I concetti di rapporto e proporzionalità - Considerazioni didattiche
Buona parte del primo anno della scuola superiore sarebbe opportuno dedicarla a porre solide basi
relativamente alla padronanza dei
numeri (in base dieci), al concetto di rapporto, al concetto di
funzione, all'uso dei grafici, all'uso di variabili, termini ed
equazioni per rappresentare relazioni tra grandezze, alla
rappresentazione di algoritmi. Spostare l'attenzione su aspetti
secondari o su nuovi concetti che al momento possono essere
affrontati solo con presentazioni erronee (come ad esempio accade
nelle usuali introduzioni dei polinomi, non riferite ai concetti di
funzione e di equazione) o con apprendimenti meccanici e superficiali
(il calcolo letterale senza un'adeguata comprensione del significato
delle linguaggio letterale e del calcolo simbolico e del ruolo delle modellizzazioni algebriche, il calcolo in
basi diverse senza la padronanza dei concetti di rapporto, codifica,
…) sarebbe controproducente.
Le voci Rapporto, Proporzionalità,
Diagrammi, Pendenza e Variazione deGli Oggetti Matematici
possono dare un'idea delle prime attività che sarebbe opportuno affrontare per riprendere, consolidare ed estendere
la padronanza e conoscenza dei concetti di rapporto e di proporzionalità (diretta - quella inversa viene discussa in una specifica voce).
Sottolineamo l'importanza che gli alunni
acquisicano la capacità di passare "spontaneamente" da una forma di rappresentazione
all'altra dei rapporti d'uso più comune (0.75, 3/4, 75%; 0.125, 1/8, 12.5%; 15/60, 1/4, 25%; 2/3, 40/60, 0.666…, 67%; …),
anche attraverso esercizi ripetitivi che ne consolidino le varie rappresentazioni grafiche
(diagrammi a striscia, a colonne e a settori circolari, variamente graduati, rettangoli
di ugual forma, rette passanti per l'origine; vedi le voci Rapporto,
Diagrammi e Proporzionalità),
che padroneggino l'equivalenza tra divisione per contenenza e per partizione (discussa alla voce 4 operazioni)
per renedersi conto immediatamente, ad es., che 1/0.1 è 10 in quanto 0.1 sta 10 volte in 1,
e per sviluppare/consolidare meglio l'idea che il reciproco del reciproco di un numero è il numero stesso
e quella che "moltiplicare per 1/k" equivale a "dividere per k", che sono entrambi modi per esprimere la funzione
inversa di "motiplicare per k".
È fondamentale che gli alunni abbiano chiaro che "%" sta per "/100", che
sappiano esprimere le variazioni percentuali come moltiplicazioni (aumento del 10% come moltiplicazione
per 1+10/100 = 1.1, diminuzione del 20% come moltiplicazione per 0.8) e che impostino in questo modo i
calcoli con le calcolatrici: la cosa è importante per la messa a fuoco che variazioni percentuali
successive non si compongono facendone la somma, che, fatto un aumento del P%, per tornare al valore
iniziale non si deve fare una diminuzione del P%, che la variazione di P punti percentuali non equivale a una variazione
del P%.
Le considerazioni svolte rimandano, evidentemente,
all'uso del concetto di funzione,
che deve essere utilizzato costantemente, riprendendo operativamente le conoscenze sviluppate
nella scuola di base. La rappresentazione grafica della Proporzionalità (diretta) e di fenomeni
in cui la variazione di una grandezza è proporzionale a quella di un'altra forniscono il
contesto naturale in cui passare dalla Pendenza "fisica" a quella "matematica"
e riprendere e precisare il concetto di funzione lineare e il legame tra
soluzione grafica e simbolica rispetto a x delle equazioni del tipo k·x = h. Per approfondimenti
rinviamo alle indicazioni didattiche relative a questi concetti; qui sottolieamo l'importanza di combattere
la misconcezione secondo la quale viene identificata con la proporzionalità diretta ogni situazione in
cui una grandezza cresce al crescere dell'altra: gli esempi di funzioni lineari con grafico non passante per
l'origine e di relazioni di proporzionalità con fattore negativo e l'analisi di grandezze
legate da funzioni crescenti lineari solo a tratti o non lineari (come quelle illustrate
alle voci Proporzionalità, Diagrammi e Funzione, oltre che in numerosi
quesiti dell'eserciziario) dovrebbero aiutare al suo superamento.
È anche un contesto
molto naturale per la ripresa e il consolidamento delle prime attività di manipolazioni
di formule: si vedano gli esempi alla voce Proporzionalità. Sottolineamo (come discusso
in una nota in fondo alla voce Risoluzione di equazioni) l'innopportunità di ricorrere
a tecniche risolutive specifiche per le proporzioni (invece
che considerarle equazioni come le altre) per affontare
problemi di proporzionalità. Se qualche alunno, come retaggio di
precedenti "cattivi" insegnamenti, propone proporzioni del tipo
angolo : 360 = dato : totale invece che moltiplicare
direttamente 360 per dato / totale, è opportuno far
osservare che ":" e "=" non sono simboli che
rappresentano le parole "sta" e "come" ma sono il
simbolo di divisione e il simbolo di eguaglianza (eventualmente è,
viceversa, il rapporto che può essere espresso usando parole
"non matematiche") e che per trovare angolo non si
deve ricorrere a strane regole (prodotto
dei medi =…) ma è sufficiente la seguente trasformazione, che sfrutta solo la relazione che intercorre tra divisione e moltiplicazione:
angolo dato dato
—————— = —————— —> angolo = ——————·360
360 totale totale
Il contesto delle rappresentazioni proporzionali offre semplici e significative
occasioni per educare all'uso di strumenti informatici per l'automazione parziale o totale dei
procedimenti di calcolo, come esemplificato alle voci Calcolatrice
e Calcolatore.
Alla voce Diagrammi è messo a fuoco il ruolo dei fattori di scala. Si
tratta di un aspetto importantissimo, non solo per l'interpretazione delle rappresentazioni grafiche
delle statistiche (e per introdurre considerazioni/attenzioni che saranno utili per la costruzione e lettura delle
rappresentazioni grafiche di distribuzioni statistiche riferite ad intervalli di ampiezza diversa),
ma anche per padroneggiare le unità di misura di aree e volumi e il passaggio
da un'unità all'altra, per effettuare stime; esso entra, inoltre, in gioco in molte altre questioni di Fisica
e di Biologia, oltre che di Matematica.
Il concetto di frazione è bene che
sia presentato come un caso particolare di rapporto: questo consente di intrecciare bene i diversi aspetti
con cui le frazioni si presentano nelle applicazioni. L'"algebra delle frazioni" viene discussa successivamente alla voce
Strutture Numeriche: prima è necessario mettere a fuoco (cosa effettuata alla voce Proporzionalità)
come confrontare rapporti, come determinare il reciproco di un rapporto (vedi la voce Proporzionalità) e, poi, l'uso della proprietà distributiva (voci Formule e Termini equivalenti).
Come dovrebbe accadere per l'introduzione di tutti i
modelli matematici, è bene che anche nel caso dei concetti discussi qui si mettano
in luce non solo i vantaggi del loro impiego, ma anche i limiti: le informazioni che si perdono confrontando percentuali invece che dati assoluti
(vedi),
l'accortezza con cui devono essere interpretati i confronti tra l'evoluzione di fenomeni
basate sulla loro rappresentazione mediante numeri indici o variazioni relative
(vedi), ... Nel caso in cui si impieghi, ad es., un foglio
elettronico, occorre mettere in guardia dagli errori di rappresentazione/interpretazione
che può indurre un uso non critico dei suoi menu (vedi).
Tra gli esempi a cui puoi accedere dalla sezione
puoi trovare (oltre a una piccola attività sulle fotoriduzioni) le Schede di Lavoro e
tra queste a quelle dell'unità didattica "Le statistiche" (e la relativa "guida"), e la scheda 2 dell'u.d. "La automazione",
che mettono a disposizione materiale utilizzabile, direttamente o
opportunamente rielaborato, per organizzare un percorso didattico in cui possono
inserirsi in modo naturale attività e riflessioni sui rapporti e la proporzionalità.
Tra le animazioni puoi trovare una piccola attività
sulle trasformazioni di scala.
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