La somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo è 180°

Se ritagliamo da un triangolo di carta le "punte" e le riuniamo senza sovrapporle in modo che gli ex-vertici del triangolo si tocchino, osserviamo che esse vengono a formare un angolo di 180°. Per capire se questo è un fatto generale ripetiamo la prova con altri triangoli. Ci conviene farlo al computer, con un'applicazione per l'elaborazione delle immagini: comunque tracciamo un triangolo, se, come illustrato a lato, ritagliamo e spostiamo porzioni dei suoi angoli (traslandole col mouse e facendo fare una rotazione di mezzo giro ad una delle tre), riusciamo a formare un angolo di 180°.

    Questi esperimenti ci consentono di congetturare, abbastanza fiduciosi, che la somma delle ampiezze degli angoli di un triangolo sia 180°. Ma non ce ne danno la certezza assoluta: possiamo essere sicuri che non ci siano particolari triangoli per i quali non si verifichi questo fenomeno. Vediamo come sviluppare un'argomentazione che valga per qualunque triangolo.

Sia AB un segmento su un lato.     Lo traslo lungo il lato (nella direzione AB) fino a portare B su un vertice. Compio una rotazione (di ampiezza x) del segmento attorno a tale vertice, fino a che il segmento si dispone su un nuovo lato.     Proseguo con trasformazioni analoghe: traslo e ruoto di ampiezza y, traslo e ruoto di ampiezza z, fino a ottenere un segmento sovrapposto a quello iniziale, ma con gli estremi scambiati: A è stato trasportato in quella che inizialmente era la posizione di B, e viceversa.     La direzione della semiretta AB è complessivamente variata di 180°:

x + y + z = 180°.

    Naturalmente questa argomentazione vale nel piano euclideo (cioè nel piano cartesiano dotato della distanza euclidea), nel cui ambito abbiamo definito il concetto di rotazione. La proprietà vale, con buona approssimazione, per i triangoli tracciati su un foglio e gli angoli misurati con un goniometro e in tutte le situazioni modellizzabili con il piano euclideo.

Per approfondimenti vedi la voce triangoli.