno tutti nell'intervallo considerato. Un'altra possibilità è utilizzare il fatto che la pendenza di una funzione polinomiale di grado N è una funzione polinomiale di grado N-1 (cosa che potrebbe essere dedotta anche senza tecniche differenziali). Ecco il seguito: A: radice in [-2,-1]: -1.732050807568877 = - r(3) A: radice in [1,1.9]: 1.732050807568878 = r(3)) A: radice in [1.9,2.1]: 2 B(x)=x-2 C=qu(A,B)=4x^4-11x^2-3 D(x)=x+r(3) ovvero: D(x)=x^2-3 E=qu(C,D)=4x^3-4r(3)x^2+x-r(3) E=qu(C,D)=4x^2+1 F(x)=x-r(3) G=qu(E,F)=4x^2+1 2) Ad es. se G(x)=x^5+x^4-6x^3-6x^2+9x+9 G avrebbe il grafico seguente da cui, anche con zoom (come quello fatto per il caso precedente), non è facile capire quanti attraversamenti o "tocchi" dell'asse x vi siano oltre allo zero in -1. Si può ricorre al comando 15 [ricerca di max o min] e, poi, 5 [calcolo di G(x)]: G: p. di min in [1,2]: 1.732050807568877 = r(3) G(r(3))= 0 G: p. di max in [-2,-1.5]: -1.732050807568877 = -r(3) G(-r(3))= 0 e dedurre che in Rad2(3) e -Rad2(3) l'asse x è tangente al grafico. La scomposizione è dunque 4(x+1)(x-Rad2(3))^2(x+Rad2(3))^2. ** Su Es.12 Occorre comporre x —> x+1 con x —> x^7: A(x) = x + 1 [def: com 1] B(x) = x^7 [def: com 1] C=B(A(.)) [comp: com 12] ottenendo: C(x) = x^7+7x^6+21x^5+35x^4+35x^3+21x^2+7x+1 [inizio scheda] [schede: 1 2 3 4 5 6 7 8] [indice schede]