MC - SCHEDA 7 [schede: 1 2 3 4 5 6 7 8] [indice schede]
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Ancora sulle trasformazioni geometriche, e sui numeri complessi.
Geometria tridimensionale. Algebra lineare.
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Indice:
7.1 Affinità e proiettività (introduzione)
es.1 es.2
7.2 Geometria e Fisica. La misura degli angoli.
es.3 es.4 es.5
7.3 Ancora sulle trasformazioni affini e proiettive. Proiezioni centrali e
parallele. Rappresentazioni prospettiche. Geometria tridimensionale.
es.6 es.7
7.4 Rappresentazione matriciale delle trasformazioni affini e proiettive.
Ancora sui numeri complessi.
es.8
7.5 Ancora algebra lineare: matrici e sistemi
es.9 es.10
7.6 Commenti agli esercizi
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===== 7.1 ==================== [inizio scheda]
Nella scheda precedente avevamo visto alcuni tipi di trasformazioni, che
richiamiamo rapidamente.
Le TRASFORMAZIONI ottenute componendo traslazioni e rotazioni sono dette
movimenti (piani). Volendo si possono includere anche i ribaltamenti, ma
le trasformazioni così ottenute sono più propriamente le isometrie. Ciò
corrisponde all'uso dei menu 1, 2 e 4 del menu TrasfFile di Grafun.
Se si ammettono anche le omotetie (cioè le trasformazioni di scala, menu 3,
con scale per le x e le y uguali) si hanno le similitudini. Se si ammettono
le trasformazioni di scala si hanno le affinità, che mantengono l'allinea-
mento (cioè trasformano segmenti in segmenti), parallelismo e l'eguaglianza
di segmenti paralleli, ma non (sempre) gli angoli di incidenza; ad esempio
un'ellisse qualunque è ottenibile dal cerchio x^2+y^2=1 mediante un'affinità.
** ES.1 *******
Importa il file di punti ES da MC, scegli la finestra A e rappresentalo
nel modo indicato. Cerca di rispondere al quesito contenuto nella descri-
zione del file (pensa a che cosa corrisponde nel piano l'insieme delle
coppie (x,y) per cui si annulla il termine a denominatore di x' e y').
Per controllare la risposta procedi come segue.
Definisci F:x—>Cx (cos), G:x—>Sx (sin) e traccia in B (B=A) il cerchio
x=F(t), y=G(t), t in [0,360]. Quindi definisci H: x —> Fx/(Gx-Fx-q),
K: x —> (Fx+Gx)/(Gx-Fx-q), q=0.5 e traccia la curva x=H(t), y=K(t).
Poi definisci q=R2 e traccia la nuova curva x=H(t), y=K(t).
******* END es.1 ** [commenti]
Tenendo conto di quanto visto nell'es. precedente, affronta il prossimo:
** ES.2 *******
Come viene trasformato il quadrato |x|+|y|=1 da x'=x/(x-1), y'=(x+y)/(x-1) e
da x'=x/(x-1/2), y'=(x+y)/(x-1/2)?
******* END es.2 ** [commenti]
Le trasformazioni degli esercizi precedenti e più in generale del tipo
x'=M(x,y)/D(x,y), y'=N(x,y)/D(x,y) con M, N e D lineari (M(x,y) e N(x,y)
primi con D) mantengono l'allineamento (lo si è visto nell'es. 2 e può
essere verificato sperimentalmente negli altri casi), ma non (sempre) le
altre proprietà citate per le affinità; abbiamo visto che possono trasformare
punti propri in impropri (e un cerchio, oltre che in una ellisse, in una
parabola o in un'iperbole); se due rette hanno un punto in comune, le loro
immagini o si intersecheranno o saranno parallele: avranno un punto in comune
se ci si estende ai punti impropri. Sono le trasformazioni proiettive tra
piani (sono dette anche "omografie" o "prospettività", e rientrano nella
categoria più generale delle proiettività).
Con Grafun, memorizzata una figura sotto forma di file, essa può essere
trasformata analiticamente (usando il menu Calc-TrasfFile-Fun) secondo tutti
questi tipi di trasformazioni, oltre che con altre trasformazioni topologiche
(come quelle conformi e, più in generale, quelle in cui x' e y' sono funzioni
continue di x e y).
Le affinità le abbiamo descritte come "composizioni di ..." e le trasforma-
zioni proiettive in forma puramente analitica. In questa scheda, approfon-
diremo i collegamenti tra questi due aspetti, e tra trasformazioni piane e
questioni tridimensionali (ad es., perché si usa "proiettive"?).
===== 7.2 ==================== [inizio scheda]
Soffermiamoci, prima, sul problema dei collegamenti tra Geometria e FISICA.
Il fatto che la geometria sia nata come rappresentazione dello spazio
fisico (per confrontare distanze ed estensioni, intrepretare posizioni
reciproche tra corpi celesti, ...) fa sì che sia ovvia l'interazione
con la Fisica, come abbiamo già discusso nella scheda 3 (e ripreso nella
scheda precedente). È presente anche in relazione al fatto che quando si
descrivono curve con equazioni parametriche, quando si interpreta l'andamento
di un grafico, quando si parla di movimenti, ... è sottilmente presente anche
la variabile TEMPO. È una presenza che può essere feconda, in quanto ci aiuta
nella modellizzazione o nell'interpretazione dei modelli, o nella
concettualizzazione:
si pensi al concepire/definire una figura come generata dal "movimento" di
un'altra (segmento/semiretta/curva dal movimento di un punto, angolo dalla
rotazione di una semiretta, …, cono/cilindro/cono dalla rotazione di un
triangolo/rettangolo/semicerchio, …).
Può, comunque, creare anche confusioni se, a livello di scuola superiore,
non si chiarisce l'ambiguità della terminologia. Ad es. nel dire che una
semiretta è la figura generata da un punto che trasla con direzione fissata
usiamo "trasla" in senso fisico: in matematica la traslazione indica una
particolare funzione da R^2 in R^2; importa la relazione tra posizione
iniziale e posizione finale, non il modo in cui ci sposta dalla prima alla
seconda; in fisica (e nel linguaggio comune) in genere si intende una figura
che si sposta in modo rettilineo mantenendosi parallela a sé stessa. Occorre
prima o poi passare a: "la semiretta AB è l'insieme dei punti che si
ottengono traslando A con vettori diretti come AB" o a: { A+t(B-A) / 0 ≤ t }
o a: ...
Come esempio di confusione si pensi all'uso del concetto di movimento
che si fa in alcuni libri con impostazione assiomatica senza aver introdotto
assiomi che definiscano implicitamente che cos'è un movimento (questo
esempio è richiamato sia nel primo che nel secondo articolo citati nella
scheda 6.
A sua volta, nell'estensione agli oggetti fisici di proprietà degli oggetti
matematici a volte non si tiene conto della specificità della Fisica. Ad es.
considerare gli spostamenti grandezze vettoriali non è una immediata appli-
cazione delle proprietà delle traslazioni (che possono essere fatte corri-
spondere agli spostamenti consecutivi, non a quelli contemporanei).
La composizione di due spostamenti consecutivi è la situazione prototipo
tipica che viene associata alla addizione tra vettori. L'estensione di questo
modello al caso in cui gli spostamenti non siano consecutivi (la formica che
si muove lungo un foglio con una certa legge oraria - nel caso illustrato
sotto facendo anche un tratto avanti e indietro - e compie lo spostamento
α = B-A, mentre il foglio viene trascinato sul tavolo secondo uno spostamento
β) non è banale (perché la formica, rispetto al tavolo, compie lo sposta-
mento α+β ?) e, quanto meno, dovrebbe essere esplicitata.
Comunque la cinematica è un terreno fecondo per vari intrecci tra
insegnamento/apprendimento della matematica e della fisica, non solo per
quanto riguarda il calcolo differenziale. Due esempi:
** ES.3 *******
Un disco, con un foro centrato nel punto medio di un raggio, rotola.
Descrivi la curva descritta dal foro. Tracciala con Derive o con Grafun.
******* END es.3 ** [commenti]
** ES.4 *******
Ci viene fornita una riproduzione di una successione di fotografie
sovrapposte di una palla da biliardo che cade scattate alla distanza di
0.1 s l'una dall'altra. Come possiamo controllare che la cosa sia
effettivamente così e come possiamo eventualmente trovare la velocità
che aveva la palla al momento del primo scatto?
[se vuoi usa il demo mc\GRAVE.dm per un esempio di "foto"]
******* END es.4 ** [commenti]
Nel momento in cui si voglia introdurre il tema della trasformazioni
geometriche nel biennio si pone il problema di come introdurre le
misure angolari, ovvero l'ampiezza delle rotazioni, che necessitano di
tecniche di calcolo infinitesimale (il concetto di lunghezza d'arco), se
non si vuole rimanere al goniometro, cioè alla geometria "fisica" (si
ricorda, per inciso, che gli angoli possono essere misurati ma non sono
grandezze fisiche: anche in Fisica, per problemi di coerenza formale, gli
angoli sono "numeri puri", le velocità angolari sono espresse in s^-1, …).
** ES.5 *******
Apri la applicazione L-ARCO (dal menu MaCoSa) e prova ad usarla per trovare
la direzione del versore (-0.5, Rad2(3)/2) arrotondata a 8 cifre.
L'uso di questo programma ti suggerisce qualche possibile approccio al
problema della misura degli angoli nel biennio? Tradizionalmente questo tema
come viene affrontato (nel biennio e/o nel triennio) ?
******* END es.5 ** [commenti]
===== 7.3 ==================== [inizio scheda]
Ritorniamo sulle trasformazioni geometriche, collocandole nello spazio
tridimensionale. Rinviamo a un paragrafo di un articolo sul primo
apprendimento geometrico per una trattazione informale di questo aspetto, e,
in particolare, per un'introduzione all'argomento delle proiezioni da uno
spazio tridimensionale su uno spazio bidimensionale.
Le affinità sono interpretabili come
proiezioni parallele tra due piani
(ombre prodotte dai raggi solari),
eventualmente composte con una
similitudine:
se i piani sono paralleli l'ombra è
uguale alla figura, se no è il frutto
di una trasformazione di scala con
fattore 1 nella direzione della retta
di intersezione dei due piani. |  |
Vedremo (dopo l'es.6) che le trasf. proiettive sono interpretabili come
proiezioni centrali (ombre prodotte da una lampadina): dato un punto O e due
piani distinti non passanti per O, associo al punto P del piano 1 il punto
P' intersezione della retta OP con il piano 2.
Questo procedimento è quello con cui vengono eseguite
le animazioni tridimensionali mediante computer (e che
usano le applicazioni per il disegno tridimensionale):
i raggi visivi che collegano occhio e oggetto vengono
proiettati su una "finestra" intermedia. |  |
** ES.6 *******
1) Prova ad eseguire il programma VOLO.bas, presente in 3D.
 |
2) Il programma è realizzato attraverso il
calcolo delle intersezioni tra "raggi
visivi" e "finestra" di cui sopra. Il
programma 3D-Prosp (direttamente azionabile
da MaCoSa) consente di esplicitare le
coordinate dell'occhio O e del punto mirato
M; il piano "finestra" viene preso automa-
ticamente perpendicolare a OM e a una
distanza fissata (modificabile "zoomando");
allo schermo viene associato un rettangolo
del piano-finestra, scelto in modo che OM
lo attraversi al centro.
Vedi l'illustrazione a lato.
La figura da rappresentare è descritta in
un file contenente le coordinate degli
estremi dei segmenti che la compongono; il
file contiene anche le coordinate iniziali
del punto mirato e dell'occhio (ed altre |
eventuali informazioni: salti, cambi di colore, …: se vuoi vedi l'help)
Apri 3D e carica il file Demo1, poi unisci (battuto U) il file Demo2, ...
(seguendo le indicazioni che compiaono sullo schermo).
4) Carica il file CASA (scegli EndNew) e cerca di scegliere l'occhio in modo
da avere una vista frontale della facciata della casa. Poi in modo da vederla
dall'alto, con il tetto che copre (in trasparenza) la base della casa (vedi
figure sotto a sinistra). Poi (scelti EndNew e poi N) costruisci come nuova
figura quella sotto a destra rappresentata da tre diversi punti di vista.
5) Ricarica e trasforma "casa" in modo
da ottenere la figura bidimensionale
raffigurata a lato da due diversi
punti di vista: si tratta della
proiezione di "casa" sul piano yz
[quale comando devi usare?]. |  |
******* END es.6 ** [commenti]
Possiamo a questo punto vedere
perché le proiezioni centrali tra due
piani analiticamente hanno la forma
x'= M(x,y)/D(x,y), y'= N(x,y)/D(x,y)
con M, N e D lineari. Consideriamo
prima il caso della proiezione centrale
tra 2 rette r e r', illustrato a lato
nel caso in cui, fissato come r l'asse
x, il centro sia (7,-3) e r' sia y=x/2:
al punto h su r (se non è 13) viene
associato su r' h'=ck con c = Rad2(5)/2
e k = 6h/(13-h); per trovare k basta
intersecare due rette (r' e il "raggio"
proiettante). Generalizzando r' e il
centro si ottiene una relazione h'=F(h)
con F(x) del tipo (ax+b)/(cx+d). |
 |
Nel caso a 2 dimensioni possiamo riferirci ancora alla figura di sopra,
pensando r e r' come sezioni dei due piani (vedi figura sotto). Le rette
passanti per il centro di proiezione associano a un punto P del primo
piano (π) un punto del P' secondo piano (π'), tranne nel caso in cui il punto
formi con il centro una retta paralella a π' (ossia quando stia sulla retta
passante per il punto "13" di r e parallela alla retta comune ai due piani)
come nel caso dei tre punti evidenziati sotto.
Facendo calcoli analoghi a quelli del caso a 1 dimensione, si ottengono
relazioni che associano le coordinate di P a quelle di P' del tipo
".../(ax+by+c)" con ax+by+c=0 equazione della retta di π i cui punti non
vengono associati a punti (propri) di π'.
 |
Vediamo come rappresentare analiticamente le
affinità. Riferiamoci alla interpretazione come
proiezioni parallele vista sopra. Consideriamo
prima il caso in una dimensione: la proiezione
parallela da una retta su un'altra, come quella
illustrata a lato, determina una relazione x'=F(x)
in cui x' e x hanno variazioni proporzionali (a
segmenti uguali su x corrispondono segmenti uguali
su x'), per cui F è una funzione lineare, ossia
F(x) è del tipo ax+b (—> Oggetti Matematici). |
Analogamente, per il caso bidimensionale si trovano relazioni lineari,
del tipo: x'= ax+by+c, y'=dx+ey+f.
Su questi aspetti ritorneremo, con un approccio diverso, nella sezione 4.
** ES.7 *******
1) Senza uscire da 3D-Prosp, carica il file PROL e fai quanto indicato
nel commento:
Unisci CASA, BINARIO, ORIZZO e zomma (-). Poi unisci prol2.
[ Poi, se vuoi vedere come è stato realizzato ORIZZO, metti l'occhio
in (0,0,3000) ]
Discuti la rappresentazione che ottieni.
2) I raggi visivi che passano per l'"occhio" determinano una trasformazione
proiettiva tra il piano π su cui stanno la base della casa e il binario (z=0)
e il piano π' della "finestra" (rappresentato dallo schermo del computer).
I punti di π' che stanno sull'orizzonte a che cosa corrispondono su π?
3) Carica il file BOH1 e prova a rispondere al quesito. Idem per BOH2.
Si tratta di pezzi di coniche tracciate nel piano xy (vedi figura sotto);
devi cercare di capire di che tipo di coniche si tratta cambiando punto di
vista (occhio e/o punto mirato).
4) Prova a discutere quanto osservato sopra in relazione a quanto visto
nell'es.1 e alla definizione sintetica (come sezioni di cono circolare
retto) delle coniche. In questa attività ti può essere d'aiuto l'utilizzo
delle immagini caricabili con il file CONICHE (e i successivi file che il
commento chiede di unire).
5) Quali utilizzi didattici (in relazione alla geometria tridimensionale,
alle trasformazioni geometriche, ...) si può fare di un programma come PROSP
o di programmi più professionali (CAD, ...)?
******* END es.7 ** [commenti]
La illustrazione seguente richiama un altro tipo di rappresentazione,
studiato a scuola nelle materie grafiche: le assonometrie. Il piano z=4 è
rappresentato sia in prospettiva centrale (a sinsitra) che con una
assonometria, che altro non è che una prospettiva parallela. A destra è
descritta la trasformazione da R^3 in R^2 che corrisponde a questo tipo
particolare di assonometrie (man mano che avanzo di 1 nella direzione x,
nella immagine bidimensionale retrocedo di h nella direzione y e di k nella
direzione z).
Le proiezioni parallele sono casi limite delle proiezioni centrali, come si
vede nell'illustrazione seguente, in cui man mano l'occhio viene allontanato
sempre più dal punto mirato.
===== 7.4 ==================== [inizio scheda]
Abbiamo visto (nella scheda 6) che, se z0 ha la forma polare (Ro,A), z —>z*z0
equivale a una rotazione attorno a (0,0) ampia A composta con una omotetia
di fattore Ro. Da qui si ricava facilmente che una rotazione di ampiezza A
del punto (x,y) è ottenibile col prodotto di MATRICI:
/ cos(A) -sin(A) \ /x\
[infatti (cos(A)+i*sin(A))*(x+iy) = ... ] \ sin(A) cos(A) / \y/
cioè x' = cos(A)*x - sin(A)*y, y' = sin(A)*x + cos(A)*y
/1 0\ /x\ Anche le funzioni scala e le simmetrie sono facilmente interpre-
\0 7/ \y/ tabili matricialmente. Ad es. a lato è considerata la dilata-
zione verticale x' = (x+0y =) x, y' = (0x+7y =) 7y.
La matrice a destra rappresenta invece la simmetria "obliqua" /1 -2h\
rispetto all'asse x e parallela alla retta y=hx (ombra proiet- \0 -1/
tata da raggi diretti come y=hx): x'=x-2hy, y'=-y.
La matrice successiva rappresenta quello che in Paint è /1 tan(A)\
chiamato inclinamento di A nella direzione dell'asse x. \0 1 /
Per comporre trasformazioni di questo genere si possono moltiplicare le ri-
spettive matrici (infatti il prodotto tra matrici è associativo). Quindi
se voglio sottoporre una figura a una sequenza di trasformazioni basta che
calcoli una volta per tutte la matrice prodotto e la moltiplichi via via per
i vettori colonna che rappresentano i punti della figura.
Componendo trasformazioni di questi tipi (ne basterebbero solo alcuni, in
quanto altri sarebbero ottenibili per composizione dagli altri), ovvero
moltiplicando matrici di questi tipi, si ottengono tutte le possibili /a b\
matrici 2*2 a elementi in R non aventi righe (ovvero colonne) tra \c d/
loro proporzionali (c=ha, d=hb, h non 0). La cosa è di verifica diretta,
o mediante i determinanti (sono matrici con determinante diverso da 0 e
quindi anche la matrice prodotto, che ha come determinante il prodotto dei
determinanti, ha determinante non nullo). Oppure pensando al significato
geometrico: se le righe fossero proporzionali il piano di partenza verrebbe
trasformato in una retta, e nessuno di tali tipi di trasformazioni dà luogo
a questa patologia.
Queste trasformazioni da R^2 in R^2 non sono altro che gli isomorfismi
di spazio vettoriale da R^2 in R^2 (conservano la somma di vettori, il
prodotto per scalari e mandano solo (0,0) in (0,0)). x' = ax + by (+ h)
Se aggiungiamo la possibilità di comporre traslazioni y' = cx + dy (+ k)
abbiamo tutte le affinità, ritrovando la descrizione
analitica a cui eravamo pervenuti diversamente nella sezione precedente.
Ma le traslazioni non sono descrivibili matricialmente nel modo precedente:
moltiplicando per il vettore (x,y) non posso ottenere coefficienti senza x o
y (gli h e k del sistema soprastante). Per estendere i vantaggi della rappre-
sentazione matriciale alle traslazioni si possono introdurre le coordinate
omogenee (normalizzate, cioè con z=1), che in prima battuta possiamo pensare
come "artificio" per realizzare questa cosa.
Rappresento (x,y) come terna (x,y,1) e /1 0 h\ /x\
la traslazione di passi (h,k) come: | 0 1 k | | y |
\0 0 1/ \1/
Le altre trasformazioni /a b\ /x\ diventano: /a b 0\ /x\
\c d/ \y/ | c d 0 | | y |
\0 0 1/ \1/
Una trasformazione di questo genere seguita da una traslazione dà luogo
alla matrice: /1 0 h\ /a b 0\ /a b h\
| 0 1 k |*| c d 0 | = | c d k | che corrisponde al sistema
\0 0 1/ \0 0 1/ \0 0 1/ considerato sopra. Le matrici
di tale forma con determinante di /a b\ non 0 sono (tutte le) affinità.
\c d/
Ovviamente le trasformazioni proiettive (vedi) possono essere espresse
come: /a b c\ /x\ (poi, normalizzando, si trovano x' e y').
| d e f | | y | Ad es. la trasformazione dell'es.1 per q = 0.5
\g h i/ \1/ corrisponde alla matrice:
Infatti tale matrice per il vettore colonna (x,y,1) / 1 0 0 \
dà il vettore colonna (x, x+y, y-x-0.5) che, norma- | 1 1 0 |
lizzato, diventa (x/(y-x-0.5), (x+y)/(y-x-0.5, 1). \-1 1 -.5/
La matrice generica dà luogo a:
x' = (ax+by+c)/(gx+hy+i), y' = (dx+ey+f)/(gx+hy+i).
Occorre che il determinante della matrice abbia determinante non nullo.
Nel primo caso dell'es.2 la matrice corrispondente è: /1 0 0\
Vediamo che cosa accade in coordinate omogenee al punto | 1 1 0 |
(1,0), che diventava un punto all'infinito. Se moltiplico \1 0 -1/
la matrice per il vettore colonna (1,0,1) ottengo (1,1,0).
 |
A questo punto proviamo a interpretare spazialmente
il "trucco" delle coordinate omogenee. Dato (x,y)
punto del piano si dicono sue coordinate omogenee ogni
terna del tipo (kx,ky,k) con k non 0. Pensandola nello
spazio tridimensionale, questa terna al variare di k
rappresenta una retta passante per (0,0,0) e per
(x,y,1), dalla quale tolgo (0,0,0). Questa retta, cioè
la retta (0,0,0)-(x,y,1), rappresenta il raggio visivo
con cui da (0,0,0) vedo il punto (x,y) del piano di
quota 1. La retta (0,0,0)-(x,y,0), cioè quella formata
dai punti (kx,ky,0) al variare di k, non interseca il
piano di quota 1, ma è ad esso parallela. Posso |
pensarla come la posizione limite che tende assumere il raggio visivo con
cui guardo da (0,0,0) un punto che nel piano di quota 1 si muove nella
direzione del vettore (0,0)-(x,y) allontanandosi sempre più da (0,0).
Tornando all'es.2, il punto (1,1,0) rappresenterebbe nel piano la
bisettrice del primo quadrante: i lati del quadrato che avevano in comune
l'estremo (1,0) sono stati trasformati in semirette che hanno in comune il
punto in coordinate omogenee (1,1,0), il punto all'infinito che rappresenta
la loro, uguale, inclinazione. |
 |
Anche 3D-Prosp usa le matrici: dato l'occhio e
il punto mirato, trova le matrici (4*4 in quanto siamo
in R^3) che corrispondono alla traslazione, le
due rotazioni e la simmetria che fanno sì che alla
fine l'occhio coincida con l'origine, lo sguardo sia
diretto come l'asse z, la finestra di vista (che
corrisponde a ciò che si vede sullo schermo) abbia
lati paralleli agli assi x e y, e l'immagine non
appaia capovolta se (vedi figura) si prendono come
coordinate u e v dei punti che costituiscono
l'immagine le x ed y delle intersezioni dei raggi
visivi che congiungono O con i punti che costituiscono
l'oggetto osservato. Poi calcola una volta per tutte
la matrice prodotto e la usa per determinare via via i
trasformati (u,v) dei vari punti. |
** ES.8 *******
Abbiamo visto intrecci nuovi (rispetto all'insegnamento "tradizionale",
non rispetto allo sviluppo della matematica) tra numeri complessi, geometria
e algebra.
Le attività svolte ti suggeriscono possibili nuovi modi per introdurre e
svolgere l'argomento dei numeri complessi, e quello delle proprietà delle
funzioni circolari?
Ti sembra significativo sviluppare, in modo più generale rispetto alla
tradizione, l'argomento dell'algebra lineare?
******* END es.8 ** [commenti]
===== 7.5 ==================== [inizio scheda]
Le matrici sono molto comode non solo per le trasformazioni geometriche, ma,
più in generale, per esprimere calcoli riferiti a più variabili (ovvero a
una variabile n-dimensionale) in modo sintetico, ad es. in calcolo numerico,
statistica, ... . Anche i comandi per usare vario software matematico appli-
cativo le utilizzano. È quindi da valutare l'opportunità didattica di far
prendere una certa confidenza con esse anche nella scuola secondaria superio-
re. In questo modo, per altro, verrebbero messe in luce analogie (si pensi ad
es. tra equazioni e sistemi lineari) che offrono una visione più generale,
storicamente più dinamica e concettualmente meno meccanico/nozionistica
della matematica.
** ES.9 *******
1) Entra in DERIVE, utilizzando Crea (Declare nella versione Dos) introduci
due matrici 2*2 (in #1 e in #2) e (in #3) batti #1*#2. Per introdurre le
matrici puoi anche battere direttamente espressioni del tipo:
[[a,b],[c,d]] (vettori di vettori). Poi semplifica (espandi) il prodotto #3.
2) Prova a usare Derive per risolvere (usando solo il calcolo matriciale)
il sistema lineare 5x+6y-z=1 AND 2x-y+8z=2 AND 7y+z=0 (il sistema è inter-
pretabile come A*X=B con A matrice dei coefficienti del sistema omogeneo,
X vettore colonna (x,y,z), B vettore colonna dei termini noti; quindi, mol-
tiplicando a sinistra entrambi i membri per A^-1, ...).
[traccia scrivi, ad es., in #5 A, in #6 B, in #7 #5^-1*#6 e, infine,
espandi]
******* END es.9 ** [commenti]
** ES.10 *******
Il calcolo matriciale, come hai visto, con Derive è assai facile. Per con-
getturare le proprietà delle matrici può, tuttavia, essere più comodo
usare una applicazione che consenta facilmente di generare matrici con
elementi scelti a caso. Vediamo ad es. la applicazione MATR (azionabile
direttamente da MaCoSa).
1) Usala per risolvere nuovamente il sistema dell'es. 9 (input a 3*3,
input b 3*1, c=i(a), d=c*b, print d, fr d)
2) Usala per studiare sperimentalmente la commutatività e la associatività
della moltiplicazione tra matrici quadrate, trovare il legame che lega i
determinanti di una matrice e della sua inversa, trovare che accade al
determinante di una matrice se si scambiano delle colonne o delle righe,
o se le si combinano, ...
******* END es.10 ** [commenti]
===== 7.6 ==================== [inizio scheda]
** Su Es.1
Il testo dell'esercizio è presente nel file stesso:
' Figura da rappresentare a Punti Cong. in [-4,4]*[-4,4].
' Scegli tra 1/2 e R(2) i valori da dare a q affinché la trasf. x'=x/(y-x-q)
' y'=(x+y)/(y-x-q) mandi il cerchio nell'una e nell'altra curva disegnata.
Si ottiene la rappresentazione sotto a sinistra:
La trasformazione (che è continua) non è definita nei punti del cerchio in
cui y-x-q=0, ossia nei punti di intersezione tra cerchio e retta y=x+q
(seconda figura sopra). Se q=Rad2(2) la retta tocca il cerchio in un punto A;
muovendosi sul cerchio man mano che un punto (x,y) si avvicina a A sia x' che
y' tendono all'infinito: A viene, in altre parole, trasformato in un punto
all'infinito; la curva chiusa iniziale viene trasformata in una curva aperta
e illimitata. Se q=1/2 vi sono due punti di intersezione C e D: questi punti
del cerchio sono trasformati in punti all'infinito, e il cerchio viene
trasformato in 2 archi illimitati. Se q>Rad2(2) (figure a destra) il cerchio
viene trasformato in una curva chiusa (lo stesso accade per x<Rad2(2)).
Le immagini del cerchio, nei tre casi, sono una parabola, un'iperbole e
un'ellisse. Su ciò ritorneremo. Osserviamo solo che i punti all'
infinito corrispondono alla direzione dell'asse della parabola (la
direzione a cui si tende sulla parabola allontanandosi dal vertice) e alle
direzion1 dei due asintoti dell'iperbole.
** Su Es.2
A lato la figura e i suoi due
trasformati: un quadrilatero aperto
e illimitato per la trasformazione
"x/(x-1),(x+y)/(x-1)" (il punto (1,0)
diventa improprio e i lati che lo
hanno in comune diventano semirette
parallele), un quadrilatero aperto
e illimitato e due semirette con
l'origine in comune, con direzioni
opposte a quelle delle semirette
dell'altra parte di figura, per la
trasformazione con "/(x-1/2)" |
 |
La figura è stata tracciata come E(x,y)=0 e le trasformazioni sono state
ottenute con Calc-TrasfFile-Fun (la figura non è stata ottenuta mediante
PuntiCongiunti e il tracciamento dei vertici altrimenti il programma avrebbe
trasformato solo questi quattro punti e non gli altri punti che formano la
figura).
** Su Es.3
x = t/360*2π+cos(-t)/2, y = sin(-t)/2, operando in gradi: dopo che il disco
è ruotato (in senso orario) di t°, il foro, rispetto al centro del disco,
è in x=cos(-t)/2, y=sin(-t)/2; nel frattempo il disco è avanzato di t/360*2π.
Per tracciare la curva con Derive, se non modifichi le equazioni, da
Dichiara-Stato-Semplificazione imposta l'uso dei gradi invece che dei
radianti. La curva deve essere descritta come "vettore":
[ t/360*2π+cos(-t)/2, sin(-t)/2 ]
Con Grafun definisci F(x)=x/360*2p+uC(-x), G(x)=uS(-x), u=1/2 (variando u
puoi studiare il moto per diverse collocazioni del foro) e poi chiedi il
tracciamento di x=F(t), y=G(t).
Se apri il demo mc\MOTI.dm puoi vedere anche una visualizzazione animata
del disco che rotola:
Modificando una riga del demo si possono ottenere le rappresentazioni per
le altre possibili disposizioni del foro. Ecco l'inizo del demo:
'*Moto di un foro che dista U dal centro di un disco di raggio 1 che rotola.
'*Istantanee quando ha ruotato (in gradi) di Q = 0, 30, 60, 90, ...
'*Puoi modificare U (18^ riga successiva a questa) |
]1
]1
]c(x)+q/360*2p
]f
]1
]s(x)
]g |
]1
]c(x)/10+q/360*2p+uC(-q)
]h
]1
]sx/10+us(-q)
]k
]2 |
]0
]q
]2
]1/2
]u
]& |
Per il foro collocato sul bordo (U=1):
** Su Es.4
Riporto tempi (in s) e spazi (in m) sul piano cartesiamo e verifico se per
qualche q la curva y = 9.8x^2+qx approssima "bene" i punti sperimentali; q è
l'eventuale velocità iniziale in m/s.
Facendo riferimento alla "foto" del demo (quadratini sotto a sinistra) posso
valutare in 0.3, 0.8, …, 10.6 gli spazi in m, arrotondati ai decimi, percorsi
dalla palla. Tracciando il fascio di parabole al variare di q sugli interi
verifico che per q prossimo a 3 si ha un buon accordo. Tenendo conto che la
indeterminazione sugli spazi è di 0.1 m (ad es. la valutazione 10.6 sta per
l'intervallo [10.55, 10.65]) posso procedere incrementando q man mano di 0.1.
Trovo che va bene q tra 2.9 e 3.0. Non ha senso cercare una precisione
migliore in quanto incrementi più piccoli di q danno luogo a spostamenti
della curva trascurabili rispetto alla indeterminazione degli spazi.
In definitiva la velocità iniziale è 3.0±0.1 m/s (11 km/h).
** Su Es.5
Schermata iniziale del programma:
Programma che, scelto un punto P sul cerchio di centro O=(0,0) e raggio 1, se
A=(1,0), genera approssimazioni man mano migliori della LUNGHEZZA L dell'arco AP
Osserva che ad ogni uscita l'incremento di L e` circa 1/10 del precedente.
Questo ti consente di stabilire la precisione della approssimazione.
Ad esempio per P=(-1,0) ottieni:
L incremento di L
... ...
3.13996694329219 1.142263E-02 (0.011..)
3.141389590749036 1.422648E-03 (0.0014..)
3.141567275331774 1.776846E-04 (0.00017..)
L'ultimo incremento e` stato pari a circa un aumento di 2 unita` della cifra di
posto -4, il successivo sara` pari a circa un aumento di 2 unita` della cifra di
posto -5, ... . Da 3.141567.. potro` passare a 3.14158.. o a 3.14159.. .
Posso quindi prendere 3.1415 come troncamento di L o 3.1416 come suo
arrotondamento.
Alle domande con risposta SI/NO batti 1 come SI, 0 (o solo 'a capo') come NO
Suo uso per affrontare l'esercizio:
xP (ascissa di un punto P sul cerchio di centro (0,0) e raggio 1)? -.5
yP>0 (batti 1) o yP<0 (batti -1)? -1
n.tratti L incremento di L
1 3 3 smetto?
4 4.076325170912679 1.076325 smetto?
16 4.174952503952865 9.862734E-02 smetto?
64 4.187064431341841 1.211193E-02 smetto?
256 4.188574544583902 1.510113E-03 smetto?
1024 4.188763246193935 1.887016E-04 smetto?
4096 4.188786834748837 2.358855E-05 smetto?
16384 4.188789783513807 2.948765E-06 smetto?
65536 4.188790152125994 3.686122E-07 smetto? 1
L'arrotondamento richiesto è 4.1887902 (i successivi incrementi a partire da
4.188790152125994 non superano 5E-8), ovvero (moltiplicando per 180/π)
240.00000°.
L'uso di programmi di questo genere (qui in versione compilata, ma che è
facile realizzare in un qualunque linguaggio di programmazione, o, in modo un
po' più complicato, con un foglio di calcolo) è alla portata di un biennio
di scuola secondaria superiore, se (come dovrebbe essere) si è affrontato
il tema delle approssimazioni. La problematica potrà poi essere eventualmente
sistemata in modo più rigoroso nel triennio (con opportuni concetti di
analisi infinitesimale). Per un'idea di come può essere affrontata la misura
degli angoli nel biennio si può vedere la voce "direzioni e funzioni
circolari" degli Oggetti Matematici, già citata nella scheda precedente).
"Tradizionalmente", il problema della misura degli angoli non viene
affrontato, o, meglio, se ne nasconde l'esistenza (in quanto problema
matematico).
** Su Es.6
4) Ad es. O=(100,0,1) per la vista frontale della casa e O=(0,0,100) per
quella dall'alto
Successione di punti che dà luogo alla piramide raffigurata:
(1,1,0) (3,1,0) (3,3,0) (1,3,0) (1,1,0) (2,2,2) (3,3,0) (3,1,0) (2,2,2) (1,3,0)
5) Usando il comando "F:trasf" si avvia la possibilità di applicare alla
figura una trasformazione x'=ax+by+cz+d, y'=ex+fy+gz+h, z'=ix+jy+kz+l (che se
il determiante della matrice costituita dai coefficienti
di x, y e z non è 0 è una affinità, come vedremo). Per
ottenere la proiezione su yz basta azzerare x: x'=0, y'=y,
z'=z. Se, invece, avessimo voluto ottenere la figura a
lato, ossia la proiezione su y=x, avremmo preso:
x'=0.5x+0.5y, y'=0.5x+0.5y, z'=z |  |
** Su Es.7
1-2) Si ottiene:
Il punto "all'infinito" direzione-del-binario viene trasformato in un punto
proprio (del piano di proiezione), come nella figura dopo l'es. 6 accade per
la direzione di r' che viene associata al punto 13 di r: se da (7,3) osservo
e disegno, "ricalcando", r' su un vetro collocato lungo r, nel disegno la
retta r' viene trasformata in una linea che termina nel punto 13. Lo stesso
accade tracciando sul vetro l'immagine di un'altra retta parallela a r'.
I prolungamenti dei lati di base della casa vanno a confluire su altri punti
del piano di proiezione, ma che stanno sulla stessa retta: ogni retta che sta
sul piano-terra va a confluire in un punto di quella retta: l'orizzonte. Lo
stesso accade per le rette che stanno su piani paralleli al piano terra,
come nel caso dei prolungamenti dei lati di base del tetto. Rette parallele
vanno a confluire nello stesso punto del piano di proiezione.
I prolungamenti dei lati non orizzontali del tetto vanno a confluire su un'
altra retta in quanto stanno su un piano non parallelo al piano terra.
| | | |
3) |  |
|
Sopra è riprodotto come si vedono le due coniche da due
altri punti di vista. Nel caso della seconda conica il
punto di vista iniziale corrispondeva (vedi figura a
lato) a osservarla con l'occhio sull'asse z e lo sguardo
diretto come la bisettrice del 1° quadrante del piano xy. |  |
4) Sotto a sinistra è riprodotto che cosa si ottiene alla fine del
caricamento di coniche1, coniche2 e coniche3. Se disponiamo l'occhio e
indirizziamo lo sguardo nei due modi A e B indicati al centro, otteniamo le
immagini riprodotte a destra. In un caso ogni conica ci appare come un
cerchio o un cerchio bucato o un semicerchio; ciò aiuta a interpretare
quanto visto in 3) per la prima conica. Nell'altro caso si vede come una
ellisse ci può apparire come una retta; è una situazione analoga alla
seconda considerata in 3).
5) Son evidenti, da tutti gli esempi visti, l'uso intrecciato di concetti e
tecniche algebriche e geometriche, la possibilità di sperimentare e
congetturare, le motivazioni alla matematica per capire come funzionano/come
usare strumenti analoghi a quelli impiegati professionalmente per realizzare
animazioni tridimensionali, l'integrazione tra tecniche e concetti e tra
forme di apprendimento/comportamento mentale esperienziali e riflessive, la
possibilità di sbagliare, far emergere conflittualmente le proprie
misconcezioni e cercare di correggersi da soli, le possibilità di costruire
ponti con altre discipline, ... che programmi come questi possono offrire.
La geometria tridimensionale, in genere trascurata, può trovare nuove
forme di collegamento con la geometria piana.
Anche le coniche possono essere presentate in un modo diverso, senza per
questo trascurare i collegamenti con altri modi di presentazione, come quelli
discussi nella scheda precedente (es. 4) e quelli basati sul concetto di
luogo geometrico. Nella cartella GEO puoi trovare diversi "demo" che
illustrano questi aspetti. Sotto (A) e (C) sono immagini tratte da due di
questi demo. Invece (C) illustra come si può studiare parametricamente un
luogo geometrico (variando man mano q o utilizzando il demo FASCIO3.dm; il
cerchio è il caso limite per q che tende a 0).
** Su Es.8
I numeri complessi in genere vengono introdotti solo rifacendosi alla
opportunità di poter trovare soluzioni per tutte le equazioni polinomiali,
senza che tale opportunità sia motivata (solo alcuni di coloro che
proseguiranno gli studi saranno poi in grado di comprenderla), mentre una
introduzione che faccia riferimento ai collegamenti tra numeri complessi,
trasformazioni geometriche e trigonometria potrebbe essere più significativa
anche in relazione agli usi della matematica nelle discipline tecnologiche.
Abbiamo già discusso i collegamenti con le trasformazioni geometriche.
Per quanto riguarda i collegamenti con la trigonometria si pensi alle
formule di addizione ricavate (e richiamabili alla memoria) usando il fatto
che moltiplicando due numeri complessi si sommano le anomalie:
cos(A+B)+i*sin(A*B) = (cos(A)+i*sin(A))*(cos(B)+i*sin(B)) =
cos(A)*cos(B)-sin(A)*sin(B) + i*(sin(A)*cos(B)+sin(B)*cos(A))
In rete si può anche vedere un esempio di unità didattica per il triennio
sui numeri complessi.
Alcune riflessioni sull'algebra lineare sono sviluppate nel paragrafo
successivo. Confrontale con le tue riflessioni.
** Su Es.9
Se incontri difficoltà usa l'help ed esamina gli esempi.
** Su Es.10
input a 3*3
5 6 -1
1 -1 8
0 7 1
input b 3*1
1
2
0
c=i(a) | | d=c*b
print d
.2785235
-3.020134E-02
.2114094
fr d
83/298
-9/298
63/298 |
- - - - |
rnd a 4*4
rnd b 4*4
c=a*b
d=b*a
fr c
1 26 -9 24
0 14 33 9
1 10 -10 8
8 2 -2 7 | | fr d
-16 -26 -12 6
-30 12 6 9
51 9 3 -5
-3 30 15 13
det a -264
det b -66
det c 17424
e=i(a)
det e -3.787879E-03 (-1/264) |
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