Sul terzo centrale di un segmento lungo 1 viene costruito un triangolo equilatero e viene cancellato il lato che sta sul segmento iniziale. Viene ripetuto il procedimento sui segmenti che formano la nuova figura, come si vede a lato. E così via. La lunghezza della curva via via costruita quale valore tende ad assumere?

Un semicerchio di diametro 1 viene sostituito da due semicerchi che hanno diametro pari alla metà di esso, hanno un estremo in comune tra loro e l'altro estremo in comune con un estremo del semicerchio di partenza, e stanno da parti opposte rispetto alla retta che passa per gli estremi di esso. Viene ripetuto il procedimento sui semicerchi che formano la nuova figura, come si vede a lato. E così via. La lunghezza della curva via via costruita quale valore tende ad assumere?

Sintetizza quanto osservato indicando, per il secondo esempio, con Fig(n) la figura formata da n semicerchi, con F la figura limite, con Lun(C) la lunghezza di una generica curva C. Per n → ∞ Fig(n) →  ...         per n → ∞ Lun(Fig(n)) →  ...       mentre  Lun(F) = ...

Nota "storica" QUI.