Lezioni sulla formazione di costi e prezzi

La formazione dei costi

    Di seguito è riportata una breve sintesi del lavoro fatto in classe. Grafi, grafici e schemi sono analoghi a quelli presentati, per altre attività produttive, nell'u.d. Modelli Matematici per l'Economia del progetto MaCoSa.
    Inizialmente è stata presentata un'attività ristorativa.
    "Dacci un taglio" è un negozio, situato in Albisola (SV), che produce e vende al taglio pizza e farinata. È aperto tutto l'anno, in estate con orario continuato dalle 8:00 alle 20:00. In generale, l'unica persona che lavora nel negozio è il titolare della licenza. Solo in estate, nelle ore in cui c'è più affluenza, viene aiutato dalla moglie. Il proprietario, dunque, gestisce in prima persona tutte le fasi della produzione e anche la vendita. Egli ha dei fornitori delle materie prime e si rivolge all'industria da cui ha comprato i macchinari (il forno elettrico e la macchina per fare la pasta) per la manutenzione degli stessi.
    L'analisi di questa attività è stata guidata con una serie di domande-esercizio.

Esercizio 1.  Quali sono le materie prime usate?

Esercizio 2.  Fare lo schema dell'attività lavorativa riconoscendone le varie fasi.

Esercizio 3.  Schematizzare ciò che entra e ciò che esce dal negozio "Dacci un taglio", completando il grafo.
[gli alunni dovevano riprodurre e completare con frecce ed "etichette" un grafo per rappresentare i flussi (di prodotti, servizi, denaro, materiali) in entrata e in uscita di cui l'insegnante aveva avviato la costruzione alla lavagna]

    Si è arrivati, quindi, con una lezione frontale alle formule e ai grafici.
    È da notare che, per evitare confusione nei ragazzi, sono stati usati il simbolismo e i termini presenti nei libri di materie professionali:

   In particolare:
xè il numero dei chili di pizza venduti
CTè il costo annuo totale in euro
CFè l'ammontare dei costi fissi
CV è il totale dei costi incorporati in un pezzo ("V" sta per variabili: il loro ammontare annuo "varia" al variare di x)
CT = CV·x + CF 

Esercizio 4.  Quali fra le seguenti voci che concorrono a formare il costo totale di una pizza sono costi fissi e quali sono costi variabili unitari?

  1. costo delle materie prime
  2. costo per affitto, luce,gas,acqua
  3. costo per l'acquisto del forno elettrico
  4. tasse e imposte
  5. spese per il commercialista e per altri consulenti
  6. interessi per prestiti bancari
  7. costi per il materiale per confezionare la pizza.

Che tipo di dubbi sorgono? Quali ipotesi si possono fare per eliminarli?

Gli alunni hanno risolto, poi, una serie di esercizi di vario tipo:

 
Analisi dei costi

    Sono stati proposti alcuni problemi, presi anche da libri di testo, analizzati e risolti.
    Di seguito è riportato un esempio.

Risolvi il seguente problema anche con metodi grafici.
    "Una struttura alberghiera che dispone di 30 camere pratica normalmente il prezzo di euro 80 a persona per un pernottamento compresa la piccola colazione. I costi fissi mensili si stimano in euro 20400 e quelli variabili in euro 12 al giorno per persona. Determiniamo il numero di presenze mensili indispensabili per prolungare l'apertura di un mese."
[tratto dal libro di testo di D.Corigliano e S. Corrado "Alberghi e dintorni" Ed. Elemond Scuola & Azienda]

La discussione spesso portava a riconoscere dei limiti al testo del problema proposto o ad arricchire la situazioni di altri dati per ampliare le possibilità di scelta.

 
Costo unitario

Siamo partiti da un problema per determinare la formula della funzione costo unitario.

Consideriamo un negozio di pasta fresca artigianale. Supponiamo che per ogni chilo di pasta prodotto il costo variabile sia pari a 1 e i costi fissi annui a 20 mila . Sapendo che la capacità produttiva del pastificio è di 100 mila kg di pasta all'anno, rappresentare la funzione costo totale su un piano cartesiano.

n = chili di pasta prodotti in un anno:     … ≤ n ≤ …

CT = …

Qual è il costo per un chilo di pasta al variare di n?  …
    Ci siamo posti il problema di come, al variare della quantità prodotta n, cambia il costo medio per chilo di pasta, cioè come varia la quantità CT/n al crescere di n.
    Studiando alcune situazioni e, in particolare, con l'aiuto di tabelle e grafici, abbiamo notato che il costo unitario è la somma del costo variabile unitario e di una frazione dei costi fissi (CF/n).
    In particolare, abbiamo osservato che:

Questa attività è stata utile per introdurre il concetto di limite (e la relativa notazione) e quello di asintoto orizzontale, e per motivare i ragazzi allo studio teorico di questi oggetti matematici.

È stato anche notato che il modello ha dei limiti:

Da qui è nata una discussione su problemi legati al mercato: quando è conveniente ampliare un'attività?

 
Altri modelli

Sono state analizzate, poi, altre situazioni con l'obiettivo di trovare la funzione costo totale e il grafico corrispondente. Di seguito sono riportati due esempi.

Il proprietario di una gelateria "senza tavolini" ha un dipendente per alcune ore al giorno, incaricato della vendita dei coni. Le spese fisse alla settimana sono di 155 e quelle variabili sono complessivamente di 0,50 per ogni cono di gelato. Quando, nell'estate, la gelateria ha più richiesta, cioè vende più di 1800 coni la settimana, il proprietario fa svolgere al dipendente del lavoro straordinario, che paga con l'aumento settimanale di 78 .
    Qual è in questo caso la funzione costo totale? Rappresentala su un piano cartesiano.

Il proprietario della stessa gelateria, decide di produrre anche torte gelato e di assumere un dipendente per tale attività. I macchinari consentirebbero di realizzare fino a 1000 torte a settimana, ma, nell'orario di lavoro fissato, il dipendente riesce a produrre solo 500 torte. Le spese fisse previste sono di 165 alla settimana e quelle variabili di 3 a torta. Se c'è la richiesta di produrre più di 500 torte la settimana il proprietario chiede al dipendente del lavoro straordinario che paga 1,6 a torta.
    Qual è in questo caso la funzione costo totale? Rappresentala su un piano cartesiano.